Bevezetés a matematikába I

Slides:



Advertisements
Hasonló előadás
Deduktív adatbázisok.
Advertisements

Predikátumok Dr. György Anna BMF-NIK Szoftvertechnológia Intézet.
Adatbázisrendszerek elméleti alapjai 2. előadás
Adatbázis rendszerek I Relációs kalkulus Általános Informatikai Tsz. Dr. Kovács László.
NEMMONOTON KÖVETKEZTETÉS (NONMONOTONIC REASONING).
Halmazok.
Matematikai logika.
Függvények Egyenlőre csak valós-valós függvényekkel foglalkozunk.
Félévi követelmény (nappali)
Lambda kalkulus.
Determinisztikus programok. Szintaxis: X : Pvalt program változók E : Kifkifejezések B : Lkiflogikai kifejezések C : Utsutasítások.
Halmazok, műveletek halmazokkal
Matematikai logika A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült. Készítette: Dr. Ábrahám István.
A Halmazelmélet elemei
1 Előhang Világunk dolgainak leírásához gyakran használunk kijelentő mondatokat. Pl. Minden anya szereti gyerekeit. Júlia anya és Júlia gyereke Máté. Következmény:
4. VÉGES HALMAZOK 4.1 Alaptulajdonságok
Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi. Elérehet ő ség: aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/ aszt.inf.elte.hu/~szilagyi Fogadó óra: hétf ő
Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi. Elérehet ő ség: aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/ aszt.inf.elte.hu/~szilagyi Fogadó óra: hétf ő
Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi. Elérehet ő ség: aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/ aszt.inf.elte.hu/~szilagyi Fogadó óra: hétf ő
Logika Érettségi követelmények:
MI 2003/5 - 1 Tudásábrázolás (tudásreprezentáció) (know- ledge representation). Mondat. Reprezentá- ciós nyelv. Tudás fogalma (filozófia, pszichológia,
MI 2003/7 - 1 Az egyesítési algoritmus Minden kapitalista kizsákmányoló. Mr. Smith kapitalista. Mr. Smith kizsákmányoló.
Halmazok, relációk, függvények
Bizonyítási stratégiák
MATEMATIKA e-tananyag 9. osztály
A Halmazelmélet elemei
Logika 5. Logikai állítások Miskolci Egyetem Állam- és Jogtudományi Kar Jogelméleti és Jogszociológiai Tanszék március 10.
Differenciál számítás
Bevezetés a matematikába I
Valós számok Def. Egy algebrai struktúra rendezett test, ha test és rendezett integritási tartomány. Def. Egy (T; +,  ;  ) rendezett test felső határ.
5. VÉGTELEN HALMAZOK 5.1 Kiválasztási axióma
Reprezentációs függvény. Adva egy adattípus absztrakt és konkrét specifikációja: d a = ( A, F, E a ); d c = ( C, G, E c ); A = {A 0,..., A n };C = {C 0,...,
A számfogalom bővítése
Halmazelmélet és matematikai logika
Halmazok Összefoglalás.
LOGIKA (LOGIC).
LOGIKA (LOGIC).
*** HALMAZOK *** A HALMAZ ÉS MEGADÁSA A HALMAZ FOGALMA
Halmazműveletek.
Halmazok Tanítás.
Gazdaságstatisztika 10. előadás.
Érvelés, bizonyítás, következmény, helyesség
Függvényjelek (function symbols) (névfunktorok) FOL-ban Névfunktor: olyan kifejezés, amelynek argumentumhelyeire neveket vagy in- változókat lehet írni.
„Házasodj meg, meg fogod bánni; ne házasodj meg, azt is meg fogod bánni; házasodj vagy ne házasodj, mindkettőt meg fogod bánni; vagy megházasodsz, vagy.
Vektorterek Definíció. Legyen V Abel-csoport, F test, továbbá
Végtelen halmazok számossága Georg F. Cantor munkássága
Koncepció: Specifikáció: e par exp i = eb imp bod ib Specifikáció elemzése: tulajdonságok felírása a koncepció alapján + tulajdonságok bizonyítása.
1. MATEMATIKA ELŐADÁS Halmazok, Függvények.
Az informatika logikai alapjai
Kijelentések könyve: mindegyik oldalon egy kijelentés. Egyes igaz kijelentések axiómák. Az axiómákból bizonyítható kijelentések mind igazak, és a cáfolható.
Ekvivalenciák nyitott mondatok között Két nyitott mondatot ekvivalensnek mondunk, hha tetszőleges világban ugyanazok az objektumok teszik őket igazzá.
Az informatika logikai alapjai
MI 2003/6 - 1 Elsőrendű predikátumkalkulus (elsőrendű logika) - alapvető különbség a kijelentéslogikához képest: alaphalmaz. Objektumok, relációk, tulajdonságok,
Henkin-Hintikka-játék szabályai, kvantoros formulákra, még egyszer: Aki ‘  xA(x)’ igazságára fogad, annak kell mutatnia egy objektumot, amire az ‘A(x)’
A MATEMATIKA FELÉPÍTÉSÉNEK ELEMEI
előadások, konzultációk
LOGIKA (LOGIC).
Deduktiv adatbázisok. Normál adatbázisok: adat elemi adat SQL OLAP adatbázisok: adat statisztikai adat OLAP-SQL … GROUP BY CUBE(m1,m2,..)
1 Relációs kalkulusok Tartománykalkulus (DRC) Sorkalkulus (TRC) - deklaratív lekérdezőnyelvek - elsőrendű logikát használnak - relációs algebra kifejezhető.
2. gyakorlat INCK401 Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2015/2016. I. félév AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI.
Az informatika logikai alapjai
Analitikus fák a kijelentéslogikában
Fordítás (formalizálás, interpretáció)
A házi feladatokhoz: 1.5: Azonosság Jelölések a feladatszám alatt:
Logika előadás 2017 ősz Máté András
Variációk a hazugra Szókratész: Platón hazudik.
Algebrai geometriai számítások
1.3 Relációk Def. (rendezett pár) (a1 , a2) := {{a1} , {a1 , a2 }} .
ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)
Gráfok - 1 Definíció: Irányított gráf (digráf) G=(V,E) rendezett pár.
Előadás másolata:

