Tanórán kívül lehet kicsit több A póknak 22 lába van? Tanórán kívül lehet kicsit több Regősné Jancsovics Julianna

1. Feladat Megkezdődött a 2018/19-es tanév. Hány olyan négyjegyű, pozitív többszöröse van a 4-nek, amely a 2; 0; 1; 8 számjegyeket tartalmazza, és mindegyiket egyszer?

Megoldás 4 többszöröse akkor lehet egy szám, ha az utolsó két számjegyéből képzett kétjegyű szám osztható néggyel. Így azok a négyjegyű számok jöhetnek szóba, melyek 08-ra, 12-re, 20-ra, 28-ra illetve 80-ra végződnek. 12-re, illetve 28-ra egy-egy szám (8012, 1028) 08-ra, 20-ra és 80-ra pedig két–két szám (1208, 2108, 1820, 8120, 1280 és 2180) végződhet. Tehát nyolc olyan négyjegyű szám van, ami a feladat kérésének megfelel.

2. Feladat Leírtuk sorban egymás után a pozitív egész számokat 123456789101112…… Milyen számjegy áll a 2019.helyen?

Megoldás Az egyjegyűek felsorolásával 9 darab számjegyet írtam le. A kétjegyű pozitív egész számokból 90 darab van, ez így 180 számjegy leírását eredményezi. Eddig összesen 189 darab számjegyet írtunk le, kell még 2019-189 = 1830 darab számjegy, ez 1830:3 = 610 darab háromjegyű szám leírását jelenti. A 610. háromjegyű számunk a 709. Tehát a 2019. helyen a 9-es számjegy áll.

3. Feladat A 2019-es évszám számjegyeiből hány olyan 6-tal osztható négyjegyű szám képezhető, amelyben egy-egy számjegy legfeljebb kétszer fordul elő?

Megoldás 6-tal azok a számok oszthatók, melyek párosak és számjegyeinek összege osztható 3-mal. Tehát a négyjegyű szám biztosan 0-ra, vagy 2-re végződik. 1,2,9, 0 számjegyekből 6 darab készíthető 1,9,0, 2 számjegyekből 4 darab készíthető 9,9,0, 0 számjegyekből 2 darab készíthető 1,0,2, 0 számjegyekből 4 darab készíthető 1,0,0, 2 számjegyekből 1 darab készíthető 1,9,9, 2 számjegyekből 3 darab készíthető 1,1,2, 2 számjegyekből 3 darab készíthető Tehát 23 ilyen négyjegyű szám van, ami 6-tal osztható.

4. Feladat A 2017 egy olyan négyjegyű természetes szám, amelyben a számjegyek összege 10 és mindegyik számjegye különböző. Hány olyan négyjegyű szám van, amelynek számjegyei összege 10 és minden számjegye különböző? Írd fel közülük a legnagyobb és a legkisebb különbségét!

Megoldás Írjuk fel milyen különböző számjegyek összege lehet 10. 10 = 0 + 1 + 2 + 7 10 = 0 + 1 + 3 + 6 10 = 0 + 1 + 4 + 5 10 = 0 + 2 + 3 + 5 10 = 1 + 2 + 3 + 4 Ezekből a számjegyekből képezhetünk négyjegyű számokat. Az első négy esetben, ha a 0 is szerepel a számjegyek között, akkor 18 különböző négyjegyű szám képezhető, mert 0 nem állhat az ezres helyi értéken. Az utolsó esetben 24 különböző négyjegyű számot tudunk felírni. Így összesen 96 olyan négyjegyű szám van, amelynek számjegyei összege 10 és minden számjegye különböző. Közülük a legnagyobb a 7210, a legkisebb az 1027. Ezek különbsége 6183.

5. Feladat Egon leírta a 2017-es négyjegyű pozitív egész számot. Majd hozzáadta számjegyeinek összegét és megszorozta (-1)-gyel. Leírta ezt a négyjegyű számot is. Majd folytatta ezt a szabályt, és így kapott egy számsort. a) Melyik szám áll a sorozat 2017. helyén? b) Mennyi az így leírt 2017 darab szám összege?

