A geometriai transzformációk

Slides:



Advertisements
Hasonló előadás
Hullámmozgás. Hullámmozgás  A lazán felfüggesztett gumiszalagra merőlegesen ráütünk, akkor a gumiszalag megütött része rezgőmozgást végez.
Advertisements

Az erő def., jele, mértékegysége Az erő mérése Az erő kiszámítása Az erő vektormennyiség Az erő ábrázolása Támadáspont és hatásvonal Két erőhatás mikor.
A hasáb. A hasáb felszínén az alaplapok és az oldallapok területének az összegét értjük. A-val jelölve a hasáb felszínét, T-vel az alaplap, illetve a.
3. Téma Számsorozat, számsor bevezető Számsorozat, számsor bevezető PTE PMMK Mérnöki Matematika Tanszék Perjésiné dr. Hámori Ildikó Matematika A3-2. előadások.
Függvénytranszformációk
Tanulószerződés-kötés
Geometriai transzformációk
Lieszkovszky József Pál (PhD hallgató, RGDI
Valószínűségi kísérletek
3D grafika összefoglalás
avagy, melyik szám négyzete a -1?
Komplex természettudomány 9.évfolyam
A mozgás kinematikai jellemzői
A Feuerbach-kör és annak alkalmazása feladatokban
Foglalkoztatási Paktumok az EU-ban
KÉSZÍTETTE: ÁRPÁS ATTILA
A közigazgatással foglalkozó tudományok
Lineáris függvények.
Az erő fogalma. Az erő fogalma Mozgásállapot-változásról akkor beszélünk, ha megváltozik egy test mozgásának sebessége, mozgásának iránya vagy mindkettő.
Komplex természettudomány 9.évfolyam
Függvénytranszformációk
 : a forgásszög az x tengelytől pozitív forgásirányában felmért szög
Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái
Rendszerező összefoglalás
Csak nem-szignifikáns próba
Hipotézisvizsgálat.
Munka és Energia Műszaki fizika alapjai Dr. Giczi Ferenc
 : a forgásszög az x tengelytől pozitív forgásirányában felmért szög
20. óra Transzformáció.
2. Koordináta-rendszerek és transzformációk
Kijelentéslogikai igazság (tautológia):
A Nemzeti Szakképzési és Felnőttképzési Intézet Konferenciája
Sokszögek modul Pitagórasz Hippokratész Sztoikheia Thalész Euklidesz
Egy test forgómozgást végez, ha minden pontja ugyanazon pont, vagy egyenes körül kering. Például az óriáskerék kabinjai nem forgómozgást végeznek, mert.
FÜGGVÉNYEK Legyen adott A és B két nem üres (szám)halmaz. Az A halmaz minden eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz pontosan egy elemét. Ezt az egyértelmű.
INFOÉRA 2006 Véletlenszámok
KINEMATIKA (MOZGÁSTAN).
Varianciaanalízis- ANOVA (Analyze Of VAriance)
Szerkezetek Dinamikája
Regressziós modellek Regressziószámítás.
Az elemi folyadékrész mozgása
Kalickás forgórészű aszinkronmotor csillag-delta indítása
Készítette: Sinkovics Ferenc
AVL fák.
A Feuerbach-kör titkai
TRIGONOMETRIA Érettségi feladatok
Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Rátz László Vándorgyűlés 2018.
A csoportok tanulása, mint a szervezeti tanulás alapja
3. előadás.
Klasszikus genetika.
Bináris kereső fák Definíció: A bináris kereső fa egy bináris fa,
Matematikai Analízis elemei
Matematika I. BGRMA1GNNC BGRMA1GNNB 8. előadás.
Járműtelepi rendszermodell 2.
Dr. Varga Beatrix egyetemi docens
Matematika 11.évf. 1-2.alkalom
Műveletek, függvények és tulajdonságaik Mátrix struktúrák:
Scool-Túra Kft Miskolc Széchenyi út 36.
Munkagazdaságtani feladatok
A Föld, mint égitest.
3. előadás.
A HÁROMSZÖGEK EGYBEVÁGÓSÁGA
Bevezetés Tematika Számonkérés Irodalom
Vektorok © Vidra Gábor,
Várhatóérték, szórás
A részekre bontás tilalma és annak gyakorlati alkalmazása
Algoritmusok.
FÜGGVÉNYEK ÉS GRAFIKONJUK
Kristálytan Szimmetriák Debrecen 2017.
Egyenletesen változó mozgás
Előadás másolata:

A geometriai transzformációk 9.évfolyam

Történeti előzmények A geometria a matematika térbeli törvényszerűségek, összefüggések leírásából kialakult ága; maga a geometria szó görögül eredetileg földmérést jelentett. Az elemi geometriában az egybevágóság, hasonlóság és általában a transzformáció fogalmai alapvetőek.

