EGYENES ARÁNYOSSÁGGAL AZ EGYENES ARÁNYOSSÁG EGYENES ARÁNYOSSÁGGAL MEGOLDHATÓ FELADATOK

ISMÉTLÉS Ha az x és y változó mennyiségek összefüggése kifejezhető y=kx (k0) feltétellel, akkor az x és y egyenesen arányos mennyiségek. A k szám az egyenes arányosság tényezője.

x 1 2 3 4 6 8 10 y 12 16 20 Vegyük a következő példát: y=2x

Ha (x1,y1) és (x2,y2) olyan számpárok, amelyeket az x és y egyenes arányos mennyiségek összetartó értékpárjai alkotnak (miközben y=kx és k0) akkor y1 : y2 = x1 : x2

y1 : y2 = x1 : x2 Az egyirányú nyilakkal jelöljük, hogy mindkét mennyiség mérőszámai egyidejűleg növekszenek vagy csökkenek.

PÉLDAFELADAT 5 csoki a boltban 600 forintba kerül. Mennyibe kerül 8 csoki? Második osztálytól kezdve ezt a következőképpen számoltuk: 5 csoki 600 forintba kerül, tehát 1 csoki 600 : 5 = 120 forintba. 8 csoki ára tehát: 120  8 = 960 forint.

Az előző feladat megoldása aránypár segítségével: 5 csoki a boltban 600 forintba kerül. Mennyibe kerül 8 csoki? Első mennyiség: csoki száma Második mennyiség: fizetendő összeg

Válasz: IGEN! Feltesszük a kérdést: Ha több tábla csokit veszek, többet kell fizetnem? Válasz: IGEN! Az egyik mennyiség növekedésével, növekszik a másik mennyiség is (egyenes arányosság).

Az egyenes arányos mennyiségeknél a nyilaknak azonos az irányításuk. Ábrázoljuk az előző összefüggést! 5 csoki 600 forint 8 csoki x forint Az egyenes arányos mennyiségeknél a nyilaknak azonos az irányításuk.

5 : 8 = 600 : x Az aránypárra érvényes: Írjuk fel az aránypárt! 5 tábla csoki 600 forint 8 tábla csoki x forint 5 : 8 = 600 : x Az aránypárra érvényes: külső tagok szorzata = belső tagok szorzatával.

5 : 8 = 600 : x 5  x = 8  600 120 1 8  600 x = 5 x = 960 forint

5 csoki 600 forintba kerül. Mennyibe kerül 8 csoki? Válasz: 8 csoki 960 forintba kerül. Elemzés: Igaz-e, hogy több csokiért többet kell fizetnünk? IGEN

KÜLÖNBÖZŐ MÉRTÉKEGYSÉGBEN EGY MENNYISÉG KÜLÖNBÖZŐ MÉRTÉKEGYSÉGBEN AZ ARÁNYPÁRBAN Fontos: CSAK AZONOS MÉRTÉKEGYSÉGŰ MENNYISÉGEKET TUDUNK ARÁNYÍTANI Különböző mértékegységeket azonosokká kell alakítanunk!

PÉLDAFELADAT A gyalogos a 2 km utat 20 perc alatt teszi meg. Mekkora utat tesz meg 2 óra alatt? Kérdés: ha több ideig utazunk, több utat teszünk meg? Válasz: IGEN! Az egyik mennyiség növekedésével, növekszik a másik mennyiség is (egyenes arányosság).

2 : x = 20 : 120 2 km út 20 perc x km út 2 óra =120 perc A gyalogos 2 km utat 20 perc alatt tesz meg. Mekkora utat tesz meg 2 óra alatt? 2 km út 20 perc x km út 2 óra =120 perc 2 : x = 20 : 120 Az aránypárra érvényes: külső tagok szorzata = belső tagok szorzatával.

2 : x = 20 : 120 20  x = 2  120 6 1 2  120 x = 20 x = 12 km

A gyalogos 2 km utat 20 perc alatt tesz meg. Mekkora utat tesz meg 2 óra alatt? Válasz: 2 óra (120 perc) alatt a gyalogos 12 km utat tesz meg. Elemzés: Igaz-e, több idő alatt több utat tettünk meg? IGEN

SZÁZALÉK ÉS AZ ARÁNYPÁR A százalék a racionális számok (általában arányok) felírásának olyan alakja, amely a szám értékét századokban adja meg. 1% - egy szám 1 százada Teljes szám – 100% (1 egész)

A százalékok sok helyen felbukkannak A százalékok sok helyen felbukkannak. Az árak, a bérek megváltozását, az adókat, a kamatokat, és a kedvezményeket százalékokban szokás kifejezni. Nagyobb százalék nagyobb értéket eredményez (egyenesen arányos mennyiségek).

Sikeresen befejezték az évet – 95% PÉLDAFELADAT Egy iskolában a 400 tanuló közül 95% sikeresen befejezte az iskolaévet, ebből 15% kitűnő tanulmányi eredménnyel. Hány kitűnő tanuló van ebben az iskolában? Kitűnő tanulók – 15% ISKOLA – 100% Sikeresen befejezték az évet – 95%

Egy iskolában a 400 tanuló közül 95% sikeresen befejezte az iskolaévet, ebből 15% kitűnő tanulmányi eredménnyel. Hány kitűnő tanuló van ebben az iskolában? 1. lépés: Egy iskolában a 400 tanuló (100%) közül 95% sikeresen befejezte az iskolaévet. Hány tanuló fejezte be az iskolaévet? Nagyobb (kisebb) százalék nagyobb (kisebb) értéket eredményez (egyenesen arányos mennyiségek).

