Evolúciós játékelmélet 1. előadás ELTE és BME 2013. 02. 15. Előadó: Szabó György Munkahely: MTA TTK MFA, 1121 Budapest, Konkoly Thege út 29-33. KFKI telephely, 26-os épület, 111-es szoba (itt lesz a vizsga) Telefon: 3922678 E-mail: szabo.gyorgy@ttk.mta.hu (régi: szabo@mfa.kfki.hu ) Honlap: http://www.mfa.kfki.hu/~szabo http://www.mfa.kfki.hu/~szabo/evoljatek (letölthető előadások, ajánlott irodalom, …)

Ajánlott irodalom: Nowak: Evolutionary Dynamics (Harvard Univ. Press, 2006) Sigmund: Az élet játékai (1995, olvasmány) és The Calculus of Selfishness (2010) Hofbauer and Sigmund: Evolutionary Games and Population Dynamics (Cambridge) H. Gintis: Game Theory Evolving (Second Edition 2009) Cressman: Evolutionary dynamics and extensive form games (Cambridge, 2003) Sandholm: Population Games and Evolutionary Dynamics (2011) Szabó and Fáth: Evolutionary games on graphs, Phys. Rep. 446 (2007) 97-216. Magyar nyelvű bevezetések a (klasszikus) játékelméletbe Gibbons, Mészáros, Tóth János (JATE Press) Corvinus Egyetem honlapjáról is letölthető két elektronikus jegyzet (Forgó Ferenc és Solymosi Tamás, Operációkutatási tanszék) Scheuring István: Természet Világa cikk, 2007 augusztus (kísérletek)

Történelmi áttekintés Legfontosabb események …. katonaság 1945 Neumann János játékelmélet alapjai matematika O. Morgenstern játékos=üzletember közgazdaságtan + pol. 1950 Merril Flood fogolydilemma első kísérletek 1951 J. Nash Nash egyensúly 1972 J. Maynard Smith nyeremény=életképesség biológia 1980 Axelrod és Hamilton számítógépes verseny szociológia + etika 1992 Nowak és May evolúciós játék rácson számítógépes modellek 1994- fizikusok térbeli stoch. modellek fizika E. Fehr, … kísérlet emberekkel viselkedéskutatás 2000- evolúciós játék hálózaton 2004- koevolúciós játékok nyelvek fejlődése nyelvészet 2010 Személyi tulajdonságok

Az előadássorozat tervezett témái Bevezetés a játékelméletbe alapfogalmak, osztályozás, … mátrixjátékok, Nash-egyensúly Evolúciós játékelmélet ismételt sokszereplős játékok, társadalmi dilemmák evolúciós szabályok, populációdinamika, Axelrod versenye Potenciál játékok Térbeli evolúciós játékelmélet Fogolydilemma rácson, átlagtér-közelítés (populáció dinamika), Kő-papír-olló játékok rácson, átlagtér és párközelítés, … Evolúciós játékok hálózatokon Koevolúciós játékok Versengő társulások

A hagyományos játékelmélet alapfogalmai A legtöbb játék leegyszerűsített és számszerűsített élethelyzet, amit a matematika eszközeivel vizsgálunk. Játék: önző és intelligens játékosok (x,y, …) mindenki a saját (számszerűsíthető) nyereményét kívánja maximálni ismerik a szabályokat ill. nyereményeket és tudnak számolni, sőt „én tudom, hogy te tudod, hogy én tudom, …” döntési lehetőségek, szabályok, nyeremények nagyon sokféle játék létezik Döntés: egyszerre (snóbli, kő-papír-olló, stb.) váltakozva (sakk, malom, go, stb.) Véges számú (kevés) lehetőség esetén a nyeremény „táblázatba” írható Kétszereplős játék lehet: zéró-összegű (Ux=-Uy) (minimax tétel: Neumann) nem zéró-összegű (Ux+Uy ≠0) (pl. fogolydilemma) Többszereplős játék (pl. közlegelő játék) Normál játékok (véges számú játékos, véges számú döntési lehetőséggel)

