Kvantum szóráselmélet: a kvantummechanika kiteljesedése Bencze Gyula KFKI Részecske és Magfizikai Kutatóintézet

„A hatáskvantumban valami eddig soha nem hallott jelentkezik, amely arra van hívatva, hogy alapjában átalakítsa egész fizikai gondolkodásunkat.” Max Planck

A kvantumelmélet dicsőségtáblája Max Planck – Albert Einstein – Niels Bohr – Louis de Broglie Werner Heisenberg – Erwin Schrödinger – Wolfgang Pauli – Paul Dirac

És akiről mindig megfeledkeztek: Max Born

E. P. Wigner, Gruppentheorie und Ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektren, F. Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1931. J. von Neumann, Matematische Grundlagen der Quantenmechanik. Springer, Berlin, 1932. Frédéric Riesz, Béla Sz.-Nagy: Leçons d'analyse fonctionnelle, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1952.

A formális szóráselmélet eszközei (B.A. Lippmann, J. Schwinger, M Gell-Mann, M.L. Goldberger, 1950-1956.) A szórásprobléma Schrödinger egyenlete integrálegyenletté, az ún. Lippmann-Schwinger (LS) egyenletté alakítható át: ahol  és  a szabad, ill. perturbált probléma megoldása, a magban szereplő rezolvens operátorban pedig jól ismert módon az 0 határátmenet értendő. Ha a V kölcsönhatás rövid hatótávolságú, az LS egyenlet Fredholm típusú, egyértelmű megoldással rendelkezik, a homogén és inhomogén egyenletnek pedig nem létezhet egyszerre megoldása adott energiánál, a rendszernek nem létezhet egyszerre lokalizált valamint nem lokalizált szórási állapota! A H és H0 operátorok folytonos sperktrumához tartozó hullámfüggvények között az ún. hullámoperátorok létesítenek megfeleltetést:

A hullámoperátorok ismeretében a rendszer S szórásoperátora valamint az átmeneteket leíró ún. tranzit operátora: , A rendszer T-operátora a Lippmann-Schwinger-egyenlet megoldásával határozható meg: A szórás kezdeti és végállapotát összekapcsoló S mátrixelem, ill a T-mátrixelem teljes mértékben meghatározza a folyamat fizikai jellemzőit: a szórási amplitudót ill. a szórási hatáskeresztmetszetet:

Sokcsatornás rendszerek (N2) : a rendszernek többféle kölcsönhatásmentes aszimptotikus állapota létezik, ezek a teljes Hamilton operátor különböző felbontásainak felelnek meg perturbálatlan rendszerre és kölcsönhatásra: H = Ha + Va = Hb + Vb = Hc + Vc … etc. Értelemszerűen minden csatornára definiáhatók a hullámoperátorok, az S és T operátorok mátrixok lesznek:

A teljes hullám-függvényre vonatkozó Lippmann-Schwinger egyenlet a fizikai információt hordozó, energiahéjon vett (“on-shell”) tranzit mátrixelemek : A tranzit operátornak, illetve konkrét mátrixelemeinek ismeretében a reakciók hatáskeresztmetszete meghatározható. Fontos megjegyezni, hogy bár a Lippmann-Schwinger egyenleteket kielégítik a Schrödinger egyenlet fizikai megoldásai, a formális elmélet nem foglalkozik az integrálegyenletek megoldásainak tulajdonságaival ill. az egyértelmű megoldás létezésének feltételeivel. A gyakorlatban használt közelítő módszerek az LS egyenletek iterációján alapulnak. .

Ludvig Dmitrievics Fagyejev 1934 – Háromtest probléma - A Fagyejev módszer Ludvig Dmitrievics Fagyejev 1934 –

N 2 részecske esetére a Lippmann-Schwinger egyenlet nem Fredholm típusú, azaz magja még komplex energiáknál is szinguláris. A mag tulajdonságait nem lehet iterációval javítani, mivel annak során a szingularitást okozó „disconnected” tagok újra termelődnek. A Fagyejev módszer az LS integrálegyenlet magjában a szinguláris tagokat elkülönítve, azok járulékát invertálva a szingularitást megszünteti. , , ahol α a kéttest kölcsönhatást indexeli, értékei (12), (13) vagy (23) lehetnek. Az L-S egyenlet ebben az esetben definiáljuk ekkor nyilván

