Felületszerkezetek Lemezek

A lemez A lemez olyan sík középfelületű és erre merőlegesen terhelt tartószerkezetet, amelyek vastagsága a másik két méretéhez viszonyítva csekély. Mechanikai modell: Kirchoff-Love-modell: csak vékony lemezek számítására alkalmazható („klasszikus” lemezelmélet, a nyíróerők okozta alakváltozások hatását elhanyagolja ) – a lemez vékony, ha h< Lmin /10 Reissner-Mindlin modell: vastag lemezek számítása, a nyíróerők hatását is figyelembe veszi . A statikus tervezés gyakorlatában sűrűbben találkozunk vastag lemezekkel, mint vékonyakkal: födém- és alaplemezeknél a geometriai méretek arányai túlnyomórészt a vastag lemeznek felelnek meg. Vékony lemezekre használható modell: fémszerkezeteknél (pl. tartályok fala, fém lemezművek, keretszerkezetek részleteinek szilárdságtanilag finomabb elemzése, stb.) - nem önálló lemezfeladat, hanem valamilyen sík héjszerkezet részeként alkalmazzák. A szerkezetek osztályozásánál láttuk, h. a lemezek a tárcsákkal együtt a sík felületszerkezetek családjába tartoznak. Ugyanakkor a lemezeket az különbözteti meg a tárcsáktól, h. a terhelésük a síkjukra merőleges, és a domináns igénybevételük a hajlítás. A lemezek hajlítás közben tanúsított viselkedését a különböző méreteik közül leginkább a vastagságuk befolyásolja. Ezért a lemezelméletek is eszerint osztályozhatók: vastag lemezek elmélete vékony lemezek elmélete Mindkettőre számos közelítő numerikus modellt dolgoztak ki, így a végeselemes technika is több évtizede foglalkozik mindkét elmélet gyakorlati feladatokra történő alkalmazásával. Az építőmérnöki tervezés szempontjából a két modell közötti legfontosabb különbség a vékony- vastag jelzőben van. Ha a lemez jellemző befoglaló méretének és vastagságának aránya meghaladja a 10-et, vékonynak tekinthető a lemez, ellenkező esetben vastag modell. A statikus tervezés gyakorlatában jóval sűrűbben találkozunk vastag lemezekkel, mint vékonyakkal. Ennek az az egyszerű oka, h. a statikus gyakorlatban a födém- és alaplemezek elmozdulásainak és igénybevételeinek számítására használják a végeselemes programokat, és ezeknél a szerkezeteknél a szokásos támaszközök, ill. lemezvastagságok arányai túlnyomórészt a vastag lemeznek felelnek meg. Ez főleg a rugalmasan ágyazott alaplemezeknél van így, de a közönséges födémlemezek esetében is jobb közelítés a Reissner-Mindlin-, mint a Kirchoff-Love-modell. Vékony lemezekre használható modellt elsősorban fémszerkezetek (tartályok fala, fém lemezművek, keretszerkezetek részleteinek szilárdságtanilag finomabb elemzése, stb.) vizsgálatánál használnak. Megjegyezzük, hogy a modellt az ilyenesetekben többnyire nem önálló lemezfeladatként, hanem valamilyen sík héjszerkezet részeként alkalmazzák. Mindkét elmélet alapján nagyon sok végeslelems változat született, talán egyetlen más elemfajtából sincs annyi változat, mint lemezből. Igény szerint lehet választani a különböző elemi merevségi mátrixok közül.

A lemez A szilárdságtani feltevések lemezek esetében: a lemez anyaga homogén, izotróp, lineárisan rugalmas, lemezvastagság állandó, a lemez vékony, azaz h< Lmin /10 kis elmozdulást végez, azaz a lemez minden pontja a középsíkjára merőlegesen tolódik el, és a középfelület normálisán fekvő pontok az alakváltozás után is a normálison maradnak  lehajlás. kis lehajlást végez, azaz wmax ≤ 0.2h a középfelületre merőleges feszültségeket elhanyagoljuk elsőrendű elméletet alkalmazunk a peremek megtámasztási viszonyai olyanok, hogy a lemez síkjának irányában a peremek szabadon el tudnak mozdulni, így nem keletkeznek a lemez síkjában ható reakcióerők.

