A σ(n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása Az Út a tudományhoz program keretében közreműködtek: Győrffy Lajos Szudi László Lamm Éva Eckert János Pap Máté Réti Norbert Témavezető: dr. Katz Sándor

Fogalmak Egy n pozitív egész szám esetén s(n)-nel jelöljük a nála kisebb osztóinak összegét. pl.: s(18)=1+2+3+6+9=21 s(16)=1+2+4+8=15 σ(n)-nel jelöljük egy az n szám összes osztójának összegét. σ(n) értéke n-nel nagyobb a s(n)-nél. pl.: σ(18)=1+2+3+6+9+18=39 σ(16)=1+2+4+8+16=31

s(n) függvény

Az s(n) és n viszonya alapján 3 csoportra oszthatjuk a számokat: Ha s(n) < n, akkor a szám hiányos, pl.: s(9)=1+3=4 < 9 Ha s(n) > n, akkor a szám bővelkedő pl.: s(12)=1+2+3+4+6=16 > 12 Ha s(n) = n, akkor a szám tökéletes pl.: s(6)=1+2+3=6.

Tökéletes számok n =2p-1 (2p –1) Ahol 2p –1 prím. A páros tökéletes számok ma már ismert alakja: n =2p-1 (2p –1) Ahol 2p –1 prím. Az ilyen alakú prímeket Mersenne prímeknek nevezzük. Ezekből mindössze 47 darabot ismerünk. Továbbá minden Mersenne prímhez tartozik tökéletes szám és fordítva.

Már Euklidesz (i. e. 365-300) megmutatta, hogy ha n = (2p-1) · 2p-1 alakú, ahol p és 2p-1 prímszám, akkor n tökéletes szám. Pl: p=2-re: (22-1) · 22-1 = 3 · 2=6 p=3-ra: (23-1) · 23-1 = 7 · 4=28

Marin Mersenne, francia szerzetes több olyan p prímet adott meg, amelyekre (2p-1) is prím. Az ilyen alakú prímeket azóta is Mersenne-prímeknek nevezzük. Marin Mersenne (1588-1648)

Leonard Euler megmutatta, hogy páros tökéletes szám csak n=(2p-1) ·2p-1 alakú lehet. És ő találta a 8. tökéletes számot, ami 19 jegyű. Leonhard Euler (1707-1783)

Eddig (2009 okt. 24.) 47 tökéletes számot ismerünk. Derrick Lehmer kidolgozott olyan eljárást, amivel nagyobb tökéletes számokat is lehet keresni. Derrick Lehmer (1905-1991) Eddig (2009 okt. 24.) 47 tökéletes számot ismerünk. Ez mind páros.

Az első 15 Mersenne-prím és tökéletes szám ## p (exponent) digits in Mp digits in Pp year discoverer 1 2 ---- 3 5 4 7 13 8 1456 anonymous 6 17 10 1588 Cataldi 19 12 31 1772 Euler 9 61 37 1883 Pervushin 89 27 54 1911 Powers 11 107 33 65 1914 127 39 77 1876 Lucas 521 157 314 1952 Robinson 14 607 183 366 15 1279 386 770

Prímszámrekord A mai rekord 12 978 189 jegyből áll. 2008. augusztus 23. - Edson Smith Mersenne-képlet alapján a rekordszám: (2 43 112 609)-1 (GIMPS: Great Internet Mersenne Prime Search)

A legnagyobb ismert prímek 243 112 609-1 12 978 189 jegyű Aug 2008 M47?? 2. 242 643 801-1 12 837 064 jegyű Jun 2009 M46?? 237 156 667-1 11 185 272 jegyű Sep 2008 M45?? 232 582 657-1 9 808 358 jegyű Sep 2006 M44??

Létezik-e páratlan tökéletes szám? Nem tudjuk, hogy van-e, de ha van, ilyen N, akkor N-nek legalább 75 törzstényezője van – pl.:53 3-nak számít. (Kevin Hare 2005.) A legnagyobb prímtényezője 100 milliónál nagyobb (Takeshi Goto és Yasuo Ohno, 2006) Minimum 9 prímosztója van (Nielsen, 2006) Maga szám 10500 –nál is nagyobb. (2006)

Aliquot sequences Hogyan viselkedik ez a sorozat? n → s(n) → s(s(n)) → s(s(s(n))) → … pl. 12 → 16 → 15 → 9 → 4 →3 →1. Milyen lehetőségek vannak?