A játék lehet: kooperatív (egyezkedés lehetséges) nem kooperatív (egymástól függetlenül döntenek) hiányos információjú hibás információ vagy döntés … A játékelmélet ill. az evolúciós játékelmélet célja: - megmondani, hogy mit válasszon x és y, ha nyereményüket úgy akarják maximálni, hogy közben társuk intelligenciáját is figyelembe veszik, - javaslatot tenni a játékszabályok módosítására, amivel elérhetjük a kívánt magatartást. Morgenstern: az üzletemberek önző játékosokként viselkednek 1945 óta a közgazdaságtan és a politikai/stratégiai döntéshozatal matematikai alapja a játékelmélet Új szemléletben: megérteni a kölcsönhatások természetét és következményeit és magyarázatot találni az élő világ (ember, biológiai környezete, nyelv, gondolatok, stb.) jelenségeire ill. evolúciós kialakulására, és a köz érdekében hasznosítani ezt a tudást.

Két egyszerű játék, amikor a játékosok váltakozva döntenek Százlábú játék: Két (A és B) játékos váltakozva dönt arról, hogy a közös kasszában gyarapodó összeget szétosszák-e olyan módon, hogy a kezdeményező jár jobban. (A döntési sorozat gráfja emlékeztet a százlábúra.) A számpárok a játék végén az A és B játékos nyereményét jelzik Javallott megoldás: az első döntéskor osztozkodni, azaz megenni aranytojást tojó tyúkot, mert - az utolsó döntéskor B-nek az „igen” biztosítja a magasabb jövedelmet - ennek tudatában az előző körben A-nak kell hasonlóan az „igent” kell választani, - ennek tudatában az előző körben A-nak kell hasonlóan az „igent” kell választani, stb. - Vagyis a „dominált stratégiák” sorozatos elhagyásával végül eljutunk a javallott megoldáshoz, ami figyelembe veszi az ún. „jövő árnya” hatást. Élethelyzet: Kormányzásban egymást követő pártok döntenek az állami vagyon privatizálásáról

Dollár-árverés N játékos vesz részt 1 dollár árverésén. A kikiáltási ár 1 forint, és a licitálók 1-1 forinttal emelhetik az árat. A játékot az teszi érdekessé, hogy a legmagasabb és a második legmagasabb árat ígérő két játékosnak ki kell fizetni a belicitált árat, de csak az első kapja meg az 1 dollárt. Tanács: nem szabad beszállni a licitálásba, mert kifulladásig emelkedhet az ár. Élethelyzetek: - gyakran ez a jelenség az oka az olyan helyzeteknek, amikor azt szoktuk mondani, hogy „futunk a pénzünk után” pl. pereskedés - korrupt környezetben a pályázók hasonló módon viselkedhetnek egy pályázat elnyerése érdekében

Mátrixjátékok Két játékos: x és y n illetve m döntési lehetőség (továbbiakban n=m) egységvektorokkal jelölve: Nyereménymátrix: Nyeremények: Szimmetrikus játékok: A mátrix is lehet szimmetrikus. (Potenciál játékok)

Példák kétszemélyes mátrix-játékokra bimátrix formalizmusban 1. Snóbli (páros vagy páratlan) Zéró-összegű nem szimmetrikus 2. Koordinációs játék: Valós élethelyzetek: - jobboldalon vagy baloldalon menjünk az úton - méter vagy hüvelyk legyen a hosszúság mértékegysége - angol vagy francia legyen a második idegen nyelv, stb. - LINUX vagy WINDOWS legyen a számítógépen Két azonos értékű döntés közül kell választani. Ilyenkor hasznos, ha játékosaink egyezkedhetnek a döntés előtt. szimmetrikus potenciáljáték

