Szögfüggvények és alkalmazásai Készítette: Hosszú Ildikó Nincs Készen

2 TARTALOM Szögfüggvények a derékszögű háromszögekben Szögfüggvények kiterjesztése hegyesszögnél nagyobb szögekre is Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek Szinusz tétel általános háromszögre Koszinusz tétel Szögfüggvények ábrázolása

3 Szögfüggvények A trigonometrikus függvények vagy szögfüggvények eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldalának hányadosa közötti összefüggést írják le. a b c Az a, és a b oldal a derékszögű háromszög befogóját, c pedig az átfogóját jelöli.

4 a b c Szögfüggvények a derékszögű háromszögben

5 a b c

6 Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, átfogója 8 cm hosszú. Határozd meg a háromszög szögeit! a b c Ha az átfogó és egy befogó adott, akkor a sin vagy cos szögfüggvényeket célszerű alkalmazni. Gyakorlásként mindkettőt alkalmazzuk. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek szinusza 0,625. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek koszinusza 0,625.

7 Egy derékszögű háromszög egyik befogója 6 cm, átfogója 10 cm hosszú. Határozd meg a háromszög szögeit! a b c Ha az átfogó és egy befogó adott, akkor a sin vagy cos szögfüggvényeket célszerű alkalmazni. Gyakorlásként mindkettőt alkalmazzuk. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek szinusza 0,6. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek koszinusza 0,6.

8 Egy derékszögű háromszög egyik befogója 4 cm, másik befogója 5 cm hosszú. Határozd meg a háromszög szögeit! a b c Ha a két befogó adott, akkor a tangens (vagy cotangens) szögfüggvényeket célszerű alkalmazni. Mivel a ctg a tg reciproka, ezért nem használjuk ezt külön. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek tangense 0,8. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek tangense 1,25.

9 Egy derékszögű háromszög egyik befogója 16 cm, másik befogója 5 cm hosszú. Határozd meg a háromszög szögeit! a b c Ha a két befogó adott, akkor a tangens (vagy cotangens) szögfüggvényeket célszerű alkalmazni. Mivel a ctg a tg reciproka, ezért nem használjuk ezt külön. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek tangense 3,2. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek tangense 0,3125.

10 Egy derékszögű háromszög egyik befogója 12 cm, és az azzal szemben lévő szöge 30°. Határozd meg a háromszög átfogójának hosszát! a b c Ha a befogó és az azzal szemben lévő szög adott, akkor a szinusz szögfüggvényt célszerű alkalmazni. Átrendezés után: A derékszögű háromszög átfogója 24 cm hosszú.

11 Egy derékszögű háromszög egyik befogója 20 cm, és az azzal szemben lévő szöge 45°. Határozd meg a háromszög átfogójának hosszát! a b c Ha a befogó és az azzal szemben lévő szög adott, akkor a szinusz szögfüggvényt célszerű alkalmazni. Átrendezés után: A derékszögű háromszög átfogója 28,284 cm hosszú.

12 Egy derékszögű háromszög egyik befogója 15 cm, és a befogón fekvő szöge 75°. Határozd meg a háromszög átfogójának hosszát! a b c Ha a befogó és az azon az oldalon fekvő szög adott, akkor a koszinusz szögfüggvényt célszerű alkalmazni. Átrendezés után: A derékszögű háromszög átfogója 57,96 cm hosszú.

13 Egy derékszögű háromszög egyik befogója 20 cm, és a befogón fekvő szöge 45°. Határozd meg a háromszög átfogójának hosszát! a b c Ha a befogó és az azon az oldalon fekvő szög adott, akkor a koszinusz szögfüggvényt célszerű alkalmazni. Átrendezés után: A derékszögű háromszög átfogója 28,284 cm hosszú.

14 Szögfüggvények kiterjesztése hegyesszögnél nagyobb szögekre is A szögfüggvényeknek a derékszögű háromszög két oldalának hányadosa és a szög összefüggésén kívül az egységsugarú körben tekintett forgásszög-végpontok metszeteivel (vetületeivel, koordinátáival) is definiálhatók. Ez utóbbi definíció már 90°, azaz π/2-nél nagyobb, sőt, negatív (mindent összevéve, tetszőleges valós) argumentumokra is működik.

