HALMAZ – CSOPORT Általánosan  Emberek  Turistacsoport  Matematikában… Emberek Turistacsoport

CSOPORTOK:  KÉTVÁLTOZÓS MŰVELET  ASSZOCIATÍV  VAN (BALOLDALI) NEUTRÁLIS ELEM  VAN (BALOLDALI) INVERZ ELEM  a baloldali neutrális elem, illetve inverz egyúttal jobboldali is  Vektorösszeadás  ( a + b )+ c = a +( b + c ) = a + b + c  Nullvektor, 0 + a = a  ellentett vektor, - a + a = 0 A sík vektorainak halmaza

CSOPORTOK:  KÉTVÁLTOZÓS MŰVELET  ASSZOCIATÍV  VAN (BALOLDALI) NEUTRÁLIS ELEM  VAN (BALOLDALI) INVERZ ELEM  a baloldali neutrális elem, illetve inverz egyúttal jobboldali is Racionális számok halmaza (kivéve a nulla)  szorzás  (ab)c = a(bc) = abc 11  reciprok

VÉGES CSOPORT:  Szorzás,azaz pl.  asszociatív  Helybenhagyás, azaz pl.  Inverz permutáció, pl.  KÉTVÁLTOZÓS MŰVELET  ASSZOCIATÍV  VAN (BALOLDALI) NEUTRÁLIS ELEM  VAN (BALOLDALI) INVERZ ELEM  a baloldali neutrális elem, illetve inverz egyúttal jobboldali is Az 1,2,3 összes permutációi

Szabályos háromszög szimmetriaműveletei t1 t2 t3 t1 t3 t2 f1 f2 f3  Tükrözések t1, t2, t3  Forgatások f1, f2, f3

RÉSZCSOPORT:  KÉTVÁLTOZÓS MŰVELET  ASSZOCIATÍV  VAN NEUTRÁLIS ELEM  VAN INVERZ ELEM  kompozíció  asszociatív f0f0  f 0 -1 =f 0 f 1 -1 =f 2 f 2 -1 =f 1 Szabályos háromszög forgatásai

Izomorf Csoportok Az 1, 2, 3 számok összes permutációi  Szorzás  Asszociatív  Helybenhagyás  Inverz permutáció, Szabályos háromszög szimmetriaműveletei  Kompozíció  Asszociatív  Helybenhagyás  Inverz szimmetriaművelet Kölcsönösen egyértelmű, művelettartó leképezés van közöttük.

Generátorrendszer és alaptartomány CCsoportot alkotó elemek olyan részhalmaza, amelyekből a csoportművelettel a csoport összes eleme megkapható

Nagybánya D3Székesfehérvár, Szt Anna kápolna D4 Jáki templom D8D8 – C8Vajdahunyad D10Chartres, Franciaország D12Bazilika S. Chiara D D

A sík összes fixpontot tartalmazó díszítménycsoportja C n vagy D 2n csoport. Ezek alaptartománya végtelen kiterjedésű. Fixpontot nem tartalmazó díszítménycsoportok: Frízcsoportok (végtelen alaptartomány)    AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA  TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT Parkettázás (véges alaptartomány)

Forrásmunkák  Gyapjas Ferenc: Csoportelmélet (Középiskolai szakköri füzet, Tankönyvkiadó 1974.)  Verecza László: Konkrét és absztrakt struktúrák (Tankönyvkiadó 1970)  Fuchs László: Algebra (Egyetemi jegyzet 19. kiadás, Tankönyvkiadó 1985)  H. S. M. Coxeter: A geometriák alapjai (Műszaki Könyvkiadó 1973.)  Internet: GOOGLE képkereső