Figyelembe véve, hogy [1-VαG0(z)]-1Vα a kéttest t-operátor, azonnal adódnak a Fagyejev egyenletek Fagyejev úttörő munkájában eredetileg az M operátorokra vezette le híres egyenleteit:

A Fagyejev - egyenletek Meg kell jegyezni, hogy Fagyejev eredeti jelölésében az R(z) rezolvens operátor a fizikai jelöléstől eltérően R(z)= (H – z)-1 ezért a képletekben egy előjel különbség van

L.D. Fagyejev “angol hangja” Claud Lovelace

„Faddeev by hand”

Fagyejev eredményei gyökeres szemléletváltást eredményeztek a szóráselmélet alkalmazása terén. Míg korábban az ütközések leírásában szinte kizárólag csak kéttest módszereket alkalmaztak, most új lehetőségek nyíltak, és ezek kihasználásában a magyar kutatók is élenjártak. Beregi Péter, Lovas István és Révai János kidolgozta a rezonacia-szórásnak egy egzaktul megoldható háromtest modeljét: An exactly soluble three-body model of resonance scattering, Ann. Phys. (N.Y.) 61 (1970) 57-77. Lovas István és Dénes Ervin a küszöbeffektusokat tanulmányozta egy egzaktul tárgyalható háromtest modell keretében: Thresholds and Resonances in a Three-Body Model, Phys. Rev. C7 (1973) 937 Doleschall Pál és Révai János a háromtest egyenletek numerikus megoldásának technikáját, azon belül az iterációs módszer alkalmazhatóságát vizsgálta Application of iteration technique to the integral equations of scattering theory, J. Math. Phys. 11 (1970) 1001. „Raynal-Révai koefficiensek” : J. Raynal and J. Révai: Transformation coefficients in the hyperspherical approach to the three-body problem, Nuovo Cim. 68A (1970) 612.

Doleschall Pál a háromnukleon szórásproblémára alkalmazta a Fagyejev egyenleteket és a numerikus megoldás meghatározására nagyméretű számítógépes programot írt („Doleschall code”) amellyel azonnal a szakterület élvonalába került. A kísérleti eredmények értékelésére a program számításai alapján kiterjedt nemzetközi együttműködésben került sor. P. Doleschall: N-D Elastic Scattering and Polarization Calculations with Tensor Force and P-Wave Interaction, Phys. Lett. 38B (1972) 298. P. Doleschall: A Three-Body Calculation for Polarization Effects in Neutron-Deutron Scattering, Nucl. Phys. A201 (1973) 264. Első háromtest modellszámítás komplex kéttest potenciálokkal: Gy. Bencze, P. Doleschall: Dynamical Three-Body Calculations with Complex Potentials, Phys. Lett., 32B (1970) 539. A magreakciók modellezése terén továbblépést jelentett Lovas István munkája, amelyben olyan háromtest rendszert vizsgált, amelyben az egyik részecske belső szabadsági fokkal is rendelkezett, és ennek a belső („core”) gerjesztésnek a hatása csatolt Fagyejev egyenletek segítségével volt tárgyalható: I. Lovas: Nuclear reactions with core excitation, Ann. Phys. (N.Y.) 89 (1975) 96.

A kvantummechanikai N-test probléma N  3 esetén a Fagyejev módszer már nem alkalmazható, a szingularitások részletesebb osztályozására van szükség, ehhez szükség van a particiók és particióláncok fogalmának a bevezetésére. Minden partícióhoz hozzárendelhetünk egy N-részecske rendszert, amelyben csak az azonos fragmentumban lévő részecskék hatnak kölcsön. Ennek az aszimptotikus csatornának a Hamilton operátora és a kölcsönhatás Ha =H0 + Va , A csatorna Hamilton operátor rezolvense valamint a T-operátor értelemszerűen

A Jakubovszkij-féle integrálegyenletek az alrendszerek T- operátorai: A Fagyejev módszert az N-részecske rendszerre Fagyejev tanítványa, O.A. Jakubovszkij általánosította (1967) a partició T-operátorok komponenseinek lehető legrészletesebb osztályozásával A Jakubovszkij-féle integrálegyenletek az alrendszerek T- operátorai:

Narogyeckij-Jakubovszkij egyenletek A Jakubovszkij egyenletek előnyös matematikai tulajdonságaik ellenére a bonyolult csatolási séma és a nagyszámú csatolt egyenlet miatt a gyakorlatban csak nagy nehézségek árán alkalmazhatók. Narogyeckij és Jakubovszkij később a formalizmust kissé megváltoztatva olyan N-test egyenleteket vezetett le, amelyek megkönnyítik az alkalmazást és egyes közelítések, pl. az ún. pólus közelítés alkalmazását a csatolt egyenleteknél: Narogyeckij-Jakubovszkij egyenletek

