16. előadás Relativitáselmélet Nemlineáris és komplex rendszerek viselkedése – a káosz fogalma Helyünk a világegyetemben (az Univerzum fejlődéstörténete)

A speciális relativitáselmélet

A Michelson-féle interferométer

Az Einstein-féle relativitási elv Az általánosított Galilei-féle relativitási elv A kölcsönhatások véges terjedési sebességének elve

Következmények

A relativitáselmélet alapfogalmai

Az invariáns mennyiség Ami nem függ a koordináta-transzformációtól A két pont közötti távolság invariáns mennyiség:

A négydimenziós téridőben az ívhossz az invariáns mennyiség

A Lorentz-transzformáció

A speciális relativitáselmélet programja: A fizikai törvények Lorentz-invariáns alakban való felírása Elektrodinamika – OK Newtoni mechanika – módosítani kell!

Az idődilatáció

A Lorentz-kontrakció

A sebességösszeadás

A transzverzális sebesség

A rugalmas ütközés vizsgálata

A relativisztikus energia

Kis sebességek esete

Az energia és az impulzus kapcsolata Az energia és az impulzus-megmaradás nem két független törvény.

Négyesvektorok

Nemlineáris és komplex rendszerek viselkedése (A determinisztikus káosz)

Érzékszerveink működése logaritmikus Weber-Fechner féle pszichofizikai törvény: az érzet erőssége az inger erősségének logaritmusával arányos Hallás Látás

Agyunk működése lineáris Ez mennyi búza? Szalmonella (15 percenként)

A valódi világ komplex  (gondolkodásunkkal átlátható) modelleket alkotunk (a „természettörvények”-re az embereknek van szüksége, nem a természetnek) fizika műszaki tudományok biológia közgazdaságtan ……...

Modellek geometriai pont egyenes- tömegpont ponttöltés harmonikus oszcillátor áramgenerátor ……….

Az inga Mozgásegyenlet: linearizálás:

A modell egyszerű  a modellt leíró differenciálegyenlet is egyszerű lineáris, szétválasztható változójú, ….  analitikusan megoldható

Az ingaóra Christian Huygens és George Graham

Ezek a modellek milyen jól leírják a sokkal bonyolultabb valóságot. Ami meglepő Ezek a modellek milyen jól leírják a sokkal bonyolultabb valóságot.

A szerkezet azért bonyolultab (a veszteségeket pótolni kell)

Látott-e már valaki pontot egyenest a kör kerülete 2R a narancsé?

Mekkora Skandinávia kerülete?   A gömb felszíne 4R2 A narancsé?  ?

Fizikai rendszerek lineáris oszcillátor: nemlineáris oszcillátor: (harmonikus rezgőmozgás) nemlineáris oszcillátor: kényszerrezgés: hőtágulás:

Még bonyolultabb problémák Háromtest-probléma Naprendszer Csillagpulzáció Időjárás Populációnövekedés Gazdasági növekedés …..

Megoldási módszerek Fizikai modell készítés, kísérlet Számítógépes modell Analóg számítógép Digitális számítógép

Érzékeny a kezdőfeltételre Lorentz 1961-ben nyomtatott lapja Érzékeny a kezdőfeltételre Rayleigh – Bénard konvekció x – a konvekció intenzitása y – hőmérsékletkülönbség z – vertikális hőmérsékletprofil nemlinearitása

Korlátozó feltétel nélkül a népesség a végtelenhez tart Populációdinamika Korlátozó feltétel nélkül a népesség a végtelenhez tart

Populációdinamika Volterra-egyenlet x - nyúl y - róka

Korlátozott szaporodás Populációnövekedési ráta: Ha R=r(>0) (const) korlátozó feltétel:

Visszacsatolt erősítő + > r 1-u u u(1-u) 1V (r=3,56994571869)

A logisztikus leképezés r=0,8 r=2,5 r=3,1 r=3,8

Optikai visszacsatolás

Vizsgálati módszerek Időtartomány - egy állapothatározó és az idô által kifeszített tér, pl. [r(t), t], [x(t), t], [v(t), t], … fázistér - az állapothatározók által kifeszített absztrakt tér, dimenziója megegyezik a rendszer szabadsági fokainak számával, pl. [v(t),r(t)], [P(T),V(T)], ...

Definíciók (1) trajektória - a rendszer pályája a fázistérben attraktor - a fázistér azon alakzata, amely felé a rendszer állapota a vonzástartományba eső kezdőfeltételektől függően konvergál fixpont: az attraktor egyetlen pontból áll határciklus: az attraktor zárt görbe, a rendszer periódikusan oszcillál a fázistérben különös attraktor: végtelen számú egymás melletti rétegbôl álló, nem egész dimenziójú (fraktál természetû) attraktor, a közeli pályák exponenciálisan válnak szét. Kaotikusan viselkedô rendszert ír le.

Időbeli és fázistérbeli viselkedés fixpont határciklus bifurkáció különös attraktor

Az előrejelezhetőség reguláris kaotikus Ljapunov idő:

Az előrejelezhetőség (számpéldák) Legyen: (az elektron sugara) (11 millió év) Időjárás T~3..4 nap Laskar 150 000 tag Dt=500 év 200 milló évre (előre és vissza) Naprendszer T~10..20 milló év belső bolygók T~5 milló év

Definíciók (2) bifurkáció - periódus-kettőződés, nem-lineáris egyenletek minőségileg eltérő, új megoldásának megjelenése valamely paraméter változtatásakor. A periódus-kettőződés révén, a bifurkációk végtelen sorozatán át káoszhoz jutunk káosz - a determinisztikus rendszer belső, nem lineáris tulajdonságából adódó szabálytalan (nem periódikus) viselkedése zaj - a rendszer szabálytalan viselkedése külső véletlenszerű hatások (pl. hőmozgás) következtében

Nemlineáris RLC kör I. Kirchoff: R L D v U be ki

QV-ben nem lineáris – bifurkáció lép fel Nemlineáris RLC kör II. QV-ben nem lineáris – bifurkáció lép fel

Konkluzió Determinisztikus egyenletekkel meghatározott rendszerek látszólag véletlenszerű viselkedést mutatnak A komplex rendszerek viselkedése megfogható, nem számítási hiba eredménye

A dimenzió A Hausdorff-dimenzió A felületet lefedni: N=L2/e2. L - a vonal hossza e - mértékegység Hány e hosszúságú szakasszal lehet lefedni az L vonalszakaszt? N=L/e. A felületet lefedni: N=L2/e2. általában d - a tér dimenziója N=Ld/ed. Dimenzió:

Jellemzőjük: az önhasonlóság Tört dimenziók d=log(2)/log(3) d=2log(2)/log(3) Jellemzőjük: az önhasonlóság

A különös attraktorok fraktál dimenziójúak

Komplex számok iterációja Mandelbrot: z0 - fix c - változik Julia: z0 - változik c - fix

Helyünk az Univerzumban Penzias és Wilson,Bell lab.