15 Rajzoljunk fel egy egység sugarú kört a koordinátarendszerben! x y 1 1 Vegyünk fel egy tetszőleges forgásszöget! Vetítsük le a forgásszög szárát az x tengelyre! Ekkor így keletkezett egy derékszögű háromszögünk. A derékszögű háromszög átfogója 1 egység hosszú. 1 Határozzuk meg a forgásszög melletti befogó hosszát, x’-t, mint a forgásszög szárának x ten- gelyre vonatkoztatott vetületét! x’x’

16 Rajzoljunk fel egy egység sugarú kört a koordinátarendszerben! x y 1 1 Vegyünk fel egy tetszőleges forgásszöget! Vetítsük a forgásszög szárát az y tengelyre! Ekkor így keletkezett egy derékszögű háromszögünk. A derékszögű háromszög átfogója 1 egység hosszú. 1 Határozzuk meg a forgásszöggel szembenlévő befogó hosszát, y’-t, mint a forgásszög szárának y ten- gelyre vonatkoztatott vetületét! y’y’ Váltószögek…

17 Összefoglalva: és A koordinátarendszerben az egységsugarú körben a forgásszög szárának x tengelyre vonatkoztatott vetülete: a forgásszög szárának y tengelyre vonatkoztatott vetülete:

18 (1) Következmény : Ha az egységsugarú körben egy szög koszinusza Az x tengelyre vonatkoztatott vetülete, akkor egy -1 és 1 közötti számhoz az x tengelyen, melyik forgásszög feleltethető meg? x y 1 1 x’x’ Vegyünk fel az x tengelyen egy tetszőleges-nek megfelelő hosszúságú szakaszt! Bocsássunk merőlegest az x’ szakaszra a szakasz origóval ellentétes pontjából, és messük el a körívet! Ekkor keletkezett két lehetőségem:

19 (2) Következmény : Ha az egységsugarú körben egy szög koszinusza Az x tengelyre vonatkoztatott vetülete, akkor egy -1 és 1 közötti számhoz az y tengelyen, melyik forgásszög feleltethető meg? x y 1 1 y’y’ Vegyünk fel az x tengelyen egy tetszőleges-nek megfelelő hosszúságú szakaszt! Bocsássunk merőlegest az y’ szakaszra a szakasz az origóval ellentétes pontjából, és messük el a körívet! Ekkor keletkezett két lehetőségem:

20 Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek

21 I. Síknegyedbeli megoldás II. Síknegyedbeli megoldás

22 I. Síknegyedbeli megoldás II. Síknegyedbeli megoldás

23 I. Síknegyedbeli megoldás IV. Síknegyedbeli megoldás

24 I. Síknegyedbeli megoldás IV. Síknegyedbeli megoldás

25

26

27 I-II. Síknegyed közötti megoldás III.-IV. Síknegyed közötti megoldás

28 Mivel: Ezért nincs az egyenletnek megoldása.

29 I. Síknegyedbeli megoldás alapján: IV. Síknegyedbeli megoldás alapján:

30 Vegyük észre, hogy az egyenlet sin(5x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy Nincs megoldása az egyenletnek.

31 Vegyük észre, hogy az egyenlet tg(5x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy Keressük azt a szöget radiánban, melynek tangense 5. Keressük azt a szöget radiánban, melynek tangense 2.

32 Vegyük észre, hogy az egyenlet cos(2x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy

33 Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek koszinusza 1. Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek koszinusza 0,5.

34 Vegyük észre, hogy az egyenlet sin(2x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy

35 Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek szinusza 1. Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek szinusza 0,5.

36 Vegyük észre, hogy az egyenlet sin(x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy Keressük azt a szöget radiánban, melynek szinusza 1.

37 Vegyük észre, hogy az egyenlet sin(x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy

38 Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek szinusza 0,8. Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek szinusza 0,2. 3,14-0,93=2,21 3,14-0,201=2,94

39 Vegyük észre, hogy az egyenlet cos(x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy

40 Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek koszinusza 0,6. Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek koszinusza 0,4.

41 Felhasználjuk a következő trigonometrikus azonosságot: Ezt behelyettesítjük az egyenlet jobb oldalába: Vegyük észre, hogy az egyenlet sin(2x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető!

42 vagy, mert

43 Trigonometrikus egyenlőtlenségek

44 Keressük azt a szögtartományt, mely szinusza nagyobb vagy egyenlő 0,5-nél. Rajzoljuk fel az egységsugarú kört egy koordinátarendszerbe, és keressük meg a határokat! x y 0,5 A keresett szögtartomány: Vagyis:

45 Keressük azt a szögtartományt, mely szinusza nagyobb vagy egyenlő 0,866-nál. Rajzoljuk fel az egységsugarú kört egy koordinátarendszerbe, és keressük meg a határokat! x y 0,866 A keresett szögtartomány: Vagyis:

46 Keressük azt a szögtartományt, mely szinusza nagyobb vagy egyenlő - 0,866-nál. Rajzoljuk fel az egységsugarú kört egy koordinátarendszerbe, és keressük meg a határokat! x y -0,866 A keresett szögtartomány:

