Készítette: Nagy Mihály tanár Perecsen, 2006. A függvény

Halmazok Descartes-szorzata A halmazok Descartes-szorzata: Tehát a Descartes-szorzat rendezett elempárok halmaza. Például: A={3,5}, B={1,4}, akkor AXB={(3,1), (3,4), (5,1), (5,4)}. Általában: AXB≠ BXA .

A derékszögű koordináta-rendszer A valós számok halmazának geometriai ábrázolása egy egyenes (számegyenes). Két egymásra merőleges számegyenes egy Descartes-féle koordináta-rendszert alkot. Az RXR={(x,y)|xR, y  R} szorzat minden elempárja ábrázolható ebben a rendszerben. Az OX az abszcissza, OY az ordináta tengely. O a kezdőpont (origó).

Az egyenesek négy negyedet határoznak meg: I., II., III., IV. negyed. A számozás az óra járásával ellenkező irányban történik. II I III IV

y M(2;3) O x N(-3;-1)

Az M pont koordinátái 2 és 3. A 2 az abszcissza, a 3 az ordináta Az M pont koordinátái 2 és 3. A 2 az abszcissza, a 3 az ordináta. Az N pont koordinátái a -3 illetve a -1. Az RXR szorzat bármely elemének megfelel egy pont a síkban. Vagyis bármely számpár ábrázolható a koordináta-rendszerben.

A függvény fogalma Tekintsük az A(-2,-4), B(-1,-2), C(0,0), D(1,2), E(2,4). Készítsünk táblázatot: x -2 -1 0 1 2 y -4 -2 0 2 4 Megfigyelhetjük, hogy y = 2x. Ábrázoljuk a koordináta-rendszerben a pontokat:

y x O (-2,-4) (-1,-2) (0,0) (1,2) (2,4)

Adott az A{-2, -1, 0, 1, 2} és B={0, 1, 4} halmaz Adott az A{-2, -1, 0, 1, 2} és B={0, 1, 4} halmaz. A két halmaz alapján az alábbi táblázatot készíthetjük: x -2 -1 0 1 2 y 4 1 0 1 4 Észrevesszük, hogy y = x2. Ábrázoljuk a koordináta-rendszerben:

y x O (0,0) (1,1) (2,4) (-1,1) (-2,4)

Készítsünk diagramokat és nyílakkal ábrázoljuk az elelemek közötti kapcsolatokat (relációkat): 1. 2. -2 -1 1 2 4 -2 -1 1 2 -4 4

Más relációkat kifejező diagramok: 3. A B 1 2 3 4 5 a

Vizsgáljunk meg még egy diagramot: 4. C D a b c 1 2 3 4 5 6

Tanulmányozzuk egy kicsít az előbbi relációkat: Az 1., 2. és 3. ábrán az első halmaz bármely elemének a második halmazból egy és csak egy elem felel meg. Ezek függvényszerű relációk. A negyedik ábrán a C halmaz a elemének a D halmazban több elem felel meg. Ez a reláció nem függvényszerű. Mondhatjuk, hogy az első három reláció függvény, az utolsó viszont nem függvény.

Értelmezés: Adott az A és B halmaz. Ha valamilyen eljárással (f) az A halmaz bármely x elemének megfeltetünk egy és csak egy y elemet a B halmazból úgy, hogy y = f(x), azt mondjuk, hogy egy f :A B függvény értelmeztünk. Az A halmazt értelmezési tartománynak, a B halmazt értéktartománynak nevezzük. Az f a megfeleltetési szabály, törvény, eljárás ami lehet képlet vagy egyéb összefüggés.

táblázattal: x 1 2 3 4 y 1 4 9 16 diagrammal: képlettel f(x) = x2 Az előbbiek alapján látható, hogy a függvényeket háromféleképpen határozhatjuk meg: táblázattal: x 1 2 3 4 y 1 4 9 16 diagrammal: képlettel f(x) = x2 1 1 4 2 9 3 16 4

A függvény grafikus képe A Gf={(x,y)|x  A,y=f(x)} halmazt az f:A B függvény grafikus képének nevezzük, ahol GfAXB. A Gf számossága mindig egyenlő az A halmaz számosságával. Például: Legyen A={-1, 0, 1, 2}. Tekintsük az f: A B , f(x) = 2x + 1 függvényt. Akkor a Gf = {(-1,-1), ( 0,1), (1,3), (2,5)}. Az A és B halmaz lehet éppen az R.Ebben az esetben Gf  RXR.