A lemez A lemezegyenlet: Egyensúlyi egyenletek Geometriai egyenletek Anyagegyenletek A differenciálegyenletek kiegészítése a feltevésekkel Parciális differenciálegyenlet átrendezése Rugalmaságtan differenciálegyenletei A vonatkozó peremfeltételekkel együtt alkotja a lemezre előírt peremérték feladatot.

A lemez A lemezegyenlet:

Lemezelem feszültségei A dxdydz méretű elemi hasábban keletkező feszültségek: Míg az elemi hasábra a feszültségek, addig a lemezelemre az igénybevételek működnek, akárcsak rúdelem esetén. sx, sy – normálfeszültségek txy, tyx– vízszintes nyírófeszültségek txz, tyz– függőleges nyírófeszültségek

Lemezelem igénybevételei A dxdyh méretű lemezelemben keletkező igénybevételek: A lemezre ható igénybevételeket is hosszegységre vonatkozó fajlagos értékként definiáljuk: A nyíróerők, illetve a hajlító- és csavaró-nyomatékok a lemezelem dx és dy oldalai mentén megoszló erő-, illetve nyomatékrendszert képeznek.

Lemezelem igénybevételei A lemezelméletben alkalmazott jelölésrendszer: Mx – a sx eredőjeként fellépő hajlítónyomaték, (y tengely körül forgat, vektora az y tengelybe esik!) My – a sy eredőjeként fellépő hajlítónyomaték, (x tengely körül forgat, vektora az x tengelybe esik!) Mxy, Myx – csavarónyomatékok, txy, és tyx eredői Vxy – a txz eredőjeként fellépő nyíróerő Vxy – a tyz eredőjeként fellépő nyíróerő

Lemezek végeselemes modellezése Az elmozdulás-módszeren alapuló végeselemes eljárás alapötlete: a differenciál-egyenlet formájában megfogalmazott egyenletek keresett elmozdulás függvényeit nem függvény formájában próbáljuk meghatározni, hanem a feladat diszkretizálásával - véges elemekre történő osztásával- a végeselemháló csomópontjaiban határozzuk meg az elmozdulások skalár értékeit. A számítás pontossága nagyban függ a végeselem-háló felvételén, és az egy végeselemen alkalmazott interpoláció fokszámától. Az elmozdulás-módszeren alapuló végeselemes eljárás alapötlete, hogy az építőmérnöki gyakorlatban általában differenciál-egyenlet (peremérték feladat) formájában megfogalmazott egyenletek keresett elmozdulás függvényeit nem függvény formájában próbáljuk meghatározni, hanem a feladat diszkretizálásával - véges elemekre történő osztásával - kapott végeselem-háló kitüntetett pontjaiban - a csomópontokban - határozzuk meg az elmozdulások skalár értékeit. A számítás pontossága nagyban függ egyrészt a végeselem-háló felvételén, másrészt az egy végeselemen alkalmazott interpoláció fokszámától.

Megjegyzések a végeselemes háló felvételéhez Falakkal alátámasztott lemezszél: A hálót alapvetően a statikai váznak, és nem az építészeti rajznak megfelelően kell felvenni, és indokolt esetben elhagyhatóak azok a részletek, amelyeknek az erőjátékban nincs szerepük. Gyakori tévedés a statikai modell olyan felvétele, aminél a falnak megfelelő támaszvonal-helyét jól állapítják meg, de ennek következtében még további lemezelemek felvételére lesz szükség a támasz és a „szabad” él között néhány cm-es sávban. Ennek gyakorlati értelme nincs, csak feleslegesen növeljük az igen kicsin méretű, statikai viselkedésre semmilyen hatással nem bíró elemek számát.