Aliquot sequences Lehet, hogy a sorozatban prímet, majd 1-et kapunk, ezzel a sorozat véget ér. Lehet, hogy ciklusok ismétlődnek a sorozatban. Hány eleműek lehetnek ezek a ciklusok? Lehet, hogy a sorozat sosem ér véget?

Hány elemű ciklusok lehetnek? Egy eleműek a tökéletes számok pl. 6 → 6 → 6 → … 47 ismert. Két eleműek a barátságos számok pl. 220→284→220→284 több, mint 12 000 000 ismert Három eleműt nem ismerünk Négy, vagy annál több elemű Pl.: 1 264 460 → 1 547 860 → 1 727 636 → 1 305 1840 12496 →14288 →15472 →14536 → 14264 2009 márciusig 152 ilyen ciklus ismert. (28 elemű a leghoszabb.)

Barátságos számok A görörgök egy párt ismertek: 220-284 1300 körül Al Banna arab matematikus találta a következő párt: 17 296 - 18 410. (Ezt Európában nem ismerték és csak 1636-ban találta meg ezt a párt Fermat.) - 1638-ban Descartes talált egy újabb párt: 9 363 584 – 9 437 056. A következő?

Barátságos számok - Euler 1742-től 1750-ig újabb 61 párt talált, köztük olyat is, amely páratlan számokból áll: 69 615 – 87 633. - 1946- ban még csak 390 párt ismertek, 2009-ben már több, mint 12 000 000 ismert.

Barátságos számok Néhány nyitott kérdés: Van-e páros - páratlan pár? Van-e olyan pár, amelyben az egyik szám sokkal nagyobb a másiknál? (Az eddig ismert párok elemei közel vannak egymáshoz, vagyis ha az (a;b) barátságos párban a< b, akkor az eddig ismert párokra az arány egy elég szűk intervallumban helyezkedik el: 0,697893577 ≤ a/b ≤ 0,999852518

Egy hosszú sorozat: 138 →150 → 222 → 234 → 312→… 276 → ? 113. 1. 2. 3. 4. 5. 138 →150 → 222 → 234 → 312→… 113. … → 179 931 895 322 →… 169. 170. 171. 172. → 265 → 59 → 1 276 → ?

Nem ismert végű ciklusok Lehmer five    Sequenz / sequence 276 552 564 660 966       last index 1567 881 3119 626 770       last update ) 26-08-2008    Größe in Dezimalstellen C149/ C139/ C134/ C132 C152

Lehmer five grafiikonja

Milyen értékeket vesz fel az s(n) függvény? Végtelen sok olyan érték van, amit nem vesz fel. (Erdős P. 1936.) Minden páratlan értéket felvesz, ha a páros számokra vonatkozó Goldbach-sejtés igaz.

A h(n)=s(n)/n hányadosról h(n) akármilyen kis poztív értéket felvehet, ha n elegendően nagy prímszám Belátható, hogy h(n) akármilyen nagy értéket felvehet. Legyen n=a! Ebből látható, hogy h(n) akármilyen nagy értéket felvehet. Gombos László A sorozatról című, a POLYGON 1998. 2. számában megjelent cikkében bebizonyította, hogy h(n) értékei a számegyenesen mindenütt sűrűn helyezkednek el.

Egy sejtés A problémát Marc Deléglise a közelmúltban már megoldotta. A keresett határérték a ] 0,2474; 0,2480[ intervallumba esik.

Nyitott kérdések az s(n) függvénnyel kapcsolatban van-e bármilyen n szám, amelyre s(n)= n-1? A kettő hatványok ilyenek, nem tudjuk van-e más? van-e bármilyen n szám, amelyre s(n)= n+1? Tudjuk, hogy páros n-re nem teljesül.

A S(n) és s(n) függvények egy összehasonlítása Az szám pozitív osztóinak összege: A szorzat tényezőit felírhatjuk mértani sorozatok összegeként: A képlet segítségével σ(n)-ből meg tudjuk határozni n-t!