47 Keressük azt a szögtartományt, mely szinusza nagyobb 0,5-nél. Rajzoljuk fel az egységsugarú kört egy koordinátarendszerbe, és keressük meg a határokat! x y 0,5 A keresett szögtartomány: Vagyis:

48 Keressük azt a szögtartományt, mely koszinusza nagyobb 0,5-nél. Rajzoljuk fel az egységsugarú kört egy koordinátarendszerbe, és keressük meg a határokat! x y 0,5 A keresett szögtartomány: Vagyis: Másként:

49 Keressük azt a szögtartományt, mely koszinusza nagyobb 0,5-nél. Rajzoljuk fel az egységsugarú kört egy koordinátarendszerbe, és keressük meg a határokat! x y 0,5 A keresett szögtartomány: Vagyis:

50 Szemléltessük az egyenlőtlenséget egy koordinátarendszerben! Vázoljuk fel először a tg x képét! Vázoljuk fel a konstans 1 képét! A metszéspontot vetítsük le az x tengelyre! Jelöljük be azt az intervallumot, amelyben a tg (x) képe 1-ben vagy az 1 alatt van! Megoldás:

51 Szemléltessük az egyenlőtlenséget egy koordinátarendszerben! Vázoljuk fel először a tg x képét! Vázoljuk fel a konstans 5 képét! A metszéspontot vetítsük le az x tengelyre! Jelöljük be azt az intervallumot, amelyben a tg (x) képe 5-ben vagy az 5 alatt van! Megoldás:

52 Megoldás: Keressük azt a szöget radiánban, melynek tangense 1,732. Felhasználva a tangens függvény szigorú monoton növekedő tulajdonságát: Viszont figyelembe kell venni a tangens függvény értelmezési tartományának határát is.

53 Megoldás: Keressük azt a szöget radiánban, amelynek tangense 2. Felhasználva a tangens függvény szigorú monoton növekedő tulajdonságát: Viszont figyelembe kell venni a tangens függvény értelmezési tartományának határát is. Rendezzük az egyenlőtlenséget x –re! | +2 | :3

54 Szinusz tétel általános háromszögre Bármely háromszög két oldalának aránya megegyezik e két oldallal szemben lévő szögek szinuszainak arányával.

55 Egy háromszög egyik oldala 4cm, másik 8cm hosszú. A megadott oldalak közül a rövidebbik oldallal szemben lévő szög 30 o. Mekkorák a háromszög szögei? Két oldal és az egyikkel szemben lévő szög ismeretében keressük a másik oldallal szemben lévő szöget. Alkalmazzuk a szinusz tételt! Feltétel: A tételt célszerű úgy felírni, hogy az ismeretlen a számlálóba kerüljön azért, hogy a rendezés egyszerűbb legyen!

56 Egy háromszög egyik oldala 4cm, másik 8cm hosszú. A megadott oldalak közül a rövidebbikkel szemben lévő szög 30 o. Mekkorák a háromszög szögei? A háromszög belső szögeinek összege 180 o. A háromszög belső szögei: Melyik az a szög, aminek szinusza: 1?

57 Egy háromszög egyik oldala 8cm, másik 5cm hosszú. A megadott oldalak közül a hosszabbikkal szemben lévő szög 30 o. Mekkorák a háromszög szögei? Két oldal és az egyikkel szemben lévő szög ismeretében keressük a másik oldallal szemben lévő szöget. Alkalmazzuk a szinusz tételt! Feltétel: A tételt célszerű úgy felírni, hogy az ismeretlen a számlálóba kerüljön azért, hogy a rendezés egyszerűbb legyen!

58 Egy háromszög egyik oldala 8cm, másik 5cm hosszú. A megadott oldalak közül a hosszabbikkal szemben lévő szög 30 o. Mekkorák a háromszög szögei? A háromszög belső szögeinek összege 180 o. A második háromszög szögei közül az egyik negatív, ami nem tesz eleget a feltételnek. A háromszög belső szögei: Melyik az a szög, aminek szinusza: 0,3125?

59 Egy háromszög egyik oldala 8cm, másik 3cm hosszú. A megadott oldalak közül a hosszabbikkal szemben lévő szög 20 o. Mekkorák a háromszög szögei? Két oldal és az egyikkel szemben lévő szög ismeretében keressük a másik oldallal szemben lévő szöget. Alkalmazzuk a szinusz tételt! Feltétel: A tételt célszerű úgy felírni, hogy az ismeretlen a számlálóba kerüljön azért, hogy a rendezés egyszerűbb legyen!

60 Egy háromszög egyik oldala 8cm, másik 3cm hosszú. A megadott oldalak közül a hosszabbikkal szemben lévő szög 20 o. Mekkorák a háromszög szögei? A háromszög belső szögeinek összege 180 o. A második háromszög szögei közül az egyik negatív, ami nem tesz eleget a feltételnek. A háromszög belső szögei: Melyik az a szög, aminek szinusza: 0,1283?