Alt, Grassberger és Sandhas nyomán később Sloannak (1972) a négyrészecske probléma esetében sikerült olyan egyenleteket levezetni, amelyek a tranzit operátorokat szolgáltatják. , A magreakciók elméleti tárgyalásához legjobban illeszkedő formalizmus csak a kétfragmentumos csatornák T-operátorait csatolja össze, minden egyéb folyamat T-operátora az előbbiekből kvadratúrákkal nyerhető (Bencze,1973). Ezek az egyenletek speciális esetként tartalmazzák a három-test probléma AGS egyenleteit, valamint a Sloan-féle négytest egyenleteket is. Ugyanezekre az egyenletekre jutott egy évvel később E.F. Redish (1974). Az irodalomban ezek Bencze-Redish-Sloan (BRS) egyenletek néven szerepelnek: amelyben az összegzés csak a kétfragmentumos csatornákra terjed ki. Az inhomogén tagban szereplő kölcsönhatást a következő összeg definiálja:

A BRS egyenletek magja egyetlen iteráció után teljesen összefüggővé válik, a csatolás minimális (csak a kéttest-fragmentációjú csatornákat csatolja). Az alrendszerek T-operátoraira szeparálható sorfejtést, vagy pólus közelítést bevezetve az egyenletek azonnal sokcsatornás effektív kéttest egyenletek rendszerére redukálódnak. Az N-részecske egyenleteket a csatolás tulajdonságai szerint lehet osztályozni (Bencze, Tandy, 1976), amelyek két csatolási sémát, az ún. lánc csatolást (“chain coupling class”) valamint a csatorna csatolást (“channel coupling class”) alkalmaznak. Az N-részecske tranzit operátorok közti lineáris relációk miatt az egyes csatornák lecsatolhatók. Speciális esetként az N-részecske Hamilton operator rezolvensére vonatkozó Weinberg N-részecske egyenlet levezethető a BRS egyenletekből. Chandler és Gibson 1977-ben levezetett, ún. két Hilbert tér formalizmuson alapuló egyenletei a rendszer összes lehetséges particióját összekapcsolják, így bonyolultság terén a BRS és a Jakubovszkij formalizmus kötött vannak.

A csatolt egyenletek száma N függvényében a különböző formalizmusoknál: 4 5 6 7 8 BRS 3 15 31 63 127 CG 14 51 202 876 4139 NY 18 70 325 651 1764 Y 180 2700 56700 1587600 N-részecske formalizmusok: BRS=Bencze-Redish-Sloan, CG=Chandler Gibson, NY= Narogyeckij-Jakubovszkij, Y= Jakubovszkij [ Bencze Gy.: Combinatorial Problems in N-Particle Scattering, Phys.Lett. 72B (1977) 155]

A Jakubovszkij egyenletek differenciális változata a konfigurációs térben (Merkuriev 1988):

Az N-részecske formalizmus a konkrét alkalmazások mellett szemléletbeli változásokat is hozott magával. A korábban használt közelítő módszerek az egzakt formalizmus alapján szilárdabb elméleti alapokat kaptak, valamint új közelítő módszerek is megszülethettek. Ennek megfelelően mind a csatolt csatornák módszere,mind pedig az ún. effektív háromtest modellek pontosabban megfogalmazhatókká váltak az egzakt formalizmusnak köszönhetően. Egyes új közelítések, mint pl. az ún. “multi three-cluster model of nuclear reactions” közvetlenül levezethetővé válnak a BRS egyenletekből. Bencze Gy.; Polyzou W.N.; Redish E.F.: Effective Three-Body Problems in Multiparticle Nuclear Reactions, Nucl. Phys. A390 (1982) 253 . Bencze Gy.; Chandler C.; Gibson A.G.: Multiparticle Scattering Theory and the Method of Coupled Reaction Channels, Nucl. Phys. A390 (1982) 461. Bencze Gy.; Chandler C.: Multiparticle Scattering Theory and the Multi-Three Cluster Coupling Model of Nuclear Reactions, Phys. Lett. 210B (1988) 23,.

