Kristálytan Szimmetriák Debrecen 2017

Szimmetria A görög syn (sym) – együtt előtagból és metron – mérték szóból származik. Magyarul részarány, részarányos Egy alakzat két, vagy több részének ugyanaz a mértéke. Ez a két, vagy több rész valamilyen művelettel egymással fedésbe hozható. A szimmetria a fedési műveletek segítségével ismerhető fel. A fedési művelet teszi lehetővé valamilyen motívum szabályszerű ismétlődését. Ilyen fedési művelet a transzláció – a kristályrácsok alkotó tömegpontok szabályszerű eltolása. A kristályrácsban fontos, a kristály alakján azonban szabadszemmel nem látható.

Morfológiailag 3 egyszerű fedési műveletet különböztetünk meg: tükrözés, forgatás és inverzió. Ezekhez megfelelő szimmetriaelemek tartoznak: tükörsík, forgástengely és inverziópont. Ha egy alakzat akár csak egy szimmetriaelemet tartalmaz, azt szimmetrikusnak tartjuk. A szimmetria nagyon gyakori a természetben, a művészetben, sőt a kémiában is.

Tükrözés

Fedési művelet (szimmetria művelet): tükrözés Megfelelő szimmetriaelem: tükörsík, vagy szimmetriasík Jelölése: m (miroir) A tükörsík a kristályt két egyforma, egymással fedésbe hozható félre osztja. A kristályokban csak meghatározott számú tükörsík lehet: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 (9-nél több és 8 nincs).

A síkban szimmetriatengelynek nevezik Térben tükörsík

Az arc szimmetriája

Forgatás (rotáció) Isle of Man

Fedési művelet: forgatás Fedési művelet: forgatás Megfelelő szimmetriaelem: szimmetriatengely, forgástengely, vagy gír (gyros – csavarás) A gír olyan szimmetriaelem, amelynek segítségével az alakzat (kristály, rács) egy teljes körforgás alatt önmagával többször fedésbe kerül. Jele: 1, 2, 3, 4, 6 (aszerint, hogy hányszor kerül fedésbe, annyi értékű a gír) Monogír (jele 1) – 360o forgatás, nem jelent szimmetriát. Digír, kétfogású szimmetriatengely, (jele 2) - 180o forgatás. 180° Jelölése: (szilvamag alak)

Trigír, háromfogású (jele 3) - 120o forgatás. Jelölése: 120° Tetragír, négyfogású (jele 4) - 90o forgatás. 90° Jelölése:

Hexagír, hatfogású (jele 6) - 60o forgatás. Jelölése: 5 értékű, vagy 6-nál nagyobb értékű szimmetriatengely a kristályokban nem fordul elő. Miért? Mert a teret hézag nélkül csak rombusz, téglalap (digir), négyzet (tetragir), egyenlő oldalú háromszög (trigir) és szabályos hatszög (hexagir) tölti ki.

Az ötös szimmetria egyébként gyakori a természetben Ötszöges pirit kristály Piritoéder Nincs ötszörös szimmetria. Ho-Mg-Zn kvázikristály Ötszöges, de nem valódi kristály

Pont szerinti tükrözés Fedési művelet: inverzió Megfelelő szimmetriaelem: inverziós pont, vagy szimmetriacentrum _ Jele: 1, i Ha az inverziósponttal rendelkező kristály középpontján átfektetünk egy egyenest, annak mindkét vége azonos értékű helyen lép ki. Az inverziósponttal rendelkező kristálynak minden lapjához megvan az egybevágó párhuzamos lappár.

A síkban ezt középpontos szimmetriának hívták A síkban ezt középpontos szimmetriának hívták. Ilyen például a paralelogramma Ilyen a négyzet, a téglalap, de nem a szabályos háromszög. Az inverziósponttal nem rendelkező kristályok piezoelektromosak

Szimmetriák síkban Milyen szimmetraelemei vannak a fenti síkidomoknak. Melyiknek nincs inverzióspontja?

Az eddig említett szimmetriaelemek (tükrözés, forgatás, inverzió) az ún. egyszerű szimmetriaelemek. Ha a forgatást tükrözéssel kombináljuk, akkor összetett szimmetriaelemet, giroidot kapunk. Összetett szimmetriaelemek: 60o elforgatás, majd tükrözés – trigír hexagiroid (inverziós hexagiroid) (jele ) 90o elforgatás, majd inverzió – digír tetragiroid (inverziós tetragiroid) (jele ) 3 _ 4 Ugyanilyen összetett szimmetriaelemekhez jutunk, ha a forgatást inverzióval kombináljuk.

Trigír hexagiroid (mivel egyúttal trigír is), vagy egyszerűen hexagiroid Egyéb elnevezések: inverziós hexagiroid, régebben inverziós trigiroid Jele: 3 _ Jelölése: romboéder Ha a kristályt körbeforgatjuk, akkor annak minden lapja háromszor kerül fedő, háromszor pedig tükörképi helyzetbe.

Digir tetragiroid (mivel egyúttal digír is), egyszerűen tetragiroid, vagy inverziós tetragiroid 4 _ Jele: Epsomit MgSO4·7H2O Jelölése: diszfenoid

A kocka és az okteéder szimmetriaelemei

Mindkettőnél 9 tükörsík és 13 forgási tengely (3 tetragir, 4 trigir és 6 digir) Tükörsík - 3 az oldalfelezőkön, 6 az átlókon; a 4 trigír az hexagiroid)

Tetraéder 6 tükörsík (kocka átlói) 4 trigír 3 digír (tetragiroid)

Szimmetriák a kémiában

Kristályrácsok szimmetriaelemei Tükrözés és rotáció a kristályrácsban

Szimmetriaelemek térbeli ábrázolása: a sztereografikus projekció Szimmetriaelemek, kristálylapok, kristályformák ábrázolása 2 dimenziós projekcióban, azaz síkban Ez a vetítési ábrázolás szöghű, rajta a lapok helyzete és a szimmetriaviszonyok könnyen áttekinthetők.

Sztereografikus projekció Induljunk ki egy kristályból A kristályt egy gömb középpontjába helyezzük. A gömb és a kristály középpontja azonos A középpontból minden egyes kristálylapra merőlegest bocsájtunk Egyenlítői sík A merőleges egyenesek (lapnormális) a gömb felületét egy-egy pontban döfik. Minden egyes döféspont egy kristálylap gömbön levő vetülete (póluspont). Ez a gömbprojekció Ez még mindig 3 dimenzióban van

É-i sarokpont Minden egyes póluspontot (döféspontot) az egyenlítői síkra, az alapkörre vetítünk. A vetítés centruma a D-i sarokpont. Az alapkör a sztereografikus vetület képsíkja A sztereografikus vetületi pont, vagy pólus az a pont, ahol az összekötő egyenes az alapkört metszi. Egyenlítői sík, vagy alapkör D-i sarokpont

A sztereografikus projekció pedig így fog kinézni

Ugyanez síkban É-i sarokpont Alapkör (vízszintes egyenes) D-i sarokpont

Ez csak a kristály felső felére vonatkozik Ez csak a kristály felső felére vonatkozik. Ha az alsó felére is szükség van, akkor a gömb É-i és D-i pólusát felcseréljük, és a gömb alsó felén levő pólusokat az É-i sarokponttal kötjük össze. A szeterografikus vetületben a kristály felső felének póluspontjait, fekete ponttal vagy X-el jelöljük, az alsó fél póluspontjait pedig üres karikával. Vetületi pont jelölése: x vagy Az alsó és felső kristálylap vetületi pontja egybeesik (vizszintes tükörsík) X

A kocka sztereografikus projekciója

Tetraéder sztereografikus projekciója

Szimmetriaelemek ábrázolása A sztereografikus vetület segítségével a szimmetriaelemeket és a kristály szimmetria viszonyait (tükörsíkok, girek) szöghűen tudjuk ábrázolni . Irány (pl. rotációs tengely – gír) ábrázolása

101 _ Digír a vizszintes élközepeken 111 _ 101 _ 100 110 111 _ 110 Trigír a csúcsokon 100 Tetragír a lapközepeken Digír a függőleges élközepeken

Síkok (pl. tükörsík) ábrázolása A gömb felszínén levő körök, pl. a tükörsíkok metszetei mint körök vetítődnek le. Az É-i és D-i pólusokon átmenő speciális körök átmérők lesznek a vetületben.

Függőleges tükörsíkok Vizszintes tükörsík Ferde tükörsík Tükörsík – vastag vonal