Geometria tanítása a középkori Franciaországban (1300-as évek eleje)

A geometriai transzformáció fogalma A geometriai transzformációk olyan speciális függvények, amelyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz.

Milyen tulajdonságokat vizsgálunk? 1. Kölcsönösen is egyértelmű-e a hozzárendelés? A geometriai transzformáció kölcsönösen egyértelmű, ha egy pontnak egy képpont felel meg, és minden képpontnak egy őse van. Például ilyen a tengelyes tükrözés.

Ilyen például a középpontos tükrözés: 2. Szimmetrikus e a hozzárendelés? A geometriai transzformáció akkor szimmetrikus, ha P képe P* esetén, P* képe P. Ilyen például a középpontos tükrözés:

4. Vannak e invariáns alakzatok? 3. Vannak e fixpontok? Egy geometriai transzformációnál fixpont az a pont, amelynek képe önmaga. Például a középpontos tükrözésnél a tükrözés középpontja. 4. Vannak e invariáns alakzatok? Ha az alakzat képe önmaga, akkor invariáns alakzatnak nevezzük. (A pontjai nem kell, hogy fixpontok legyenek!) Például: e=e' t

5. Egyenestartó e? Egyenestartónak nevezzük a geometriai transzformációt, ha egyenes képe is egyenes. 6. Távolságtartó e? A geometriai transzformációk közül a távolság- tartó leképezések azok, amelyeknél: ha a P és Q pont képe P' és Q', akkor P és Q távolsága megegyezik a P' és Q' távolságával. 7. Szögtartó e? A geometriai transzformáció szögtartó, ha szög és képe egyenlő nagyságú.

8. A körüljárás irányát megváltoztatja e? B t B' A A' C' C

Tengelyes tükrözés Tengelyes tükrözés

Definíció Adott a sík egy t egyenese. Ez a tengelyes tükrözés tengelye. A t tengelyre vonatkozó tengelyes tükrözés a sík tetszőleges, t-re nem illeszkedő A pontjához azt a A' pontot rendeli, amelyre fennáll, hogy  a AA' szakasz felezőmerőlegese a t tengely. A t egyenesre illeszkedő pont képe önmaga. A t A'

A tengelyes tükrözés tulajdonságai: kölcsönösen egyértelmű, szimmetrikus, a t egyenes minden pontja fixpont, invariáns alakzatok például a t egyenesre merőleges egyenesek,

ha e merőleges a t tengelyre, 5. Egyenestartó és, ha e merőleges a t tengelyre, akkor e = e', e = e' t

5. Egyenestartó és, ha e metszi a tengelyt, akkor képe olyan egyenes, amely ugyanabban a pontban metszi a tengelyt, és ugyanakkora szöget zár be a tengellyel, mint az eredeti egyenes. t e e'

5. Egyenestartó és, ha e║t, akkor az e║e' és t az e és e' középpárhuzamosa,

A tengelyes tükrözés további tulajdonságai: 6. távolságtartó, 7. szögtartó, 8. a körüljárás irányát megváltoztatja.

A tengelyes szimmetria Definíció: egy síkbeli alakzat tengelyesen szimmetrikus, ha az alakzat síkjában létezik olyan t egyenes, amelyre vonatkozó tükrözésnél az alakzat képe önmaga. A t egyenes az alakzat tükörtengelye, vagy szimmetriatengelye.

Tengelyesen szimmetrikus alakzatok Egyenlőszárú háromszögek A=A' B=C' C=B'

Tengelyesen szimmetrikus alakzatok 2. Deltoidok

Tengelyesen szimmetrikus alakzatok 3. Húrtrapézok

Tengelyesen szimmetrikus alakzatok 4. Szabályos sokszögek

Tengelyesen szimmetrikus alakzatok 5. A körök

Példák a tengelyes szimmetriára a mindennapi életben

Példák a tengelyes szimmetriára a mindennapi életben

Példák a tengelyes szimmetriára a mindennapi életben

Példák a tengelyes szimmetriára: Victor Vasarely képei

Középpontos tükrözés

A középpontos tükrözés definíciója Adott a sík egy O pontja, a középpontos tükrözés középpontja. Az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés a sík tetszőleges O-tól különböző A pontjához azt az A' pontot rendeli, amelyre az O pont a AA' szakasz felezőpontja. Az O pont képe önmaga. A' O A

A középpontos tükrözés tulajdonságai: 1. kölcsönösen egyértelmű, 2. szimmetrikus, 3. fixpont a tükrözés középpontja, 4. invariáns alakzat például minden, a tükrözés középpontján áthaladó egyenes, és a tükrözés középpontjával azonos középpontú kör