A Coulomb szórásprobléma A szórási határfeltétel szerint rövid hatótávolságú kölcsönhatásokra: Coulomb kölcsönhatás esetén ez az egyszerű fizikai kép érvényét veszti, mivel a Coulomb hullámfüggvény analitikus megoldásból látható, hogy A hagyományos aszimptotikus feltétel nem teljesül, de mivel a kéttest probléma estében analitikus megoldás létezik, a matematikai nehéz-ségeket egy ideig nem ismerték fel. (Véletlen folytán a klasszikus és kvantum hatáskeresztmetszet megegyezik a Rutherford-féle kifejezéssel.) A Lippmann-Schwinger egyenlet már kéttest probléma esetén is szinguláris, a Coulomb szórási hullámfüggvény a homogén egyenletet elégíti ki (West, 1963.)

A Coulomb szórás Dollard-féle tárgyalása Legyen valamint a Coulomb és a „torzított szabad" propagátor rendre Akkor erős topológia szerint léteznek az „általánosított” hullámoperátorok: Az általánosítás sokcsatornás rendszer esetére kézenfekvő.

Coulomb háromtest probléma esetén a Fagyejev-egyenletek módosításra szorulnak: Noble (1967) két töltött részecske esetén a Coulomb rezolvens analitikus alakjának ismeretében vezetett le módosított háromtest egyenleteket. Veszelova (1970) a Fagyejev egyenletekben e Coulomb szingularitások elkülönítésével és invertálásával jutott módosított egyenletekhez, amelyek azonban nem érvényesek a háromtest felbomlási küszöb („three-body breakup threshold”) fölött. Bencze (1972) a háromtest Coulomb rezolvens egy csatornafüggő közelítését felhasználva bevezette a „csatorna torzítás közelítést” („channel distortion approximation”, CDA), és Coulomb torzított AGS-egyenletekre jutott. Alt és Sandhas és Ziegelmann (1978,1980) az árnyékolási és renormálási technika alkalmazásával vezetett le módosított egyenleteket. A Kato-féle láncszabály a Dollard-féle módosított hullámoperátorokra is érvényben marad (Bencze 1977), ezért mind a kétpotenciál formula, mind pedig az ún Gell-Mann-Goldberger reláció azonnal következik. A CDA módszer alkalmazása tehát matematikailag megalapozott. A CDA közelítést később a BRS formalizmus keretében az N-test problémára is sikerült általánosítani (Bencze-Zankel 1980).

a kétpotenciál formalizmus általánosítása: CDA közelítés a BRS N-részecske egyenletekben a kétpotenciál formalizmus általánosítása:

Chandler és Gibson (1974) stacionárius formalizmusban tanulmányozta Dollard időfüggő formalizmusát. Bilaterális Laplace-transzformációval általá-nosított sokcsatornás rezolvens egyenleteket vezettek le. Az egyenletek magjában azonban egyes rezolvens operátorok komplex kitevőjű hatványa szerepel, ami a numerikus tárgyalásra a formalizmust alkalmatlanná teszi. Jelenleg még nem létezik minden esztétikai igényt kielégítő, matematikailag szigorú, valamint a gyakorlatban könnyen alkalmazható Coulomb szóráselmélet, de az ennek kidolgozására irányuló erőfeszítések folytatódnak.

Azonos részecskék a szóráselméletben  Kötött állapoti problémák tárgyalásánál a részecskék azonosságának a figyelembe vétele alapvetőn csak technikai kérdés: a Schrödinger-féle sajátérték feladatot az N-részecske Hilbert tér megfelelő szimmetriájú alterében kell megfogalmazni.  Szórásproblémáknál a permutációs szimmetria figyelembe vétele nem triviális feladat, mivel a szórási hullámfüggvény aszimptotikus alakja (szórási határfeltételek) nem rendelkezik a megkövetelt permutációs szimmetriával A problémát meg kell oldani megkülönböztethető részecskék esetére, majd utólag felösszegezni a fizikailag ekvivalens csatornák járulékát (“a kicserélődési tagokat”) az egyes hatás-keresztmetszetekhez.

Ha N = 3, 4 az integrálegyenletek szimmetrizálása “nyers erővel” (“brute force”) is elvégezhető. Három azonos részecske szórásproblémájánál Lovelace (1964) egyetlen egyenletre vezette vissza a Fagyejev-egyenleteket. Harcsenko és Kuzmicsev (1982) a négytest probléma 18 csatolt Jakubovszkij-féle egyenleteit redukálta fáradságos munkával két csatolt egyenletre. Tetszőleges N számú azonos részecske esetében azonban nyilvánvalóan elkerülhetetlen absztrakt algebrai módszerek használata.