Megoldás Írjuk fel a számsort! 2017, -2027, 2016, -2025, 2016, -2025, … Láthatjuk az ismétlődést. A harmadik tagtól kezdve minden páratlan sorszámú tag a 2016-os, míg a páros sorszámúak a -2025-ösök. Így a sorozat 2017.helyén a 2016 áll. A 2017 darab szám közül az első kettő után lesz egy 2016-os, majd 2014 : 2 = 1007 darab két számból álló csoport. Az így leírt 2017 darab szám összege 2017 + (-2027) + 2016 + 1007·( -9) = -7057

6 . Feladat A 2018 egy olyan négyjegyű szám, melynek az ezresek helyén álló 2-es számjegyét a 2 + 0 + 1 = 3, ( az ezres, a százas és a tízes helyi értékeken álló számjegyeket összeadva) hatványkitevőre emelve az egyesek helyi értékén álló 8-as számot kapjuk eredményül. Hány ilyen tulajdonságú négyjegyű számunk van?

Megoldás Az 1 akárhányadik hatványa 1. Ezért az ezres helyi értékre 1-es számjegyet írunk, az egyesek helyére is 1-es írható. Közben a százasok és a tízesek helyére bármi kerülhet, így 10 féle számjegyet írhatunk mindkét helyre. Vagyis ez 100 darab 1-es számjeggyel kezdődő négyjegyű számot jelent. Pl.: 1971 jelenti, hogy 117 = 1 Ha 2-es számjegy lesz az ezres helyi értéken, akkor 2² = 4 miatt jó a 2004, illetve a 2³ = 8 miatt jó a 2018, illetve a 2108. Összesen 103 ilyen tulajdonságú négyjegyű számunk van.

7 . Feladat Matematika órán a tanulók dobókockákkal játszadoztak. Hat szabályos dobókockával dobtak egymás után, és feljegyezték a kapott számokat. Az első három dobás eredményeit összeszorozva 20 lett az eredmény, ha az utolsó három dobás eredményeit szorozták össze, akkor 16-ot kaptak eredményül. Ezt egymás mellé írva megkapták a 2016-os évszámot. Hány különböző dobássorozattal juthatnak el a 2016-os számhoz?

Megoldás A 20 kétféleképpen írható fel három számjegy szorzataként, melyeket dobókockával dobhatunk. 20=1·5·4 20=5·2·2 A 16 is kétféleképpen írható fel. 16=1·4·4 16=2·2·4 Nézzük meg, hogy ezeket a számjegyeket hogyan dobhatjuk: 154, 145, 415, 451, 514, 541 6 lehetőség 225, 252, 522 3 lehetőség, így összesen 9 dobássorozat van. 144, 414, 441 3 lehetőség 224, 242, 422 3 lehetőség, így összesen 6 dobássorozat van. 9·6 = 54 féle dobássorozattal juthatunk el a 2016-os számhoz.

8 . Feladat Anna leírta a füzetébe a legnagyobb háromjegyű páros számot. Ezután számjegyeit összeadta, majd az így kapott számot megszorozta 7-tel. Ezt a számot szintén leírta. Az eredményül kapott szám számjegyeit ismét összeadta és az összeget megszorozta 7-tel. Ez lett a következő szám a füzetében. Ezt a szabályt folytatva melyik lesz a 2016. szám Anna füzetében?

Megoldás A legnagyobb háromjegyű páros szám 998. Alkalmazva a szabályt, adjuk össze a számjegyeit, majd az így kapott számot szorozzuk meg 7-tel. Így a következő számsorozathoz jutunk: 998, 182, 77, 98, 119, 77, 98, … Láthatjuk, hogy 77-től ismétlődnek hármas csoportokban a számok. A 2016. számot keressük. Már leírtunk két számot, ami nem fordul elő újból, ezért a 2014-et osszuk el 3-mal. A kapott maradék 1 lesz, ezért a hármas csoportok első tagja lesz a 2016.szám. Vagyis Anna füzetében a 2016. szám a 77-es.

9. Feladat Hány olyan 2015-nél kisebb pozitív egész szám van, amely nem osztható sem 5 tel, sem 7 tel?

Megoldás 5-tel osztható 7-tel osztható 57 230 345 1382

Megoldás

10 . Feladat A 2016 egy olyan négyjegyű szám, melyben az első három számjegy összegét megszorozzuk az ezresek helyén álló számjeggyel, akkor eredményül az egyesek helyén álló számjegyet kapjuk. Mennyivel több ilyen négyjegyű évszám volt eddig, mint amennyi lesz ezután?