A középpontos tükrözés további tulajdonságai: 5. Egyenestartó, és a tükrözés középpontján áthaladó egyenesek képe önmaga e = e' O

A középpontos tükrözés további tulajdonságai: 5. Egyenestartó, és ha az e egyenes nem halad át a tükrözés középpontján, akkor e║e'. A' B' e' O e B A

A középpontos tükrözés további tulajdonságai: 6. távolságtartó, 7. szögtartó, 8. a körüljárás irányát nem változtatja meg

A középpontos szimmetria Definíció: egy alakzat középpontosan szimmetrikus, ha létezik olyan pont, amelyre vonatkozó tükrözésnél az alakzat képe önmaga

Középpontosan szimmetrikus alakzatok 1. A paralelogrammák K K K

Középpontosan szimmetrikus alakzatok 2. A páros oldalszámú szabályos sokszögek K K

Középpontosan szimmetrikus alakzatok 3. A körök K

Az eltolás

Definíció PP' = v v P' P Adott egy v vektor. A v vektorral való eltolás a tér tetszőleges P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre: PP' = v v P' P

Az eltolás tulajdonságai: kölcsönösen egyértelmű, nem szimmetrikus nincs fixpontja, kivéve ha az adott vektor nullvektor, az adott vektorral párhuzamos egyenesek és síkok invariáns alakzatok, távolságtartó, szögtartó, a körüljárás irányát nem változtatja meg

8. Egyenestartó és ha az egyenes nem párhuzamos az eltolás vektorával, akkor az egyenes és képe párhuzamos. v B' A' e' e B A

8. Egyenestartó és ha az egyenes párhuzamos az eltolás vektorával, akkor az egyenes képe önmaga, v e = e'

A pont körüli elforgatás

Definíció Adott a sík egy O pontja, az elforgatás középpontja, és nagyságával és irányával egy β szög. Rendeljük az O ponthoz önmagát. A sík minden O pontjától különböző P pontjához rendeljük azt a P' pontot, amely teljesíti a következő feltételeket: POP' = β és OP = OP' P' β O P

A pont körüli elforgatás tulajdonságai: kölcsönösen egyértelmű, 2. általában nem szimmetrikus, 3. egyetlen fix pontja az O pont, ha csak az elforgatás szöge nem 0˚, 4. invariáns alakzat minden olyan kör, amelynek középpontja azonos az elforgatás középpontjával, 5. távolságtartó, 6. szögtartó, 7. a körüljárás irányát nem változtatja meg, 8. ha az elforgatás szöge 0˚, vagy 360˚, akkor az identitást kapjuk, azaz minden pont képe önmaga, 9. ha β = 180° (félfordulat), akkor a transzformáció a középpontos tükrözéssel azonos.

10. Egyenestartó, és az O ponton áthaladó egyenes képe is áthalad az O ponton, az egyenes és elforgatott képe lβl szöget zár be egymással, ha lβl ≤ 90°. lβl P P' e β e' O

Forgásszimmetria Definíció: egy alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan forgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át.

Forgásszimmetrikus alakzatok Négyzet Szabályos háromszög

Forgásszimmetrikus alakzatok Körök:

Transzformációk szorzata Definíció: két (vagy több) geometriai transzformációnak az egymás utáni elvégzését a két (vagy több) transzformáció szorzatának nevezzük. Jelölése: gf (P) Megjegyzés: a sorrendet a jobbról balra történő leolvasás adja meg.

Példa a transzformációk szorzására tk(P) A' C' B O B' B'' C'' A C t A''

Példa a transzformációk szorzására

Egybevágósági transzformációk Definíció: a távolságtartó transzformációkat nevezzük egybevágósági transzformációknak.

Összegezve:

Alakzatok egybevágósága Definíció: egybevágónak nevezünk két alakzatot, ha van olyan távolságtartó transzformáció, amely az egyik alakzatot a másik alakzatba viszi át. Jele: Két azonos sugarú kör mindig egybevágó.

Háromszögek egybevágósága Két háromszög egybevágó, ha rájuk a következő feltételek egyike teljesül: 1. oldalaik hossza páronként megegyezik; 2. két-két oldal hossza páronként egyenlő, és az ezek által bezárt szögek egyenlők;

3. egy-egy oldaluk hossza és a rajtuk fekvő két szögük páronként egyenlő; 4. két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és a két-két oldal közül a hosszabbal szemközti szögek egyenlők.

Sokszögek egybevágósága Két sokszög egybevágó, ha rájuk a következő feltételek egyike teljesül: 1. megfelelő oldalaik hossza és megfelelő átlóik hossza egyenlő; 2. megfelelő oldalaik hossza és megfelelő szögeik páronként egyenlők.

Köszönöm a figyelmet