Bevezetés a matematikába I 1 Bevezetés a matematikába I Előadó Farkas Gábor ELTE IK Komputeralgebra Tanszék compalg.inf.elte.huA tanszék munkatársai Farkas Gábor Segédanyagok e-mail: farkasg@compalg.inf.elte.hu Budapest 2010. ősz

Bevezetés a matematikába szerkesztette: Járai Antal Ajánlott irodalom 2 Bevezetés a matematikába szerkesztette: Járai Antal szerzők: Farkas Gábor, Fülöp Ágnes, Gonda János Járai Antal, Kovács Attila, Láng Csabáné Székely Jenő ELTE Eötvös Kiadó ISBN 978 963 284 077 2

Hogyan definiálhatnánk a formulákat? 3 1.1 Logikai alapok Alapfogalmak: kijelentés (ítélet) igazságérték (i, h) predikátum (logikai változót tartalmazó definiálatlan alapfogalom) elemi formula logikai formulák (logikai kifejezések, mondatok) ¬, , , ,  logikai jelek (műveletek) (precedencia) kvantorok: ,  Hogyan definiálhatnánk a formulákat?

A B AB i h A B AB i h A A i h A B AB i h A B AB i h 4 Igazságtáblázat A B AB i h A B AB i h A A i h A B AB i h A B AB i h

kötött és szabad előfordulás 5 Def. (logikai formulák (logikai kifejezések, mondatok)) Ha A, B formula, akkor ¬A, (A  B), (A  B), (A  B), (A  B), továbbá (xA) és (xA) formulák. Formulán belül: kvantor hatásköre kötött és szabad előfordulás szabad változó ( szabad előfordulása) zárt formula: nincs benne szabad előfordulás (kül. nyílt formula)

kielégíthető formula: alkalmas helyettesítéssel adhat igaz értéket tétel (tautológia) : mindig igaz értéket adó formulák 1. A  ¬A (kizárt harmadik) 2. ¬(A  ¬A) (ellentmondás) 3. ¬(¬A)  A (kettős tagadás) 4. ¬(A  B)  ¬A  ¬B (De Morgan) 5. ¬(A  B)  ¬A  ¬B (De Morgan) 6. A  B  ¬B  ¬A (kontrapozíció) 7. A  (A  B)  B (modus ponens) 6

bizonyítás (levezetés) direkt, indirekt bizonyítás 10. xy P(x,y)  yx P(x,y) 8. ¬x P(x)   x ¬P(x) 9. ¬ x P(x)  x ¬P(x) 11.  xy P(x,y)  y x P(x,y) bizonyítás (levezetés) direkt, indirekt bizonyítás axiómák ellenpélda ellentmondásmentesség teljesség ( tétel levezethető axiómákból) függetlenség (axiómák nem vezethetők le egymásból) szükséges, elégséges feltétel teljes indukció 7

Példa 8 x illeszkedik z -re x pont z egyenes

Példa N(x) : x nő definíció axióma új predikátum predikátum tételek 9 Példa N(x) : x nő definíció axióma új predikátum predikátum tételek (*) G(x,y) : x gyereke y -nak unoka

Bizonyítsuk be, hogy nem lehet senki a saját unokája. tétel, bizonyítása indirekt módon Tfh  xU(x, x)   z(G(x, z)  G(z, x)) (*) 10

1.2 Halmazelméleti alapfogalmak 11 1.2 Halmazelméleti alapfogalmak A halmazelmélet predikátumai: „halmaznak lenni” és „eleme” . A:= { felsorolás} A:= { x  B | F(x) } A:= { x  B : F(x) } Naív és axiomatikus halmazelmélet

Jelölés! részhalmaz  , valódi részhalmaz  A  B   x (xA  xB) 12 A  B   x (xA  xB)   y (yA  yB) Jelölés! részhalmaz  , valódi részhalmaz  (vagy részhalmaz  , valódi részhalmaz )

Az üres halmaz létezését is axióma biztosítja. Jel:  Miért van szükség a részhalmaz axiómára? 13 Russel-paradoxon Legyen A tetszőleges halmaz és B A   B A Az üres halmaz létezését is axióma biztosítja. Jel: 

Def. (Unióképzés) Def.(Metszetképzés) 14

15

Szimmetrikus differencia 1.2.22. Különbség A \ B = { x  A | x B } Szimmetrikus differencia A Δ B = { x | x A \ B  x  B \ A }= ={ x  A  B | x  A  B } Ha X halmaz és A  X , akkor A halmaz X –re vonatkozó komplementere A’ = X \ A 16

1.2.25. 17

Def. Ha A halmaz, akkor azt a halmazt, amelynek elemei A részhalmazai, A hatványhalmazának nevezzük. 1.2.42 18