Extenzionális mondatfunktorok

Ismétlés A logika tárgya A logika célja Mitől függ egy következtetés helyessége? Logikai grammatika: név, mondat, funktor Logikai szemantika: faktuális érték és intenzió Extenzionális mondatfunktorok

Extenzionális mondatfunktorok Negáció (~) Nézzük a természetes nyelvet első lépésként. Vegyünk egy mondatot: „A vetítővászon fehér” Ez a mondat igaz (mert tényleg fehér). Mi történik, ha tagadjuk? „Nem igaz, hogy a vetítővászon fehér” Igaz ez vagy hamis? Nyilván hamis, ha egyszer tagadja azt, ami igaz. Nézzünk egy másik mondatot is.

Extenzionális mondatfunktorok Negáció, tagadás (~) „A teremben tájfun dúl” Itt és most ez igaz vagy hamis? Nyilván hamis. És mi történik, ha tagadjuk? „Nem igaz, hogy teremben tájfun dúl” Ha a kiinduló mondat hamis volt, akkor tagadása milyenné alakítja? Nyilván igazzá.

Extenzionális mondatfunktorok Negáció (~) Az aritmetika mintájára a negáció: A ‘~’ egy függvényjel, amely azt az egyargumentumú igazságfüggvényt jelöli, amelynek szabálya a következő: „a kimenethez cseréld fel a bemenet igazságértékét” A szabály tehát: Ha a bemenet ‘igaz’, akkor a kimenet ‘hamis’ Ha a bemenet ‘hamis’, akkor a kimenet ‘igaz’

Extenzionális mondatfunktorok Negáció (~) Az (igazság)szabály még plasztikusabban (abakuszként) Be → Ki i → h h → i

Extenzionális mondatfunktorok Affirmáció és negáció Affirmatív alak: állító mondat pl. „Eléggé éles ez a kés” Negált alak: tagadó mondat pl. „Nem eléggé éles ez a kés” vagy „Életlen ez a kés” E két forma független a mondatok szemantikai értékétől (attól, hogy igazak vagy hamisak). Affirmatív mondat is lehet hamis, negált mondat is lehet igaz (ám egyazon mondat affirmatív és negált alakja nem lehet együttesen igaz, erről később) 7

Extenzionális mondatfunktorok Negáció (~) Elemezzük az alábbi állítást. „Nincsenek nimfák” Az első lépés: megkeresni az állítást, az affirmatív alakot. Ez a következő: „Vannak nimfák”. Jelöljük ezt ‘p’-vel. A mondat így: ~p

Extenzionális mondatfunktorok Negáció (~) Nézzük a szabályt: Ha a bemenet ‘igaz’, akkor a kimenet ‘hamis’. Ha a bemenet ‘hamis’, akkor a kimenet ‘igaz’. Tehát: Ha p igaz (mert vannak nimfák), akkor ~p hamis. Ha p hamis (mert tényleg nincsenek), akkor ~p igaz. Nézzünk egy másik példát.

Extenzionális mondatfunktorok Negáció (~) „Nem igaz, hogy nem tudod megcsinálni” Keressük meg az affirmatív alakot! „Meg tudod csinálni”, legyen ez q. Az állítás így: „Nem igaz, hogy ~q.” Minden negációt felfedtünk? Affirmatív így az állítás? Nem. Második lépés: ~(~q) Mi történik, ha a fenti mintára az első művelet eredményét „visszatápláljuk”?

Extenzionális mondatfunktorok Negáció (~) Visszakapjuk az eredeti igazságértéket. Logikai szempontból nem történik semmi (noha a kettős negáció jelentése más, mint az egyszerű affirmatív alaké) Általánosítva: (Első logikai törvény, T1) ~~A => A

Extenzionális mondatfunktorok Negáció (~) Vegyük azonban észre, hogy A-ból is minden további következik ~~A (még ha ennek gyakorlati jelentősége még nem is látszik) vagyis A => ~~A amiből persze tovább mehetünk (T1 alkalmazásával), így: A => ~~A =>A Ez a kölcsönös (szemantikai) következményviszony, az ekvivalencia. Jele: <=>

Extenzionális mondatfunktorok Ekvivalencia. (<=>) (metalogikai jel) logikai (szemantikai egyenértékűség): az ekvivalenciajel két oldalán álló alakzatok szabadon felcserélhetőek a szemantikai értékek megváltozása nélkül. Ez módot ad arra, hogy egy már rendelkezésre álló kifejezés segítségével vezessünk be (posztuláljunk) újabb a definienssel logikailag ekvivalens kifejezéseket. Vagyis, úgy építkezünk a logikában, hogy első belátásainkat folyamatosan továbbörökítjük a későbbiekre. A definíció jele: <=>df A jel bal oldala a definiendum (az újonnan meghatározott), jobb oldala a definiens.

