Bevezetés a matematikába I 1 Bevezetés a matematikába I Előadó Farkas Gábor ELTE IK Komputeralgebra Tanszék compalg.inf.elte.huA tanszék munkatársai Farkas Gábor Segédanyagok e-mail: farkasg@compalg.inf.elte.hu Budapest 2010. ősz
Bevezetés a matematikába szerkesztette: Járai Antal Ajánlott irodalom 2 Bevezetés a matematikába szerkesztette: Járai Antal szerzők: Farkas Gábor, Fülöp Ágnes, Gonda János Járai Antal, Kovács Attila, Láng Csabáné Székely Jenő ELTE Eötvös Kiadó ISBN 978 963 284 077 2
Hogyan definiálhatnánk a formulákat? 3 1.1 Logikai alapok Alapfogalmak: kijelentés (ítélet) igazságérték (i, h) predikátum (logikai változót tartalmazó definiálatlan alapfogalom) elemi formula logikai formulák (logikai kifejezések, mondatok) ¬, , , , logikai jelek (műveletek) (precedencia) kvantorok: , Hogyan definiálhatnánk a formulákat?
A B AB i h A B AB i h A A i h A B AB i h A B AB i h 4 Igazságtáblázat A B AB i h A B AB i h A A i h A B AB i h A B AB i h
kötött és szabad előfordulás 5 Def. (logikai formulák (logikai kifejezések, mondatok)) Ha A, B formula, akkor ¬A, (A B), (A B), (A B), (A B), továbbá (xA) és (xA) formulák. Formulán belül: kvantor hatásköre kötött és szabad előfordulás szabad változó ( szabad előfordulása) zárt formula: nincs benne szabad előfordulás (kül. nyílt formula)
kielégíthető formula: alkalmas helyettesítéssel adhat igaz értéket tétel (tautológia) : mindig igaz értéket adó formulák 1. A ¬A (kizárt harmadik) 2. ¬(A ¬A) (ellentmondás) 3. ¬(¬A) A (kettős tagadás) 4. ¬(A B) ¬A ¬B (De Morgan) 5. ¬(A B) ¬A ¬B (De Morgan) 6. A B ¬B ¬A (kontrapozíció) 7. A (A B) B (modus ponens) 6
bizonyítás (levezetés) direkt, indirekt bizonyítás 10. xy P(x,y) yx P(x,y) 8. ¬x P(x) x ¬P(x) 9. ¬ x P(x) x ¬P(x) 11. xy P(x,y) y x P(x,y) bizonyítás (levezetés) direkt, indirekt bizonyítás axiómák ellenpélda ellentmondásmentesség teljesség ( tétel levezethető axiómákból) függetlenség (axiómák nem vezethetők le egymásból) szükséges, elégséges feltétel teljes indukció 7
Példa 8 x illeszkedik z -re x pont z egyenes
Példa N(x) : x nő definíció axióma új predikátum predikátum tételek 9 Példa N(x) : x nő definíció axióma új predikátum predikátum tételek (*) G(x,y) : x gyereke y -nak unoka
Bizonyítsuk be, hogy nem lehet senki a saját unokája. tétel, bizonyítása indirekt módon Tfh xU(x, x) z(G(x, z) G(z, x)) (*) 10
1.2 Halmazelméleti alapfogalmak 11 1.2 Halmazelméleti alapfogalmak A halmazelmélet predikátumai: „halmaznak lenni” és „eleme” . A:= { felsorolás} A:= { x B | F(x) } A:= { x B : F(x) } Naív és axiomatikus halmazelmélet
Jelölés! részhalmaz , valódi részhalmaz A B x (xA xB) 12 A B x (xA xB) y (yA yB) Jelölés! részhalmaz , valódi részhalmaz (vagy részhalmaz , valódi részhalmaz )
Az üres halmaz létezését is axióma biztosítja. Jel: Miért van szükség a részhalmaz axiómára? 13 Russel-paradoxon Legyen A tetszőleges halmaz és B A B A Az üres halmaz létezését is axióma biztosítja. Jel:
Def. (Unióképzés) Def.(Metszetképzés) 14
15
Szimmetrikus differencia 1.2.22. Különbség A \ B = { x A | x B } Szimmetrikus differencia A Δ B = { x | x A \ B x B \ A }= ={ x A B | x A B } Ha X halmaz és A X , akkor A halmaz X –re vonatkozó komplementere A’ = X \ A 16
1.2.25. 17
Def. Ha A halmaz, akkor azt a halmazt, amelynek elemei A részhalmazai, A hatványhalmazának nevezzük. 1.2.42 18