2006. február 10.

Statisztika-valószínűség I. Telefonos feladat A TV egyik műsorában igennel vagy nemmel lehetett „szavazni”. Egy alkalommal 2452 telefonáló közül 82%-a válaszolt igennel. Milyen következtetést lehet ebből levonni? Mondjon legalább három okot, amiért ebből a felmérésből a társadalom egészének véleményére egyáltalán nem lehet következtetni!

1. feladat Az alábbi grafikon alapján válaszoljon a kérdésekre! Az alábbi grafikon alapján válaszoljon a kérdésekre!

Kérdések Soroljon fel legalább két negatívumot az ábrával kapcsolatban! Soroljon fel legalább két negatívumot az ábrával kapcsolatban! Hogyan alakult az élveszületések száma 1960, 1970, 1980, 1990, 2000 és 2004-ben? Adja meg a megadott évek adatait! Hogyan alakult az élveszületések száma 1960, 1970, 1980, 1990, 2000 és 2004-ben? Adja meg a megadott évek adatait! Mit gondol, mi lehet az oka a látható változásnak? Mit gondol, mi lehet az oka a látható változásnak? Ábrázolja a terhességmegszakítások száma és az élveszületések száma hányadosa változását a megadott években! Ábrázolja a terhességmegszakítások száma és az élveszületések száma hányadosa változását a megadott években!

Válaszok a) Az egyik, hogy két dolgot ábrázol egyszerre, ami zavaró ilyen formában főleg mivel egészen más a „lépték”. Másrészt a nagy csillagok nehezítik az adatok tényleges leolvasását a grafikonról. Mi is csak közelítőleg fogunk tudni számolni. b) Az abortuszok száma a grafikon szerint kb.: , , 66000, 87000, 60000, Száz élve születésre jut rendre: Száz élve születésre jut rendre: 115, 130, 56, 74, 60, illetve , 130, 56, 74, 60, illetve 57.

Tudjuk, hogy mennyi abortusz volt, s azt is, hogy 100 élve születésre hány jut. Akkor ebből egyszerű arányossággal meg lehet kapni az élve születések számát, formálisan Eszerint az élve születések száma rendre: , , , , , Összesen pedig (ennyi gyerek született volna, ha nincs abortusz): , , , , ,

c) A változás oka (ez nem matematikai kérdés) a fogamzásgátlók elterjedése a 70-es években ről majdnem a felére re esik vissza a fogantatások száma. d) A grafikonhoz észre kell venni, hogy semmi újat nem kell számolni, a „csillagok” értékeit kell csak százzal osztani: 1,15; 1,30; 0,56; 0,74; 0,60; 0,57. Ez az abortuszok arányának csökkenését mutatja.

A grafikon

2. feladat Egy kórházban megkérdezték a diabéteszes betegeket háziállat tartási szokásaikról. Kiderült, hogy a betegek 60%-a kutyát tart. Egy kórházban megkérdezték a diabéteszes betegeket háziállat tartási szokásaikról. Kiderült, hogy a betegek 60%-a kutyát tart. Levonható-e az a következtetés, hogy a kutyatartás növeli a diabétesz megbetegedés kockázatát? Levonható-e az a következtetés, hogy a kutyatartás növeli a diabétesz megbetegedés kockázatát? Válaszát konkrét számpéldákkal támassza alá! Válaszát konkrét számpéldákkal támassza alá!

A válasz az, hogy semmilyen következtetés nem vonható le a megadott adatokból. Más információra is szükség lenne. Mutatunk két példát, amelyek ellentétesek, azaz nincs helyes következtetés. I. példa: Legyen a diabéteszesek aránya 0,1 a kórházban. Ennek 60%-a tehát a betegek 0,06-odrésze kutyatartó és diabéteszes. Ha a kutyatartók a kórházban például 70%-ot képviselnek, akkor a kutyatartás feltételezése mellett a diabéteszesek esélye: 0,086; tehát a kutyatartás ebben az esetben csökkenti a diabétesz fennállásának esélyét.

folytatás II. példa: Legyen a diabétesz arány változatlan, de legyen a betegeknek csak 20%-a kutyatartó, ekkor az előző feltételes valószínűség 0,3-ra nő, tehát háromszor nagyobb lesz a kutyatartás feltételezése mellett a diabétesz fennállásának az esélye. A példák világosan mutatják, hogy a kórház kutyatartó betegeinek arányán múlik a dolog, ezen adat ismerete nélkül nem lehet nyilatkozni. A példák világosan mutatják, hogy a kórház kutyatartó betegeinek arányán múlik a dolog, ezen adat ismerete nélkül nem lehet nyilatkozni.

3. feladat Három iskola diákjai írják meg ugyanazt a felmérő feladatsort. Az egyes iskolák diákjainak átlagos teljesítménye rendre 63%, 48% illetve 72%. Az egyes iskolákból ugyanebben a sorrendben 23, 30 illetve 15 tanuló vett részt. Három iskola diákjai írják meg ugyanazt a felmérő feladatsort. Az egyes iskolák diákjainak átlagos teljesítménye rendre 63%, 48% illetve 72%. Az egyes iskolákból ugyanebben a sorrendben 23, 30 illetve 15 tanuló vett részt. a) Hány százalékos az összes tanuló átlagteljesítménye? b) Ha az egyes iskolák szórásai rendre 4, 8 és 6 voltak, akkor mennyi lehet az összes diák teljesítményének szórása?

Megoldás: a) a) azaz kicsit jobb, mint 58%-os az átlagos teljesítmény. azaz kicsit jobb, mint 58%-os az átlagos teljesítmény. b) Használjuk az alábbi összefüggést: Levezetése a definíció felírása után egyszerű átalakítással adódik. Eszerint

folytatás→ → → → Ezek szerint az összes teljesítmény négyzetének összege

Eszerint az összes diák teljesítményének szórása:

4. Feladat Orvos statisztikai felmérésekből tudjuk, hogy hazánkban legfeljebb 5000 HIV fertőzött van. Egy gyors és olcsó HIV-teszt bemérésekor megállapították, hogy 100 fertőzöttből 98-at „felismer”, de 100 egészségesből 5-öt tévesen pozitívnak (fertőzöttnek) mutat. Mindkét hibaszázalék kicsit tehát 2 és 5%. Valaki egy anonim HIV-tesztet végeztet és az pozitív. Mekkora az esélye, hogy valóban fertőzött?

1. Megoldás Az eredmény megdöbbentő, noha legtöbben elég magas esélyt gondolnak (orvosok is!). Mutatunk két könnyen követhető megoldást is. Kerekítsük ra a magyar állampolgárok számát és vegyünk 5000 fertőzöttet. Ekkor az adatok szerint ennek 98%-a, azaz 4900 kapna a teszten pozitív eredményt. A nem fertőzöttnek pedig az 5%, azaz Az összes pozitív tehát , s ebből ténylegesen 4900 a fertőzött. A keresett esély tehát kevesebb, mint 1%.

2. Megoldás, kettősfa diagram Az első részben leírt gondolatmenet szemléltetése.