Extenzionális mondatfunktorok Ekvivalencia (<=>) igazolása Indirekt mód: feltesszük, hogy az ekvivalencia nem áll. Ha nem áll, akkor a jel két oldalán álló kifejezések ugyanazon bemenet esetén a feltevés szerint különböző kimenetet kell, hogy adjanak. Mivel ez lehetetlen, a feltevés hamis, tehát az ekvivalencia áll. Direkt mód: elvégezzük az ekvivalencia mindkét oldalán az igazságszabály szerint a műveletet (minden lehetséges bemenethez kimenetet rendelünk) és megvizsgáljuk, azonos bemenet esetén azonos kimeneti mintázatot kaptunk-e. Ha igen, az ekvivalencia áll. E kettő megkülönböztetésének jelenlegi szintünkön nincs jelentősége, mivel így is, úgy is el kell végeznünk a „számítást”, később másként lesz. 14

Extenzionális mondatfunktorok Feladatok a negációra Ruzsa 2001: 37

Extenzionális mondatfunktorok Konjunkció (&) A konjunkció (összekapcsolás) kétargumentumú mondatfunktor. Nézzük az alábbi mondatot. „A waterloo-i csatatéren esik az eső és fúj a szél.” Természetes nyelvi tapasztalataink alapján próbáljuk meghatározni, hogy ez az összetett mondat mikor igaz! Igaz, ha nem esik az eső, csak a szél fúj? Igaz, ha esik az eső, de nem fúj a szél? Igaz, ha se nem esik, se nem fúj? 16

Extenzionális mondatfunktorok Konjunkció (&) Ugye nem. Akkor és csak akkor igaz, ha esik az eső és fúj a szél. Általánosítva: az ‘és’-sel összekapcsolt összetett mondatok akkor és csak akkor igazak, ha mindkét tagmondatuk igaz. Az aritmetika mintájára megfogalmazva: A ‘&’ egy függvényjel, amely azt a kétargumentumú igazságfüggvényt jelöli, amelynek szabálya a következő: „a kimenet akkor és csak akkor igaz, ha mindkét bemenet igaz” Határozzuk meg tehát az igazságszabályt is.

Extenzionális mondatfunktorok Konjunkció (&) (A és B jelöli a bemeneteket) Ha A igaz és B igaz, akkor igaz. Ha A igaz, de B hamis, akkor hamis. Ha A hamis, de B igaz, akkor hamis. Ha A hamis és B is hamis, akkor hamis. Még plasztikusabban:

Extenzionális mondatfunktorok Konjunkció (&) Be → Ki i, i → i i, h → h h, i → h h, h → h

A konjunkció tulajdonságai (tábla) Kommutativitás (második logikai törvény, T2) Asszociativitás (harmadik logikai törvény, T3) (Idempotencia, T4) (A konjunkcióból következik junktorok igazsága)(T5) Zárójel ‘(‘ és ‘)’ funkciója: a tagolás és egyértelműsítés (később látunk majd kétértelmű (kétféleképpen analizálható) mondatokat

A konjunkció tulajdonságai A konjunkcióból következtethetünk bármelyik tag igazságára (T5): A & B => A A & B => B (T5) 21

A konjunkció Feladatok Ruzsa 2001: 37 1. igazolni a konjunkció kommutativitását és asszociativitását (hogyan is igazolunk ekvivalenciát?) 2. Vajon kommutatív-e az alábbi igazságszabállyal rendelkező (ismeretlen) funktor? i,i → h i,h → h h,i → h h,h → i 22

A konjunkció Ruzsa 2001: 37, 1.1.1/4 feladat „Őseinket felhozád Kárpát szent bércére, Általad nyert szép hazát Bendegúznak vére. S merre zúgnak habjai Tiszának, Dunának, Árpád hős magzatjai Felvirágozának.” 23