Megoldás Ha 1-sel kezdődik a négyjegyű szám, akkor 45 darab megfelelő írható fel: 1001, 1012, 1102, 1023, 1113, 1203, 1034, 1124, 1214, 1304, 1045, 1135, 1225, 1315, 1405, 1056, 1146, 1236, 1326, 1416, 1506, 1067, 1157, 1247, 1337, 1427, 1517, 1607, 1078, 1168, 1258, 1348, 1438, 1528, 1618, 1708, 1089, 1179, 1269, 1359, 1449, 1539, 1629, 1719, 1809 Ha 2-sel kezdődik a négyjegyű szám, akkor 6 darab megfelelő írható fel, de ebből csak egy volt már eddig, a 2004 és 4 db lesz ezután: 2106, 2028, 2118, 2208. Ha 3-sal kezdődik a négyjegyű szám, akkor 1 darab megfelelő írható fel: 3009 Több, a feladat feltételeinek megfelelő négyjegyű szám nincs. Tehát összesen 46 darab megfelelő négyjegyű évszám volt már eddig és 5 db lesz még. Így 41-gyel több volt már, mint amennyi lesz még.

11 . Feladat Egy múlt században született ember születési évében az utolsó jegy 1-gyel nagyobb, mint az előtte álló számjegy. Ha az utolsó számjegyet elhagyjuk, 1761-gyel kisebb számot kapunk. Hány éves az ember 2014-ben?

Megoldás Az évszám 1900 + 10x + x +1. Elhagyjuk az utolsó számjegyet, akkor 190 + x. A következő egyenletet írhatjuk fel: 1900 + 11x + 1 = 190 + x + 1761 1901 + 11x = 1951 + x 10x = 50 x = 5 A születési év 1956. Az ember 2014-ben 58 éves.

12 . Feladat A 2020 egy olyan évszám, mely kétféle számjegyet tartalmaz, mindkettőt kétszer. Hány ilyen négyjegyű szám létezik?

Megoldás A négyjegyű szám ezres helyi értékén 9 féle számjegy szerepelhet, mert 0 nem állhat az ezres helyi értéken. A másik számjegy ettől különböző kell legyen, de már lehet nulla is, így ez is kilencféle lehet. Ez összesen 81 lehetőséget jelent, amit még hárommal szorozni kell, hiszen az egyforma számjegyek háromféle helyen szerepelhetnek, ezres és százas, ezres és tízes illetve ezres és egyes. Így 243 ilyen négyjegyű szám létezik.

13 . Feladat A 2020 egy olyan évszám, mely számjegyeinek összege 4, és számjegyeinek szorzata nulla. Hány ilyen négyjegyű szám létezik?

Megoldás A számjegyek szorzata akkor lesz nulla, ha legalább az egyik számjegy nulla lesz. Három eset lehetséges: Ha egy nullát tartalmaz a szám, akkor a számjegyek összege úgy lesz 4, ha a másik három számjegy 2, 1, és 1. Ezekből 9 darab négyjegyű szám képezhető: 2110, 2101, 2011, 1210, 1120, 1201, 1102, 1021 és a 1012 Ha két nullát tartalmaz a szám, akkor a számjegyek összege úgy lesz 4, ha a másik két számjegy 2, és 2; vagy 1, illetve a 3. Ezek a számok pedig: 2200, 2020, 2002, 1300, 1030, 1003, 3100, 3010. 3001 Ha három nullát tartalmaz a szám, akkor a számjegyek összege úgy lesz 4, ha az egyik számjegy 4, és a többi 0. Ez a szám a 4000. A feladat feltételeinek 19 db négy jegyű szám felel meg.

14 . Feladat Hány olyan 2020-nál nem nagyobb pozitív egész szám van, amely nem osztható sem 5-tel, sem 3-mal?

Megoldás A 2020-nál nem nagyobb jelentése, hogy még éppen a 2020 is szóba jöhet. Öttel osztható 404 darab szám van. 3-mal osztható 673 darab, illetve 15-tel osztható 134 darab. 2020 – (404 + 673 – 134 ) = 1077 olyan szám lesz, mely nem osztható sem 5-tel sem 3-mal.

15 . Feladat Kata leírta a 2020-as négyjegyű pozitív egész számot. Majd hozzáadta számjegyeinek összegét és megszorozta (-1)-gyel. Leírta ezt a négyjegyű számot is. Majd folytatta ezt a szabályt, és így kapott egy számsort. a; Melyik szám áll a sorozat 2020. helyén? b, Mennyi az így leírt 2020 darab szám összege?