Az elsőfokú függvény Az f::A B, f(x) = ax + b, a, bR alakú függvényeket elsőfokú függvényeknek nevezzük. Amint előbb láttuk ennek a függvénynek a grafikonja egy egyenesbe eső pontok. Ezért tévesen egyes tankönyvekben lineáris függvényként emlegetik. Ha A  R, akkor a grafikon egy szakasz, félegyenes vagy egyenes. Az f : R R, f(x) = ax + b az elsőfokú függvény általános alakja.

Példák: 1. Adott az f:{-1, 0, 1, 2} R, f(x) = 2x+1 függvény. (-1,-1) (0,1) (1,3) (2,5)

2. Legyen az f: R R, f(x) = 4x-3 függvény. Ábrázoljuk: (0,-3) (-1,1) f(x) x 0 -1 y -3 1

3. Tekintsük az f:R. R, f(x)=3 és a g:R. R, g(x)=-2 függvényeket 3. Tekintsük az f:R R, f(x)=3 és a g:R R, g(x)=-2 függvényeket. Ábrázoljuk: x O y f(x) g(x)

4. Ábrázoljuk az f:R R, f(x) = -2x függvényt!

A tengelyekkel való metszéspontok meghatározása Legyen f:R R, f(x)=ax+b az elsőfokú függvény általános alakja. Ha x=0, akkor f(0)=b, tehát A(0,b) az OY tengellyel való metszéspont. Ha f(x)=0, akkor ax+b=0, vagyis x= tehát B( ,0), az OX tengellyel való metszéspont. A két ponton áthaladó egyenes a függvény grafikonja.

Példa: Tekintsük az f:R. R, f(x)=2x-6 függvényt Példa: Tekintsük az f:R R, f(x)=2x-6 függvényt. Keressük meg a tengelyekkel való metszéspontokat és ábrázoljuk. Ha x=0, akkor f(0)=-6, tehát A(0,-6) pontban metszi az OY tengelyt. Ha f(x)=0, akkor 2x-6=0, azaz x=3, tehát a B(3,0) pontban metszi az OX tengelyt. Mivel az elsőfokú függvény grafikonja egy egyenes és két pont mindig meghatároz egy egyenest, ezért a két ponton átmenő egyenes a függvény grafikonja.

Készítsük el a grafikont: y O B(3,0) A(0,-6) f(x) x

Függvény meghatározása két pontja segítségével Példa: Határozzuk meg az A(-2,3) és B(4,-1) pontokon áthaladó függvényt! Megoldás: Az elsőfokú függvény általános alakja f(x)=ax+b. Kiszámítjuk az f(-2) és f(4) értékeket, azután pedig megoldjuk az f(-2)=3 és f(4)=-1 egyenletekből álló egyenletrendszert. Innen kapjuk, hogy a = és b = . A függvény:

x=0, f(x)=6, tehát A(0,6) f(x)=0, x= -2, tehát B(-2,0) Feladat: Határozzuk meg az f:R R, f(x)=3x+6 függvény grafikonja és a tengelyek által határolt alakzat területét! x O x=0, f(x)=6, tehát A(0,6) f(x)=0, x= -2, tehát B(-2,0) A(0,6) B(-2,0) f(x)

Az elsőfokú függvény tulajdonságai Csökkenő, ha a<b, akkor f(a)>f(b) Állandó, ha a<b, akkor f(a)=f(b) Növekvő, ha a<b, akkor f(a)<f(b) y O x a f(b) f(a) b O x y f(a) a b f(b) O x y b a f(a) f(b)

Intervallumokon értelmezett elsőfokú függvények Az f:I R, f(x)=ax+b függvény a g:R R, g(x)=ax+b függvénynek az I intervallumra való leszűkítése. Az f függvény grafikus képe a g függvény képének (d) egy része, ami lehet szakasz vagy félegyenes. Ahogy az értelmezési tartomány zárt vagy nyílt intervallum, úgy a grafikon zárt vagy nyílt szakasz. Nézzünk egy pár példát:

1. Legyen az f:(-2,3) R, f(x)=x+3. O y -2 3 f(x)

2. Legyen az f:[-2,3] R, f(x)=x+3. O -2 3 f(x) y

3. Legyen az f:[-2,+ ) R, f(x)=x+3. O -2 3 f(x)

Köszönöm a figyelmet!