Extenzionális mondatfunktorok Folytatás: két további funktor Alternáció (vagy) Kondicionális (ha…, akkor…)

Extenzionális mondatfunktorok Alternáció 25

Extenzionális mondatfunktorok A negáció és a konjunkció esetén természetes nyelvhasználatunk szabályát vettük alapul e függvények igazságszabályának meghatározásához. Ez biztosítja a formális szabályok és a természetes nyelvhasználat kapcsolatát, másként, a logikai szabályok alkalmazását természetes nyelvi mondatokra. Nem így haladunk azonban tovább. Ennek oka az a hagyomány, amely az axiomatikus tudományok szigorú és mértéktartó építkezését tekinti mérvadónak a logika felépítésénél. Vagyis, a további funktorokat a már rendelkezésre álló függvények kombinációjával fogjuk posztulálni (definícióval bevezetni). Csak ezután vetjük össze természetes nyelvhasználatunkkal őket. Lássuk.

~A & ~B illetve ~(A & B) más függvények jelei. Alternáció (V) Az első fontos belátás, ha a negációt és a konjunkciót együttesen kívánjuk alkalmazni: más kimenetet ad a konjunkció tagjainak egyenkénti negációja mint a teljes konjunkció negációja. Formulázva: ~A & ~B illetve ~(A & B) más függvények jelei. Az egyes függvényeket a bemenet és a kimenet összefüggése egyediesíti. Másként is megközelíthetjük ezt: ugyanazt a bemeneti mintázatot adjuk mindegyiknek és megvizsgáljuk, hogy milyen kimeneti mintázatot kapunk. Ha azonos bemenet esetén a kimenet más, a függvények eltérnek egymástól, ha viszont különböző jelű függvények azonos kimenetet adnak, ezeket ekvivalensnek tekintjük. Ezért rögzítjük a bemenetet és a kimeneti mintázatot fogjuk a függvények „névjegyének” tekinteni.

Alternáció (V) A rögzített bemeneti mintázat a következő (kétargumentumú funktor esetén): i, i i, h h, i h, h Tudjuk, hogy a konjunkció esetén a kimeneti mintázat a következő: i h Ez a konjunkció névjegye, ebből fogunk kiindulni.

Alternáció (V) Állításunk tehát az, hogy ‘~A & ~B’ illetve ‘~(A & B)’ más függvények jelei. Természetes nyelvérzékünk szerint ezek nem különböznek vagy legalábbis nem világos, hogy miben is különböznének: Alex és Bence nem buliznak Nem igaz, hogy Alex és Bence buliznak Sem Alex, sem Bence nem bulizik Alex nem bulizik, de Bence sem. 29

Alternáció (V) Vizsgáljuk meg tehát, hogy „~A & ~B” esetén milyen kimeneti mintázatot kapunk! A bemenet, még egyszer: i, i i, h h, i h, h Először a konjunkció bemeneteinek egyenkénti negációját kell elvégezni. Ez annyit tesz, hogy a bemenet minden értéke az ellenkezőjére vált így: h,h h,i i,h i,i

Alternáció (V) Most jön a második lépés, megvizsgálni, hogy az így kapott mintázatot bemenetként használva a konjunkció szabálya szerint milyen kimenetet kapunk. Nos, h,h esetén a kimenet: h, tovább, h,i esetén a kimenet: h, tovább, i,h esetén a kimenet:h, és végül, i, i esetén a kimenet: i. Vagyis: h,h h,i i,h i,i esetén a kimenet: h i

Alternáció (V) Összegezzük: Az „~A & ~B” jelölte függvény szabálya: i, i → h i, h → h h, i → h h, h → i A névjegy így (a rögzített bemeneti pattern esetén): h i

Nézzük a következő alakzatot: ~(A & B) Alternáció (V) Lassan, nagyon lassan haladunk egy új funktor felé, de még nem látszik az alagút vége. Most ott tartunk, hogy bizonyítjuk, más függvényt jelöl a konjunkció tagjainak egyenkénti negációja, mint a teljes konjunkcióé. Az első lépés megvolt, láttuk, milyen mintázatot ad az egyenkénti negáció. Nézzük a következő alakzatot: ~(A & B) Ez esetben először a konjunkciót végezzük el, a normál módon, majd ezután alkalmazzuk a negációt.