Megoldás Kata által leírt számsor a következő: 2020; -2024; 2016; -2025; 2016; -2025…….. A harmadik számtól ismétlődik a sor, minden páros számú helyen a negyedik számtól kezdve a -2025 áll, ezért a sorozat 2020. helyén a -2025 áll. A leírt számok összege: -4 + (-9) * 1009 = - 9085

16 . Feladat Leírtuk sorban egymás után a háromjegyű pozitív egész számokat növekvő sorban a legkisebbtől kezdve : 100101102103104…… Milyen számjegy áll a 2020.helyen?

Megoldás 900 darab háromjegyű számunk van, melyek 2700 darab számjegyet tartalmaznak. Ettől kevesebbet írtunk le, pontosan 2020 : 3 = 673, és maradék az 1. A 673-dik háromjegyű szám a 772, és még írunk egy számjegyet a 773-as szám százas helyi értékéről. Tehát a 2020. helyen a 7-es számjegy áll.

17 . Feladat Peti leírta a füzetébe a 2020-as évszámot. Ezután számjegyeit összeadta, majd az így kapott számot megszorozta 2020-szal. Ezt a számot szintén leírta. Az eredményül kapott szám számjegyeit ismét összeadta és az összeggel elosztotta az előzőleg leírt négyjegyű számot. Ez lett a következő szám a füzetében. Ezt a szabályt folytatva melyik lesz a 2020. szám Peti füzetében?

Megoldás Peti számsora így alakult: 2020; melyben a számjegyek összege 4. 4 * 2020 = 8080, melyben a számjegyek összege 16. 8080 : 16 = 505, melyben a számjegyek összege 10. 10 * 2020 = 20200, melyben a számjegyek összege 4. 20200 : 4 = 5050, melyben a számjegyek összege 10. 10 * 2020 = 20200, melyben a szánjegyek összege ismét 4. A 2020 páros szám, és a páros helyeken 20200 lesz a negyedik helytől kezdve. Tehát Peti füzetében 20200 lesz a 2020. szám.

18. Feladat Laci 2020-ban azt állítja: „Születési évszámom számjegyei összegének háromszorosa egyenlő az életkorommal 2020-ban.” Mikor született Laci?

Megoldás Laci születési évszámát jelöljük 19xy – nal, melyben a számjegyek összege 10 + x + y Laci életkorát kifejezhetjük a 2020 – 1900 – 10x –y kifejezéssel. Így 3(10 + x +y) = 120 – 10x –y , majd rendezve kapjuk, hogy 4y = 90 – 13x. Mely egyenletet rendezve, figyelembe véve, hogy x, illetve y is egész , egyjegyű számokat jelöl. Az egyetlen helyes szám pár, mely eleget tesz a feltételeknek, az x = 6, és y = 3. Tehát Laci 1963-ban született.

Ellenőrzés 1 + 9 + 6 +3 = 19, melyet szorozva 3-mal 57-et kapunk eredményül. Laci életkora 2020 – 1963 = 57. Ha Laci életkorát 20xy-nal jelöljük, akkor nem kapunk helyes megoldást.

19. Feladat A 2020-nak a 6-os, 7-es, 8-as és 9-es maradéka is 4. Hány ilyen négyjegyű pozitív egész szám létezik?

Megoldás Felírva a négy szám legkisebb közös többszörösét 504-et kapunk, ha ehhez 4-et adunk, akkor minden esetben az osztási maradék 4 lesz. A négyjegyű pozitív számok körében keressük a megoldásokat, így jók lesznek a következő számok: 2 * 504 + 4 = 1012 3 * 504 + 4 = 1516 … 19 * 504 + 4 = 9580 Tehát 18 ilyen négyjegyű pozitív egész szám van, ami a feladat kérésének megfelel.

20 . Feladat A 2020-as évszám számjegyeiből hány legfeljebb négyjegyű szám képezhető? Van-e közöttük olyan, mely egy pók lábainak számával megegyezik?

Megoldás A legfeljebb négyjegyű azt jelenti, hogy négyjegyű, háromjegyű, kétjegyű és egyjegyű számok körében gondolkodhatunk. Ha egyjegyű, akkor ez a szám a 2 vagy a 0. Ha kétjegyű, akkor lehet a 20, illetve a 22. Ha háromjegyű akkor lehet a 222, a 220, a 202 illetve a 200. Ha négyjegyű akkor pedig a 2222, a 2022, a 2202, a 2220, a 2200, a 2020, a 2002, illetve a 2000. 16 db legfeljebb négyjegyű szám képezhető. Ezek közül a 22 felel meg egy pók lábainak számával, csak 3-as számrendszerben gondolkodva, vagy a 20 felel meg 4-es számrendszerben.

Köszönöm a figyelmet! Regősné Jancsovics Julianna