A lineáris függvény NULLAHELYE

A folyó vízállását többször mérik egy hónapban A folyó vízállását többször mérik egy hónapban. A grafikon a mért vizszintet : H(cm) mutatja az idő függvényében : t(d). 1) Mely pontok között: а) emelkedett b) csökkent c) stagnált a víz szintje? 2) Melyik napon volt a vízállás nulla-szinten? 3) Mikor volt a vízállás: а) pozitiv b) negativ szinten?

Ábrázoljuk grafikusan az f(x) = 2x – 4 függvényt Táblázat: x -1 1 2 3 1 2 3 y -6 -4 -2 2 Grafikon: Vedd észre: ha x = 2, y = 0 а függvény a (2, 0) pontban halad át a az x-tengelyen а (2, 0) pont a függvény és az x-tengely metszéspontja

Hogyan számoljuk ki a függvény nullahelyét? Az y = 0 egyenletből: Az x független változónak azt az x0 értékét, amelyre az y függő változó 0 értéket vesz fel, az adott függvény nullahelyének nevezzük. A függvény NULLAHELYE a függvény grafikonjának és az x-tengelynek a metszéspontja. Hogyan számoljuk ki a függvény nullahelyét? Az y = 0 egyenletből: 2x – 4 = 0 x = 2 Az y = 0 egyenlet megoldása a függvény nullahelye (x0 = - n/k, k0) y = 0 kx + n = 0 kx = - n x0 = - n/k, k0

1. feladat: Határozd meg az adott függvények nullahelyét: а) y = 3x – 5 b) y = -2x + 1 v) y = 3/4 x + 0,5 g) 3x – y + 6 = 0 x= 5/3 A (5/3, 0) - B (0, -5) x = 1/2 A (1/2, 0) - B (0, 1) x = -2/3 A (-2/3, 0) - B (0, ½) x = -2 A (-2, 0) - B (0, 6)

A függvény alakja tehát: y = - 4x + 2 2. feladat: Az y = - 4x+n függvény nullahelye x = 1/2 . Határozd meg az n paraméter értékét, és rajzold meg a függvény grafikonját! Grafikusan: A függvény grafikonja egy egyenes, amelyet meghatároz két különböző pontja. Az egyenes egy pontját ismerjük: (1/2 , 0) Keressünk még egy pontot: Ha x = 1/2, akkor y = 0 - 4 1/2 + n = 0 - 2 + n = 0 n = 2 A függvény alakja tehát: y = - 4x + 2 A függvény az y tengelyt az n=2 –nél metszi, vagyis áthalad a (0 , 2) ponton A grafikon két jellegzetes pontja:  Metszet az x-tengellyel: A(-n/k,0),k≠0  Metszet az y-tengellyel: B(0 , n)

A függvény előjele A függvény ábrázolásakor látjuk, hogy az egyenes egyik része (az egyik félegyenes) az x-tengely alatt, míg a másik felette halad. A függvényérték számításakor azt láttuk, hogy: - az x egy meghatározott értékénél: y = 0 - a függvény nullahelye - az x bizonyos értékeire: y > 0 - a függvény pozitív y < 0 - a düggvény negatív

y = - x – 1 y = 2x – 4 X -1 1 2 3 4 5 y -6 -4 -2 6 X -4 -3 -2 -1 1 2 y Példák: y = 2x – 4 y = - x – 1 X -1 1 2 3 4 5 y -6 -4 -2 6 X -4 -3 -2 -1 1 2 y 3 k = 2, k > 0, a függvény növekvő x < 2  y < 0 x > 2  y > 0 x = 2  y = 0 k = -1, k < 0, a függvény csökkenő x < -1  y > 0 x > -1  y < 0 x = -1  y = 0

k > 0 x < x0 y < 0 x > x0 y > 0 k < 0 x < x0 Ha az y = kx + n, k  0 függvény nullahelye x0 = - n/k, akkor a függvény előjele az alábbi táblázat szerint alakul: növekvő függvény esetén: csökkenő függvény esetén: k > 0 x < x0 y < 0 x > x0 y > 0 k < 0 x < x0 y > 0 x > x0 y < 0

Feladatok: а) y = 3x + 2 b) y = -2/3x + 2 Határozd meg az adott függvények nullahelyét és előjelét! Megoldás: а) 3x + 2 = 0 3x = - 2 x = - 2/3 k = 3 , k > 0, növekvő x- , -2/3  y < 0 x -2/3,   y > 0 b) - 2/3 x + 4 = 0 -2x + 12 = 0 x = 6 k = -2/3, k < 0, csökkenő x- , 6  y > 0 x 6,   y < 0

Mi történik akkor, ha az y = kx +n függvényben k = 0 Mi történik akkor, ha az y = kx +n függvényben k = 0? Ha k = 0, n  0, akkor y = 0x + n y = n ha n = 1, y = 1 ha n = 2, y = 2 Ha k = 0, n = 0, akkor y = 0x + 0 y = 0 A függvény grafikonja olyan egyenes, amely egybeesik az x-tengellyel A függvény értéke minden x-re 0 A függvény grafikonja olyan egyenes, amely párhuzamos az x-tengellyel  A függvénynek nincs nullahelye