Alternáció (V) A rögzített bemenet i, i i, h h, i h, h esetén a a kimeneti mintázat a következő: i h Ezt kell tehát negálnunk, azaz, mindegyiket az ellenkezőjére fordítanunk. Amit kapunk:

Alternáció (V) Ez a névjegy tehát: h i Összegezve: ~A & ~B kimenete: h i ~(A & B) kimenete:

~(~A & ~B) kimenete tehát Alternáció (V) Jegyezzük meg a fentieket és most nézzük meg, mi történik, ha tovább tagadjuk (tovább negáljuk) a kiinduló formulát: ~A & ~B kimenete: h i ~(~A & ~B) kimenete tehát És most vegyük fontolóra a következő mondatok igazságfeltételét.

Alternáció (V) „A waterloo-i csatatéren esik az eső vagy fúj a szél” „Béla vagy Józsi megy megszerelni a bojlert” „Töltött káposztát eszem vagy pörköltet” Közös jegyük: akkor és csak akkor hamisak, ha mindkét tagmondatuk hamis, máskülönben igazak (erről még lesz szó). Vagyis a bennük rejtőző logikai függvény szabálya a következő: i,i→i i,h →i h,i →i h,h →h

A V B <=>df ~(~A & ~B) Alternáció (V) Egy még ismeretlen logikai függvény névjegye tehát: i h Korábban viszont már láttuk ezt, ~(~A & ~B) esetén. Vagyis ez a két jel ugyanazt a függvényt jelöli, csak más módon. ~(~A & ~B) rövidítésére tehát bevezetjük az „A V B” jelet, amelyet így definiálunk. A V B <=>df ~(~A & ~B)

Alternáció (V) Ez az alternáció (másként, megengedő vagy, mert azt is megengedi, hogy mindkét tagmondat igaz legyen). Az alternáció tulajdonságai (tábla) Kommutativitás (T7) Asszociativitás (T8) (Idempotencia)(T9) (Az igazból következő alternáció) (T10)

Duális A konjunkció és az alternáció egymás ún. duálisai: az egyik igazságfeltétele a másik hamisságfeltétele. Ez a szimmetria indokolja, hogy a logika fejlődésében az alternáció és nem a szigorú, kizáró vagy (diszjunkció) vált alapfunktorrá. Ez utóbbi ugyan jobban illeszkedik mindennapos nyelvhasználatunkhoz, ám a konjunkció és az alternáció együttes tulajdonságai lehetővé tették az elemi logika és az elemi aritmetika, illetve később a halmazelmélet egy rendszerben való kezelését. Ez azzal a reménnyel kecsegtetett, hogy a matematika megalapozását a logika végezheti el (Boole). Lássunk egy példát a logika és az aritmetika izomorfiájára a konjunkció és az alternáció kapcsán!

Disztributivitás (a konjunkció és az alternáció széttagolhatósága) Duális Disztributivitás (a konjunkció és az alternáció széttagolhatósága) Vegyük szemügyre az alábbi aritmetikai egyenlőséget: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) Kíváncsiságból nézzük meg, helyes-e. Legyen a=2, b=3, c=4. Az eredmény a műveletek (szorzás, összeadás) elvégzése után: 14=14 Ám tekintsünk most az alábbi logikai ekvivalenciára: A & (B V C) <=> (A & B) V (A & C) Ellenőrizzük igazságtáblával az ekvivalencia helyességét! (Házi feladat) 41

Disztributivitás (széttagolhatóság) Duális Disztributivitás (széttagolhatóság) A & (B V C) <=> (A & B) V (B & C) A kimeneti mintázat rögzített bemenet esetén ugyanaz az ekvivalencia mindkét oldalán, így a szemantikai egyenértékűség érvényes. Emiatt is nevezik hagyományosan a konjunkciót logikai szorzásnak, az alternációt pedig logikai összeadásnak. Látható, hogy ez az izomorfia aritmetika és logika között nem állna fenn, ha a ‘vagy’ kifejezést nem alternációként (hanem akárhogyan másként) határoznánk meg. 42