Tetszőleges N számú azonos részecske szórásának első explicit tárgyalását csoportelméleti módszerekkel Bencze és Redish (1974) végezte el a BRS-formalizmus keretében. A permutációs (“exchange”) szimmetria nem dinamikai természetű, explicit tárgyalása nem függhet az N-részecske egyenletek szerkezetétől, ezért a módszer kiterjeszthető az N-részecske integrál-egyenletek egy széles osztályára, és kidolgozható az azonos részecske szórás általános algebrai elmélete (Bencze és Redish, 1979) Az N-részecske szórás időfüggő tárgyalását azonos részecskék szórására Bencze és Chandler (1982) adta meg az ún két Hilbert-tér formalizmus keretében.

Ha az N-részecske rendszer részecskéit permutáljuk, nemcsak a rendszer hulámfüggvénye, hanem az aszimptotikus csatornákat fizikailag jellemző indexek (particiók) is meg fognak változni. Legyen P az SN szimmetrikus csoport tetszőleges eleme, α pedig egy tetszőleges index (partíció vagy particiólánc), akkor a permutáció eredményeképpen: . Az N-részecske rendszert jellemző operátorok rendelkeznek a következő tulajdonsággal („label transforming property”)

Mind a csatorna csatolásos („channel coupling class”) mind pedig a lánc csatolásos („chain coupling class”) formalizmusok ilyen típusúak, ezért az egyenletek algebrai módszerekkel szimmetrizálhatók, a rendszer permutációs szimmetriája beépíthető az N-részecske integrál-egyenletekbe. Ha a rendszer többfajta azonos részecskét tartalmaz, akkor permutációs csoportja értelemszerűen a megfelelő szimmetrikus csoportok direkt szorzata: ,

Célszerű bevezetni a következő rövid jelölést a rendszer legáltalánosabb S permutációs csoportjának (pontosabban a csoportra épülő algebrának) Young-operátorára . Bizonyos permutációk az α particiót (particióláncot) változatlanul hagyják. Például ha α partició, akkor annak fragmentumaiban lévő részecskék permutációi definició szerint nem vezetnek új particióhoz. Egy adott α index esetén az ilyen permutációk Sα halmaza az SN szimmetrikus csoport egy alcsoportja:

Mivel az azonos részecskék permutációja, még ha meg is változtatja az indexet, a rendszer fizikai tulajdonságait változatlanul hagyja, ezért két, α és α, -vel jellemzett egymásba transzformálódó mennyiség, fizikailag egyenértékű. A következő tulajdonságokkal definiált bináris reláció tehát ekvivelancia reláció: Az R reláció az L indexhalmazt diszjunkt ekvivalencia osztályokra bontja fel. A fizikai információt olyan mennyiségek hordozzák, amelyek csak az ekvivalencia osztályoktól függenek, a releváns operátorok osztályfüggvényei. Ha a az {α} ekvivalencia osztályt jelöli, akkor Lagrange tétele értelmében az ekvivalencia osztály elemeinek száma:

Az α index tetszőlegesen választható, az ekvivalens indexekhez tartozó alcsoportok egymás konjugáltjai: Fentieket összegezve a következő fontos összefüggések adódnak: ahol

Kiindulva az N-részecske egyenletek generikus alakjából , , , azonnal levezethetők a fizikai tranzit operátorokra vonatkozó egyenletek, amelyeket az osztály-összegek reprezentálnak:

A permutációs szimmetriának a dinamikai egyenletekbe való beépítésénél azok előnyös tulajdonságai nem változnak meg, így ha az eredeti egyenlet magja M iteráció után kompakttá válik, ez fennáll az osztálymennyiségekre vonatkozó egyenletnél is. A fizikai T-operátor mátrixelemei első Born közelítésben tartalmazzák az összes kicserélődési járulékot („exchange terms”), ami a magreakciók elméletében való alkalmazásoknál kimelkedő fontossággal bír.

Ha megfelelő csoportelméleti és algebrai módszerekkel a rendszer permutációs szimmetriája a dinamikai egyenletekbe beépül, a fizikai állapotok jellemzésére kevesebb mennyiség szükséges, a csatolt egyenletek száma ezért természetes módon csökken. A csatolt egyenletek számának meghatározása azonban ebben az esetben is nemtriviális kombinatorikai probléma, a feladat az index halmaz ekvivalencia osztályainak leszámlálása. Míg a „csatorna csatolási” osztály egyenleteinél a feladat megoldása már korábban meghatározásra került, a Jakubobszkij- formalizmus esetében a megoldást B.R. Karlsson (1982) találta meg, és megmutatta, hogy a csatolt egyenletek száma az Euler és Bernoulli számok segítségével fejezhető ki.