61 Egy háromszög egyik oldala 4cm, másik 9cm hosszú. A megadott oldalak közül a rövidebbik szemben lévő szög 30 o. Mekkorák a háromszög szögei? Két oldal és az egyikkel szemben lévő szög ismeretében keressük a másik oldallal szemben lévő szöget. Alkalmazzuk a szinusz tételt! Feltétel: A tételt célszerű úgy felírni, hogy az ismeretlen a számlálóba kerüljön azért, hogy a rendezés egyszerűbb legyen! Ilyen háromszög nincs, mert teljesülni kellene minden háromszögben:

62 Cosinus tétel

63 Egy háromszög két oldala 6cm, és 8cm hosszúak, közbezárt szögük pedig 60 o. Mekkora a harmadik oldala? A háromszög harmadik oldala 7,21cm hosszú. A B C Feltétel:

64 Egy háromszög két oldala 6cm, és 8cm hosszúak, közbezárt szögük pedig 90 o. Mekkora a harmadik oldala? A háromszög harmadik oldala 10cm hosszú. A B C Feltétel:

65 Egy háromszög két oldala 3cm, és 5cm hosszúak, közbezárt szögük pedig 120 o. Mekkora a harmadik oldala? Feltétel: A háromszög harmadik oldala 7cm hosszú. A B C

66 Egy háromszög oldalai 10cm, 12 cm és 15cm hosszúak. Mekkorák a háromszög belsőszögei? Feltétel: A háromszög szöge. A B C

67 Egy háromszög oldalai 10cm, 12 cm és 15cm hosszúak. Mekkorák a háromszög belsőszögei? Feltétel: A háromszög szöge. A B C

68 Egy háromszög oldalai 10cm, 12 cm és 15cm hosszúak. Mekkorák a háromszög belsőszögei? Feltétel: A háromszög szöge. A B C

69 Szögfüggvények ábrázolása y x

70

71 Az alapfüggvény a sin(x), ezért először ezt rajzoljuk meg! Ezt követően jobbra eltoljuk π/2 egységgel!

72 Az alapfüggvény a sin(x), ezért először ezt rajzoljuk meg! Ezt követően jobbra eltoljuk π egységgel!

73 Az alapfüggvény a sin(x), ezért először ezt rajzoljuk meg! Ezt követően balra eltoljuk π egységgel!

74 Az alapfüggvény a sin(x), ezért először ezt rajzoljuk meg! Ezt követően balra eltoljuk 2 egységgel!

75

76 Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden pontját eltoljuk π/2-vel jobbra!

77 Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden pontját eltoljuk 2π/3-mal jobbra!

78 Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden pontját eltoljuk π/3-mal balra!

79 Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden pontját eltoljuk 1-gyel le!

80 Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden pontját eltoljuk 0,5-del le!

81 Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden értékét kétszeresére nyújtjuk!

82 Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden értékét háromszorosára nyújtjuk!

83 Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden értékét felére nyújtjuk!

84 Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden értékét ellentettjére változtatjuk! X tengelyre tükrözünk!

85 Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden értékét ellentettjére változtatjuk! X tengelyre tükrözünk! III. A függvény képének minden értékét felére nyújtjuk!

86 Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden értékét ellentettjére változtatjuk! X tengelyre tükrözünk! III. A függvény képének minden értékét negyedére nyújtjuk!

87 Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden értékét ellentettjére változtatjuk! X tengelyre tükrözünk! III. A függvény képének minden értékét kétszeresére változtatjuk, azaz nyújtjuk!

88 Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden értékét ellentettjére változtatjuk! X tengelyre tükrözünk! III. A függvény képének minden értékét kétszeresére változtatjuk, azaz nyújtjuk! IV. A függvény képének minden pontját eltoljuk π/3-mal jobbra!

89 Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden értékét ellentettjére változtatjuk! X tengelyre tükrözünk! III. A függvény képének minden értékét kétszeresére változtatjuk, azaz nyújtjuk! IV. A függvény képének minden pontját eltoljuk π/3-mal jobbra! V. A függvény képének minden pontját eltoljuk 0,5-del fel!

90 I. Megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t: II. A hullámokat kétszeresére sűrítjük!

91 I. Megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t: II. A hullámokat háromszorosára összesűrítjük!

92 I. Megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t: II. A hullámokat felére ritkítjuk!

93

94 Rajzoljuk meg az alap függvényt! π/4-gyel toljuk el a függvény minden pontját jobbra!

95 Rajzoljuk meg az alap függvényt! 2,5-del toljuk el a függvény minden pontját felfelé!

96

97

98

99

100