Megjegyzések a végeselemes háló felvételéhez Szerkezeten belüli nyílások, áttörések: Nagyméretű födémlemeznél értelmetlen néhány cm2 gépészeti áttörés pontos geometriai modellezése, mert ezek hatása az összesített szerkezeti merevségben elhanyagolható, feszültségkoncentrációik pedig nem jelentősek. d<h esetén elhanyagolható d – átmérő h – felületvastagság

Megjegyzések a végeselemes háló felvételéhez Pillér modellezése: általában ponttámaszként vesszük figyelembe  pont környezetében hálósűrítés szükséges. Pontosabb eredményt kapunk, ha a pontszerű támasz helyett a valódi geometriai méreteket felhasználva felületi támasszá alakítjuk át a pillérfejeket, úgy hogy a támaszfeltételek ne változzanak.

Az AxisVM hálógenerálása Az AxisVM automatikus végeselem-háló generáló apparátusa háromszög hálózatot hoz létre. A hat csomópontú háromszögek az elmozdulás függvényeket másodfokon közelítik. Egy lemez, vagy héj esetében például a görbületek, így a nyomatékok elsőfokú (lineáris) függvénnyel közelítődnek. A Reissner-Mindlin elméletnek megfelelően az alakváltozások számításakor a nyíróerők hatását is figyelembe veszi  alkalmas vékony és vastag lemezek vizsgálatára.

Az AxisVM hálógenerálása A generálás olyan hálót eredményez, ahol a szabályoshoz közeli háromszögek a peremeknél helyezkednek el, és a geometriai „problémák” orvoslása a tartomány belsejében történik. A generált háromszög hálózaton ezek után tetszés szerinti sűrítéseket végezhetünk. A sűrítések eredményeként már négyszög elemek is létrejöhetnek, de a fenti közelítésekre vonatkozó megállapítások igazak azokra is. A generálás olyan hálót eredményez, ahol a szabályoshoz közeli háromszögek a peremeknél helyezkednek el, és a geometriai „problémák” orvoslása a tartomány belsejében történik. Ez utóbbi azért előnyős, mivel a szabályostól eltérő, és így kisebb pontosságú háromszögek általában a szerkezet azon környezetében helyezkednek el, ahol az elmozdulások, így az igénybevételek matematikailag viszonylag simák, így a kisebb pontosságú közelítés is jó eredményt szolgáltat. A generált háromszög hálózaton ezek után tetszés szerinti sűrítéseket végezhetünk. A sűrítések eredményeként már négyszög elemek is létrejöhetnek, de a fenti közelítésekre vonatkozó megállapítások igazak azokra is.

Bordás lemez modellezése A borda tengelye nem fekszik a lemez középsíkjában, ezért a kapcsolatuk még akkor is külpontos lenne, ha a lemezelemeket a bordát felező függőleges síkig tartónak modellezünk. Bordás lemez vizsgálatánál a gerenda- és lemezelemek kapcsolatánál mindig figyelembe kell venni a külpontosságot, ahhoz, hogy valós eredményekhez közeli állapotot kapjunk. Bordában keletkező igénybevételek: Mx, My, Vx, Vz (Héjhoz excentrikusan kapcsolt borda eseten a hajlitónyomaték és a nyiróerő mellett normálerő is megjelenik mind a héjban, mind a bordában.)

Bordaelem beállítása Egyenes tengelyű, állandó keresztmetszetű térbeli rúdelem. Borda elem a felületelemek éléhez és önálló térbeli rúdelemként is definiálható. A bordák a felületelemek éleihez centrikusan vagy excentrikusan illeszthetők. Figyelembe veszi a nyírási alakváltozást.