3. Anti-koordinációs játék Valós élethelyzet: Megszakad a telefonkapcsolat. Mindkét játékos arról dönt, hogy hívja-e a másikat, vagy várjon a másik hívására. Itt is két azonos értékű döntés között kell választani. Az ellentétes döntés meghozatalát segítheti az egyezkedés vagy megfelelő szokások/szabályok kialakítása. 4. Nemek háborúja Férj és feleség elfelejtették a megállapodásukat. Egymástól függetlenül kell dönteniük, hogy az esti találkozáshoz a színház vagy a focipálya bejáratához menjenek. nem szimmetrikus nem zéró-összegű

5. Fogolydilemma Két áruházi tolvajt külön fogdában őriz a serif. Tárgyi bizonyíték és szemtanú hiányában a serif két-két lehetőséget kínál a letartóztatottaknak, akiknek egymástól függetlenül kell dönteni arról, hogy beköpik-e a másikat vagy hallgatnak. - Ha mindketten köpnek, akkor 3-3 hónap büntetésre számíthatnak. - Ha mindketten hallgatnak, akkor bizonyíték híján egy hónap múlva szabadulnak. - Ha az egyik beárulja a hallgató társát, akkor az áruló azonnal szabadul, társa pedig 5 hónap büntetésre számíthat. A nyereménymátrix értékei a maximális börtönbüntetéshez képest szabad lábon eltöltött hónapok számát mutatja: A dilemma abból fakad, hogy társunk bármelyik döntése esetén mi akkor járunk jobban, ha beköpjük a másikat, aki hasonlóan gondolkodva ugyanerre a következtetésre jut, vagyis játékosaink a második legmagasabb büntetést kaphatják. Ezt a módszert használja az igazságszolgáltatás.

6. Héja-galamb (vagy Gyáva nyúl, vagy Hólapátolás) játék A Héja-galamb (Hawk-Dove) játékban játékosaink osztozkodnak valamin (pénz, élelem, fészekrakó hely, stb.) és az osztozkodásnál viselkedhetnek agresszíven (héja) vagy konfluktuskerülően (galamb). Két „galamb” egyenlően osztozkodik, a „galamb” a teljes összeget átengedi a „héjának”, két „héja” viszont összemarakodik és akkora kárt okoz egymásnak, hogy végül mindketten veszteséggel zárják az osztozkodást. Egy tipikus nyereménymátrix: A Gyáva nyúl (Chicken game) játékot két vagány játssza, akik az út közepén egymással szembe haladnak gépkocsijukkal és összeütközésük előtt vagy félrekapják a kormányt vagy nem. Az úton továbbhaladó vagány gyáva nyúlnak nevezheti ellenfelét. A Hólapátolás (Snowdrift) játék két autós helyzetét jellemzi, akik egymással szemben haladnak, de egy hirtelen képződött hóakadály közöttük megakadályozza a továbbhaladásukat. Egymástól függetlenül mindketten arról döntenek, hogy elkezdik-e a hólapátolást. Csak akkor juthatnak haza, ha valamelyikük (vagy mindketten) ellapátolja a hótorlaszt. Az „igazi” nyertes a kocsiban ülve várja ki, hogy társa ellapátolja a hóakadályt.

6. Kő-papír-olló (rock-scissors-paper) játék A közismert gyermekjátékban két játékosunk a három szimbólum (kő, papír, és olló) valamelyikét mutatja fel egyszerre a kezével. Ha jelzésük egyforma, akkor újra kezdhetik a játékot; ha különböző, akkor a kő nyer az ollóval szemben, olló nyer a papírral szemben, és papír nyer a kő ellenében. Zéró-összegű változatban a nyereménymátrix:

Dominált stratégia Hasznos fogalom az optimális stratégia-pár megtalálásában. Ebben az esetben x-nek nem érdemes ezt a stratégiát választania, vagyis mindketten elfelejthetik ezt a lehetőséget. Házi feladat 1.1. A dominált stratégiák sorozatos elhagyásával találjuk meg a javasolt stratégiapárt a következő bi-mátrix játékban: