A lineáris függvény NULLAHELYE GYAKORLÁS
A lineáris függvények néhány alkalmazása ADÓS FIZESS! Mint a VIZFOLYÁS... TAXIZTÁL MÁR? FUTJA A ZSEBPÉNZEDBŐL... SPORTOLJUNK! EGY KIS FIZIKA...
Adós fizess! 2008.03.31.: Adós Aladár számláján 2700 dinár tartozás. Elhatározta, a következő naptól a hónap végéig minden nap befizet 150 dinárt, hogy rendezze számláját. а) Fejezd ki képlettel, hogyan változik a számla állása az eltelt napok függvényében b) Ábrázold ezt az összefüggést grafikusan c) Állapítsd meg, meddig volt tartozása d) Mit jelent a függvény nullája? e) Hogy állt a számlája április 12-én? f) Melyik napon lett 600 dinárja?
MEGOLDÁS: а) y = -2700 + 150x, x 1 , 30, xN (miért?) b) A függvény grfikonja: c) nullahelye: -2700 + 150x = 0 150x = 2700 x = 18 tehát a tartozás április 18-án megszünt d) ha x 1 , 18, y < 0 ha x 18 , 30, y > 0 e) x = 12-re: y= -2700 + 15 12 = - 900 f) y = 600: -2700 + 150x = 600 150x = 3300 x = 22
Mint a vizfolyás Egy tartályban 400l víz van. Ha kinyitjuk a csapot, másodpercenként 0,4l víz folyik ki belőle. а) Hogyan változik a tartályban lévő víz mennyisége (y) az eltelt másodpercek függvényében (x), ha nyitva a csap? b) Határozd meg a függvény nulláját! c) Határozd meg a függvény értelmezési tartományát! d) Készíts grafikont! e) Mikor fog a tartály kiürülni? f) Mennyi víz lesz a tartályban 5 perc elteltével? g) Mikor lesz a tartályban 150l víz?
Megoldás: а) y = 400 – 0,4x b) 400 – 0,4x = 0 x = 400/0,4 = 4000/4 = 1000 s c) x 0 , 1000 (miért?) d) A függvény grafikonja: e) A tartály 1000 másodperc alatt ürül ki, tehát x = 1000 a függvény nullája f) x = 5 min = 300 s y(300) = 400 – 0,4 300 = 280 5 perc elteltéval a tartályban 280 l víz lesz. е) y = 150, x = ? 400 – 0,4x = 150 0,4x = 250 x = 250/0,4 = 2500/4 = 625 min = 10 min 25 s 10 perc 25 másodperccel a csap megnyitása után lesz a tartályban 150 l víz.
Taxiztál már? A szolgáltatás ára a megtett úttól függ. Az indulási költég 20 dinár, minden megtett kilométer további 30 dinárba kerül. а) Fejezd ki képlettel, hogyan függ a szolgáltatás díja ( y ) a megtett kilométerektől ( x ) b) Mennyit kell fizetni egy 3,7 km-es útért? c) Mennyit utazott az a személy, aki 149 dinárt fizetett? Megoldás: а) y = 20 + 30x, értelmezési tartománya : (a megtatt kilométerek) x 0 b) x = 3,7; y(3,7) = 20 + 30 3,7 = 110 3,7 km-es út 110 dinárba kerül. c) y = 149; x = ? 20 + 30x = 149 30x = 129 x = 4,3 149 dinárért 4,3 km-t taxizhatunk.
Futja a zsebpénzedből internetre? Iván 1180 dinárt fizetett internetidőért: 0,50 dinárt minden percért, és 18% adót az összegre. а) Fejezd ki a számla alakulását (y) az internetórák függvényében (x)! b) Határozd meg a függvény nulláját – magyarázd meg, mit jelent! c) Iván úgy tervezi, akkor fog újra internetidőt venni, ha 177 dinár alá esik a felhasználható összeg. Mikor kell ezt megtennie? Megoldás: а) 100% + 18% = 118% = 1,18 1,18 0,50 = 0,59 dinár percenként, tehát: 0,59 60 = 35,4 dinár óránként. y = 1180 – 35,4x b) 1180 – 35,4x = 0 35,4x = 1180 x = 1180/35,4 = 11800/354 = 100/3 = 33 1/3 Iván 33 óra és 20 perc internetidőt fizetett be. c) y < 177, 1180 – 35,4x < 177 - 35,4x < - 1003 x > 10030/354 x > 85/3 x > 28 1/3 Iván tehát 28 h és 20 perc internetezés után kell újra időt vásárolnia.
Sportoljunk! A bajnokságon 14 kosárlabdacsapat vesz részt. Minden csapat kétszer játszik: egyszer hazai pályán, és egyszer vendégként. A győzelem 2 pontot hoz, a vesztes csapat 1 pontot kap. а) Hogyan függ a megszerzett pontok száma ( y ) a megnyert meccsek számától ( x )? Fejezd ki függvény segítségével! b) Határozd meg a függvény értelmezési tartományát, valamint a minimális és makszimális függvényértéket! c) A Fecskék csapata 40 pontot szerzett. Hány győzelme és hány veresége volt a cspatnak? d) A Pumák csapatától büntetésből elvettek 10 pontot. Hogyan függ a Pumák pontszáma ( y ) nzertes mérkőzésaik számától? e) A Pumák csapata csak egyszer vesztett. A bajnokság végére megelőzték-e a Fecskéket?
Megoldás: а) minden csapat 13 + 13 = 26 mérkőzést játszott a győzelmek száma: x a vesztes mérkőzések száma: 26- x a függvény: y = 2x + 26 – x y = x + 26 b) a nyertes mérkőzések száma ( x ) 0 és 26 között van, tehát a függvény értelmezési tartománya: x 0 , 26, x N minimális értéke: x = 0 esetán y(0) = 26 (mindig vesztettek) maximális értéke: x = 26 , y(26) = 52 (mindig nyertek) c) y = 40 ; x = ? x + 26 = 40 x = 14 A Fecskék 14-szer nyertek és 12 –szer vesztettek d) y = -10 + x + 26 y = x + 16 e) x = 25 , y(25) = 25 + 16 = 41 A Pumk 41 pontot szereztek, tehát 1-gyel többet, mint a Fecskék.
Egy kis fizika... – vagy inkább biológia? Két katicabogár egyidőben, azonos helyről indul két, egymásra merőleges irányba. Az egyik 3 cm/s , а másik 4 cm/s sebeséggel halad. а) Egymástól való távolságuk ( y ) az eltelt idő ( x ) függvénye. Fejezd ezt ki egy függvénnyel! b) Milyen messze lesznek egymástól 2 perc múlva? c) Mikor lesznek egymástól 1,2 méterre? Megoldás: a) Az egyik katicabogár OA= 3x utat tett meg a másik: OB= 4x -et távolságuk: y = AB Pitagorasz tételét alkalmazva: AB2 = OA2+ OB2 y2 = (3x)2 + (4x)2 y2 = 9x2 + 16x2 y2 = 25x2 , x > 0 y = 5x b) x = 2 perc = 120 s y(120) = 5 120 = 600 2 perc múlva a távolságuk: 600 cm = 6 m c) y = 1,2 m = 120 cm 120 = 5x x = 24 Egymástól 1,2 m – re 24 másodperc múlva lesznek.