Felületi igénybevételcsúcsok simítása A végeselem-módszer alaptulajdonsága, hogy mind a merevségek, mind a terhek a csomópontokra redukálódnak;  hiába adunk be a programokba lemezvastagságot, falvastagságot, keresztmetszeti méreteket, azok csak a merevségi értékek számításához kellenek, amely merevségek a felület középsíkjára redukálódnak.  hiába adunk meg felületi-, vonalmenti támaszrugókat, azok mind csomóponti rugókká konvertálódnak  A vonalmenti, felületi megoszló terhek is csomóponti koncentrált terhekké alakulnak át. Felületi igénybevételcsúcsok simítása A végeselem-módszer alaptulajdonsága, hogy mind a merevségek, mind a terhek a csomópontokra redukálódnak. Így hiába adunk be a programokba lemezvastagságot, falvastagságot, keresztmetszeti méreteket, azok csak a merevségi értékek számításához kellenek, amely merevségek a felület középsíkjára, a rúdelemek súlyvonalára redukálódnak. Ugyanígy hiába adunk meg felületi-, vonalmenti támaszrugókat, azok mind csomóponti rugókká konvertálódnak. A vonalmenti, felületi megoszló terhek is csomóponti koncentrált terhekké alakulnak át.

Felületi igénybevételcsúcsok simítása A csomópontra koncentrálódásnak „köszönhetően” furcsák lesznek a felületi igénybevételek (nyomatékok) alakulása egy oszlop, egy csomóponti támasz közelében. Mivel az oszlop hiába rendelkezik fizikai kiterjedéssel, az csak egy pontszerű alátámasztásként fog megjelenni. Az ilyen pontszerű támaszok szingularitást, végtelen nagy igénybevételt eredményeznek a pont felett. Felületi igénybevételcsúcsok simítása Ennek a csomópontra koncentrálódásnak „köszönhető”, hogy számításkor bizony furcsa eredmények tudnak megjelenni. Leginkább szembetűnő a felületi igénybevételek (nyomatékok) alakulása egy oszlop, egy csomóponti támasz közelében. Mivel az oszlop hiába rendelkezik fizikai kiterjedéssel, az csak egy pontszerű alátámasztásként fog megjelenni. Teoretikusan az ilyen pontszerű támaszok szingularitást, végtelen nagy igénybevételt eredményeznek a pont felett. Minél kisebb végeselemeket, minél finomabb hálózatot használunk a ponttámasz - az oszlop – körül, annál nagyobb eredményt kapunk a pontban. Természetesen erre a nagy igénybevételre méretezni, vasalni nem szabad (nem is lehetne), így a szabványok előírják, hogy ezeket az igénybevételi csúcsokat a támasz méretétől függően le kell vágni, vagy valamilyen függvénnyel kell közelíteni. A szabványok előírják, hogy ezeket az igénybevételi csúcsokat a támasz méretétől függően le kell vágni.

Lemezelem feszültségei és igénybevételei az AxisVM programban A lemeznyomatékok esetén az x es y index a nyomatékmetszet irányat, ill. vasalási irányt jelenti. Tehát mx nyomaték a lemez lokális y tengelye körül forgat, míg az my nyomaték a lokális x tengely körül. A lemeznyomatékok előjele pozitív, ha az a lemez felső szélén okoz húzást (+lokális z felőli oldal), és negatív, ha a lemez ellentétes szélén okoz húzást.

Lemezelem főigénybevételei az AxisVM programban Felületelemeknél meghatározásra kerülnek az m1, m2, am főigénybevételek és a qR eredő nyíróerő. - 90 <a< +90 szögértékek a felületelem lokális x tengelyéhez viszonyítva értendők. Egy adott pontban mindig lehet találni két egyrmásra merőleges olyan síkot, melyben eltűnnek a nyírófeszültségek. Ezeket a síkokat fősíkoknak nevezte, a rajtuk ébredő feszültséget pedig főfeszültségnek. Ezek a feszültségi tenzor sajátértékei. A Mohr-kör a főfeszültségeknek a grafikus szerkesztésére szolgáló eszköz. A legnagyobb és legkisebb főfeszültségek a tetszőleges síkokban ébredő normál feszültségek maximuma és minimuma. A leggyakrabban használt méretezési elmélet szerint a legnagyobb főfeszültség okozza az anyag tönkremenetelét (maradó alakváltozását vagy törését).