Pl.: σ(n) = 8736 Tekintsük a d = képletet! Legyen p1 = 2, k1 = 1 esetén d = 3, mivel 3| 8736, ezért 2| n; k1 = 2 esetén d = 7, mivel 7| 8736, ezért 22| n; k1 = 3 esetén d = 15, mivel 15 nem osztója 8736-nak, ezért 23 sem osztója n-nek; Ugyanezen gondolatmenet alapján kiszámítható,hogy n osztói lesznek még 53 és 7. Vagyis n = 22 · 53 ·7 = 3500 gyorsan nő . Tetszőleges pi esetén ki értékeit növelve

Az s(n) függvénynél nincsenek ilyen gyors eljárások. Nem tudjuk ilyen egyszerűen eldönteni s(n) értékének ismeretében,hogy egy prím szerepel-e n-ben vagy nem.

Egy adott s(n) esetén milyen határok között kereshetjük n értékét? Hol lehet n? Bármely n = prím szám esetén s(n) = 1, és fordítva n = p2 , ahol p prím, ekkor s(n) = 1+p A két egyenletből kifejezve: n=(s(n)-1)2 Tehát egy adott s(n) érték esetén n ≤ (s(n)-1)2 Ez pl. azt jelenti, hogy egy 64 jegyű s(n) esetén n nem lehet nagyobb 128 jegyűnél.

A próbálkozások csökkentése Ha s(n) páros, akkor s(n)=σ(n)-n miatt - n páratlan négyzetszám, vagy - n=2km, ahol m nem négyzetszám. Ha s(n) páratlan, akkor - n páratlan nem négyzetszám, vagy - n=2km, ahol m négyzetszám.

Mindezek a korlátozások azonban alig csökkentik a próbálkozások számát, idejét. Ha a 128 jegyűekig minden n-t végig kellene próbálni, hogy az adott s(n) érték tartozik-e hozzá, akkor ez igen sokáig tartana. Pl. ha egy számítógép minden n esetén átlagosan 0,00001 s alatt döntené el, hogy hozzá az adott s(n) tartozik-e, akkor ez több, mint 10100 évig tartana.

Minden olyan művelet, ami egyik irányban viszonylag gyorsan kiszámolható, de ez a számítás visszafele nagyon sok ideig tartana alkalmas lehet titkosításra. Ilyen tulajdonsággal rendelkezik az n s(n) függvény is.

Alkalmazhatóság: ún. borítékolt üznetek titkosítása Olyan üzenet kódolásaára lehet ez alkalmas, amikor az elküldés időpontjában még nem akarjuk, hogy a partner el tudja azt olvasni. Pl. ha két fél interneten sakkozik és egyik a lépését borítékolni akarja. A kódolás lépései a következők: 1.: A szöveget ASCII kód segítségével átírjuk egy számmá (ez könnyen megtehető, mivel az ASCII kód minden karakterhez egy számot rendel hozzá). Legyen ez a szám n. 2.: n számhoz ezután a program segítségével rendeljük hozzá az s(n)-jét. Ezt az s(n)-t küldjük el, mint kódolt üzenetet.

Egy példa a borítékolásra Kódolandó üzenet: A2rőlB3ra Torzított üzenet: szeretlek te A2rőlB3ra édes mostoha ASCII kóddal kódolt alakja: 1151 221011 1410111 610810 110732 116101 326550 114245 108665 111497 322331 001011 153210 911111 511611 110497 A fenti szám s(n)-je: 3837 403370 471969 286544 954134 795272 191872 899415 456620 967898 776770 220474 300551 934442 249017 566943

Borítékbontás: Elküldjük az n-t, azaz az eredeti szöveget. A partner könnyen ellenőrizheti, hogy ehhez a n-hez valóban az előzőleg elküldött s(n) tartozik-e. (Tehát időközben nem tudunk változtatni az üzeneten.)

Megfejtendő üzenet www.petofi-bhad.sulinet.hu s(n) = 11 796 893 749 241 036 845 717 932 775 178 816 228 370 307 360 535 662 842 886 n= ?

Felhasznált irodalom: K. Guy Richard: Unsolved Problems in Number Theory: [1.] B4 Amicable numbers [2.] B6 Aliquot sequence [3.] B7 Aliquot cycles [4.] B11 Solutions of mσ(m) [5.] http://www.aliquot.de/lehmer.htm [6.] http://www.aliquot.de/aliquote.htm [7.] http://amicable.homepage.dk/apstat.htm [8.] Elemente der Mathematik 1973.: (83-87. o.) Pál Erdős: Über die Zahlen der Form σ(n)-n und n-φ(n) [9.] http://www.wurzel.org: Vollkommenende Zahlen

Köszönöm a figyelmet!