Az alternáció definíciója: A V B <=>df ~(~A & ~B) De Morgan törvények Az alternáció definíciója: A V B <=>df ~(~A & ~B) Mindkét oldal negációjával az ekvivalencia továbbra is fennáll (hiszen a kimenet igazságértékeit mindkét oldalon ugyanúgy felcseréljük): ~(A V B) <=>~~(~A & ~B) A kettős negáció törlése után: (T11) ~(A V B) <=> ~A & ~B Ha most A-t ~A-val, B-t pedig ~B-vel helyettesítjük, ezt kapjuk: ~(~A V ~B) <=> ~~A & ~~B A kettős negáció törlésével ehhez jutunk: ~(~A V ~B) <=> A & B Negáljuk most mindkét oldalt: (T12) ~A V ~B <=> ~(A & B)

(T12) ~A V ~B <=> ~(A & B) De Morgan törvények Ellenőrizzük ez utóbbit:: (T12) ~A V ~B <=> ~(A & B) A jobb oldali kifejezés névjegyét már kiszámoltuk: h i Nézzük a bal oldalt! Elsőként a negációkat végezzük el: i,i – h,h i,h – h,i h,i – i,h h,h – i,i 44

De Morgan törvények Ezt kaptuk tehát: i,i – h,h i,h – h,i h,i – i,h h,h – i,i A jobb oldali mintát bemenetként adva az alternációba a szabály szerint az alábbi kimenetet kapjuk: h i Ez pedig ugyanaz a mintázat, mint a ~(A & B) kimenete, az ekvivalencia áll. 45

Egyértelműsítés zárójelekkel Vegyük az alábbi mondatot: „Hozd a feleséged vagy gyere egyedül és érezd jól magad!” Hogyan formalizáljuk? Másként, mire gondolt az, aki így fogalmazott? Mi az állítás logikai szerkezete? Legyen p=hozd a feleséged, q=gyere egyedül, r=érezd jól magad (p v q) & r p v (q & r) 46

Feladatok Ruzsa 2001: 38 47

Extenzionális mondatfunktorok Kondicionális 48

Kondicionális (→) Az alternáció esetén alkalmazott eljárással tudjuk definiálni a feltételes állítások (ha…, akkor…) igazságfeltételét is. Látni fogjuk majd, hogy a kondicionális meghatározásával igen mély szakadék képződik természetes nyelvünk és a logikai nyelv között (ennek is megvan a maga indoka, miként az alternáció esetén is).

Kondicionális (→) A feltételes mondatok igazságfeltétele nehezen meghatározható. Egyvalami biztos pontnak tűnik azonban: amikor hamisak. Példa: hogyan cáfoljuk az alábbi feltételes összefüggést? „Ha Zsozsó gólt rúg, megeszem a kalapom” mondja Béla bácsi a meccs előtt. És lássanak csodát, Zsozsó gólt rúg, ám Béla bácsi nem eszi meg a kalapját. Vagyis a cáfolat (azon eset, amikor az összefüggés hamis): „Zsozsó gólt rúg, de Béla bácsi nem eszi meg a kalapját” Formulázva: A és non-B vagyis A & ~B

Kondicionális (→) Jól látható, hogy ebben a cáfolatban „A és non-B”, konjunkciót és negációt alkalmazunk, vagyis axiomatikusan építkezve ezek alapján meghatározhatjuk a feltételes állítások hamisságfeltételét. Indirekt úton azonban ez módot ad arra is, hogy igazságfeltételeiket is definiáljuk, vagyis megkapjunk egy új névjegyet. Amennyiben a feltételes összefüggés akkor hamis, ha „A és non-B”, akkor abban az esetben fogadjuk el igaznak (legalábbis nem megcáfoltnak), ha tagadjuk „A és non-B”-t. Példaként: nem tekintjük megcáfoltnak a „Ha Zsozsó gólt lő, megeszem a kalapom” összefüggést, ha Zsozsó nem lő gólt és Béla bácsi nem eszi meg a kalapját, ha nem lő gólt, de mégis megeszi s végképp nem, ha Zsozsó gólt lő és Béla bácsi tényleg megeszi a kalapot. S ennyi elég is.