Negatív főigénybevétel Főigénybevételek Főirányok (an, am) diagramos ábrázolása esetén az irányoknak megfelelő vektorok jelennek meg, melyek színezése és hossza az adott irányhoz tartozó főigénybevétel szerint változik. A vektor végét egy-egy merőleges vonal zárja le, ha a főigénybevétel értéke negatív. Ha meghatározzuk az igénybevételi főirányokat, (lemezeknél a főnyomatékok irányát,) ezek az irányok a felületen ortogonális trajektória-rendszert rajzolnak ki. Elvben a trajektóriális vasalási rendszer adja a felületszerkezetek legtakarékosabb vasalását, mert csak olyan irányban helyezünk el vasalást, amilyen irányban húzás fellép, és minél jobban eltér a vasalás iránya a megfelelő trajektória-iránytól, annál inkább el kell térnie az alkalmazott vasalás teljes mennyiségének az erőtanilag szükséges legkisebb vasmennyiségtől. A trajektóriális vasalás alkalmazásának azonban lényeges elvi és gyakorlati korlátai vannak: Elvi korlátozást jelent az, hogy a szerkezeteket általában nem egyetlen teherelrendezés figyelembevételével méretezzük, és az eltérő teherelrendezésekhez eltérő igénybevétel-eloszlások, eltérő trajektória-irányok tartozhatnak. Erősebb a gyakorlat korlátozás: a többnyire görbevonalú trajektóriák irányát követő vasak kialakítása, összeszerelésének komplikáltsága és hosszadalmassága. Negatív főigénybevétel

Bordázott lemez nyomatékának különböző típusú ábrázolása:

Bordázott lemez nyomatékának különböző típusú ábrázolása:

Bordázott lemez nyomatékának különböző típusú ábrázolása:

Intenzitásváltozás Minden végeselem-modell és végeselem-analízis mérnöki közelítés. A modellben alkalmazott végeselemek számától és azok alakjától, a terhelési és peremfeltételektől és sok más tényezőtől függően a felvett modell és a közelítések pontossága lehet nagyon jó vagy nagyon rossz. A közelítés pontosságának kiértékeléséhez nyújt segítséget, új analízis elvégzése nélkül az inteznitásváltozások ábrázolása. Az intenzitásváltozás számítási eredmények alapján az elemen belüli igénybevétel-változások mértékét mutatja százalékosan, a maximális igénybevételi értékhez viszonyítva. A nagy intenzitásváltozási értéket mutató elemek környezetét célszerű tovább sűríteni, a közelítés pontosítása céljából. Az intentizásváltozás már elfogadhatónak ítélt mértéke tapasztalati megfontolások alapján állapítható meg. Az intenzitásváltozás számítási eredmények alapján az elemen belüli igénybevétel-változások mértékét mutatja százalékosan, a maximális igénybevételi értékhez viszonyítva.

Intenzitásváltozás Minden végeselem-modell és végeselem-analízis mérnöki közelítés. A modellben alkalmazott végeselemek számától és azok alakjától, a terhelési és peremfeltételektől és sok más tényezőtől függően a felvett modell és a közelítések pontossága lehet nagyon jó vagy nagyon rossz. A közelítés pontosságának kiértékeléséhez nyújt segítséget, új analízis elvégzése nélkül az inteznitásváltozások ábrázolása. Az intenzitásváltozás számítási eredmények alapján az elemen belüli igénybevétel-változások mértékét mutatja százalékosan, a maximális igénybevételi értékhez viszonyítva. A nagy intenzitásváltozási értéket mutató elemek környezetét célszerű tovább sűríteni, a közelítés pontosítása céljából. Az intentizásváltozás már elfogadhatónak ítélt mértéke tapasztalati megfontolások alapján állapítható meg. A nagy intenzitásváltozási értéket mutató elemek környezetét célszerű tovább sűríteni, a közelítés pontosítása céljából. Az intentizásváltozás már elfogadhatónak ítélt mértéke tapasztalati megfontolások alapján állapítható meg.