A csatolt egyenletek száma a különböző formalizmusokban 3 4 5 6 7 8 BRS 1 2 CG 10 14 21 Y 16 61 272 . BRS= Bencze-Redish-Sloan, CG= Chandler-Gibson, Y= Jakubovszkij

A BRS és a Jakubovszkij-féle egyenletek számának összehasonlítása többfajta azonos részecske esetén aaa aab abc Y 1 2 3 BRS 1 2 3 N = 4 aaaa aaab aabb aabc abcd Y 2 5 7 11 18 BRS 2 3 4 5 7 N = 5 aaaaa aaaab aaabb aaabc aabbc aabcd abcde Y 4 15 26 45 61 105 180 BRS 2 4 5 7 8 11 15

A csatolt egyenletek magas száma miatt az N-részecske integrál-egyenletek nem fognak egyhamar széleskörü alkalmazásra kerülni konkrét problémák tárgyalásánál, ennek ellenére fontos szerepük lehet a magreakciók egyes elméleti kérdéseinek vizsgálatában. Egy ilyen érdekes lehetőség a direkt magreakciók témakörében az ún. „exchange mechanizmusok” vizsgálata. A hagyományos közelítő tárgyalásnál (pl. DWBA, CCBA) a kísérleti adatok interpretálásához szükség van egyes domináns reakciómechanizmusok figyelembe vételére. Az empirikus számításoknál azonban nem ismeretes az egyes mechanimusokat leíró reakcióamplitudók normálása ill. relatív súlya a hatáskeresztmetszetben. Az ilyen esetetekben segítséget jelenthet az egzakt elmélet és az azon alapuló kombinatorikai megfontolások. Az első ilyen vizsgálatot Bencze és Chandler (1985) végezte el és megmutatta, hogy a kicserélődési effektusok a reakció dinamikai tárgyalásától függetlenül tanulmányozhatók. Egy további munkában aztán kidolgozásra került a reakciómechanizmusok egy általános algebrai elmélete, amely a korábbi eredmények szigorú matematikai tárgyalását is megadta (Bencze, Chandler 1995.).

Epilógus A kvantummechanika kerek százéves történetének első felében megszületett és szilárd alapokat nyert a kvantummechanika. A kvantummechanika lehetővé tette az anyag szerkezetének feltárását és törvényszerűségeinek megértését. Az atomfizika és atommagfizika rohamos fejlődése szükségszerűen elvezetett az atomenergia felszabadításához, amelyben kulminált a kvantummechanika százéves sikertörténetének első felvonása Az 50-es évektől kezdődően az érdeklődés egyre inkább a szóráskísérletekre összpontosult, amelyek hamarosan a kvantumos effektusok kutatásának leghatékonyabb eszközeivé váltak. Létrejött az ún. „formális szóráselmélet”, amely megalapozta a közelítő módszerek numerikus alkalmazását. Az alkalmazott közelítő módszerek azonban alapvetően kéttest szemléletmódon alapultak, mivel, ahogy azt a korabeli publikációk mindegyikében mentgetőzésképpen megjegyezték: „a háromtest probléma megoldása igen bonyolult.” 1959-ben L. D. Fagyejev kidolgozta a kvantum háromtest szórásprobléma szigorú matematikai elméletét, és ezzel új lendületet adott a szóráselmélet kutatásának.

A kvantummechanika százéves történetének második felvonása sikerrel zárult: megszületett az N-test szórásprobléma tárgyalásának elméleti eszköztára, a konkrét alkalmazások már a soktest probléma szemléletmódjához igazodnak, és lényeges előrelépés történt a Coulomb probléma tárgyalása terén is. Sajnos jelenleg még nem létezik minden esztétikai igényt kielégítő, matematikailag szigorú, valamint a gyakorlatban könnyen alkalmazható Coulomb szórás-elmélet, de az idő majd meghozza ezt is. A fejlődésnek azonban nincs vége, hiszen a kísérletek mindig szolgálnak valami új ered-ménnyel, aminek az értelmezése további feladatot jelent a kutatók számára.