Kondicionális (→) Vagyis: ~(A & ~B) a keresett formula (a cáfolat tagadása). Vizsgáljuk meg, milyen kimenetet ad rögzített bemenetünk esetén: Először a belső konjunkciót számoljuk ki. Tudjuk, hogy a sima konjunkció milyen kimenetet ad, ám itt az egyik tag negált, ez nehezít az ügyön. Elsőként tehát az A & ~B formula kimenetét nézzük meg, amihez az út a negáció átalakította bemenet meghatározása: i,i -> i,h i,h -> i,i h,i -> h,h h,h -> h,i Innen már látható, hogy milyen kimenetet ad a teljes konjunkció: i,h -> h i,i -> i h,h -> h h,i -> h E kimenetet már csak negálnunk kell.

Kondicionális (→) i h A névjegy tehát: Vagyis: h → i i → h A névjegy tehát: i h ~(A & ~B) formula eredménye pontosan azzal szolgál, amit kerestünk a feltételes állítások hamisságfeltételeként, vagyis: egy ilyen összefüggés akkor és csakis akkor hamis, ha az első tagmondat igaz, a második hamis.

A → B <=>df ~(A & ~B) (T16) Kondicionális (→) A kondicionálist így posztuláljuk tehát: A → B <=>df ~(A & ~B) (T16) A kondicionális tulajdonságai: Szerkezete: előtag, utótag (Negált kondicionális) (T17) Kontrapozíció (T18) (Konverzió) Modus ponens (T19), Modus tollens (T20) Láncszabály (T21)

Kondicionális (→) Kontrapozíció: az előtag és az utótag felcserélése és negálása. A definíció: A → B <=>df ~(A & ~B) A konjunkció kommutativitása miatt: A → B <=> ~(~B & A) A jobb oldal így egy olyan ismeretlen kondicionális ekvivalense, amelyet úgy hozhatunk explicit alakra, ha a zárójelben szereplő konjunkció első tagját változatlanul előtagnak vesszük (~B), a második tagot pedig negálva utótagnak (~A). A → B <=> ~(~B & A) <=> ~(~B & ~~A) <=> ~B → ~A A közbülső tagok kiiktatásával a kontrapozíció törvénye: A → B <=> ~B → ~A (T18)

Kondicionális (→) A kondicionális tulajdonságai: (tábla) Modus ponens Modus tollens (kétpremisszás következtetés)

Kondicionális (→) Az elnevezésről: Pavlov kutyája és a feltételes reflex Elterjedt még: „implikáció”. Azonban az, hogy „A implikálja B-t” sokkal inkább áll a következtetésre (hiszen ez esetben foglaltatik benne A-ban B implicit módon). Ugyanez áll az ún. bikondicionális (A → B) & (B → A) és az ekvivalencia (<=>) esetére is (vö. Ruzsa 2001: 46) 57

Kondicionális (→) A kondicionális további tulajdonságai: Konverzió A → B nem ekvivalens (B → A)-val. HF: bizonyítani igazságtáblával Láncszabály (T21) {A → B; B → C} => A → C

Kondicionális (→) Még furcsább tulajdonságok: Verum ex quodlibet („az igaz bármiból következik”): A => B → A Ex falso quodlibet („a hamisból bármi következik”) ~A => A → B Vegyük észre, hogy ezekhez egyenrangúnak kell vennünk a következtetést és a kondicionálist! 59

Kondicionális (→) Hogyan indokolható a kondicionális szabálya? Sztoikus logika: ha nem engedjük meg, hogy a hamis előtag, igaz utótag, illetve a hamis elő- és utótag igaz összetett mondatot hozzon létre, akkor nem tudunk különbséget tenni konjunkció és kondicionális között. Márpedig ezek nem ugyanazt jelentik s az extenzionális logikában a különbségeket a faktuális érték (ez esetben igazságérték) alapján kell definiálnunk. 60

Feladatok Ruzsa 2001: 46 Házi feladat: 61

Logikai és halmazelméleti összefüggések non-A --- A komplementerhalmaza A és B (konjunkció, logikai szorzás) ---- A metszet B A vagy B (alternáció, logikai összeadás) ---- A unió B ha A, akkor B (kondicionális, implikáció--- A valódi részhalmaza B-nek Szemléletesen: (tábla) Minderre az elsőrendű (predikátum)logikában szükségünk lesz majd bizonyos következtetések helyességének ellenőrzéséhez 62