95% : 100% = x : 400 Ábrázoljuk az előző összefüggést! 400 tanuló 100% x tanuló 95% 95% : 100% = x : 400

95% : 100% = x : 400 100 x = 95  400 95  400 x = 100 x = 380 tanuló

Kérdés: Egy iskolában a 400 tanuló (100%) közül 95% sikeresen befejezte az iskolaévet. Hány tanuló fejezte be az iskolaévet? Válasz: Az iskolaévet 380 tanuló fejezte be.

Egy iskolában a 400 tanuló közül 95% sikeresen befejezte az iskolaévet, ebből 15% kitűnő tanulmányi eredménnyel. Hány kitűnő tanuló van ebben az iskolában? 2. lépés: A 380 tanuló 15%-a kitűnő. Hány kitűnő tanuló van ebben az iskolában? Nagyobb (kisebb) százalék nagyobb (kisebb) értéket eredményez (egyenesen arányos mennyiségek).

15% : 100% = x : 380 Ábrázoljuk az előző összefüggést! 380 tanuló 100% x tanuló 15% 15% : 100% = x : 380

15% : 100% = x : 380 100 x = 15  380 15  380 x = 100 x = 57 tanuló 19 1 2 3 15  380 x = 100 x = 57 tanuló

A 380 tanuló 15%-a kitűnő. Hány kitűnő tanuló van ebben az iskolában? Válasz: Az iskolában 57 kitűnő tanuló van.

Nézzük az előző feladatot egy másik módszerrel! Egy iskolában a 400 tanuló közül 95% sikeresen befejezte az iskolaévet, ebből 15% kitűnő tanumányi eredménnyel. Hány kitűnő tanuló van ebben az iskolában? Ha többször változik egy mennyiség, akkor ezek a mennyiségek összeszorzódnak,  mivel az újabb változás már az előző változással kapott összegre vonatkozik.

95% 15% -át a következő képpen kapjuk meg: 100 95%  15% =  = 15 1425 10000 14,25 = = 14,25%

14,25% : 100% = x : 400 Ábrázoljuk az előző összefüggést! 400 tanuló 100% x tanuló 14,25% 14,25% : 100% = x : 400

14,25% : 100% = x : 400 100 x = 14,25  400 4 1 14,25  400 x = 100 x = 57 tanuló

Egy iskolában a 400 tanuló közül 95% sikeresen befejezte az iskolaévet, ebből 15% kitűnő tanulmányi eredménnyel. Hány kitűnő tanuló van ebben az iskolában? Válasz: Az iskolában 57 kitűnő tanuló van.

ÁRENGEDMÉNY ÉS ÁRDRÁGULÁS

a) Egy ing ára 20000 forint. Mennyibe kerül 10%-os drágulás után? b) Egy ing ára 20%-os árengedménnyel 20000 forint. Mennyi volt az eredeti ára? +10% = 100% + 10% = 110% -20% = 100% - 20% = 80%

100% : 110% = 20000 : x +10% = 100% + 10% = 110% 20000 forint 100% a) Egy ing ára 20000 forint. Mennyibe kerül 10%-os drágulás után? +10% = 100% + 10% = 110% 20000 forint 100% x forint 110% 100% : 110% = 20000 : x

100% : 110% = 20000 : x 100 x = 110  20000 110  20000 x = 100 x = 22000 forint

a) Egy ing ára 20000 forint. Mennyibe kerül 10%-os drágulás után? Válasz: Az ing ára 10%-os drágulás után 22000 forintba kerül. Elemzés: Drágulás után több pénzbe kerül az ing? IGEN

80% : 100% = 20000 : x -20% = 100% - 20% = 80% 20000 forint 80% b) Egy ing ára 20%-os árengedménnyel 20000 forint. Mennyi volt az eredeti ára? -20% = 100% - 20% = 80% 20000 forint 80% x forint 100% 80% : 100% = 20000 : x

80% : 100% = 20000 : x 80 x = 100  20000 1 250 100  20000 x = 80 x = 25000 forint

b) Egy ing ára 20%-os árengedménnyel 20000 forint b) Egy ing ára 20%-os árengedménnyel 20000 forint. Mennyi volt az eredeti ára? Válasz: Az ing ára 20%-os árengemény nélkül 25000 forintba kerül. Elemzés: árengedmény után kevesebb pénzbe kerül az ing? IGEN

EGYENES ARÁNYOSSÁGGAL MEGOLDHATÓ FELADATOK 5 csoki 600 forint 8 csoki x forint

95 100 95%  15% =  = 15 1425 10000 14,25 = = 14,25%

+10% = 100% + 10% = 110% -20% = 100% - 20% = 80% ÁRENGEDMÉNY ÉS ÁRDRÁGULÁS +10% = 100% + 10% = 110% -20% = 100% - 20% = 80%

KÖSZÖNÖM A MEGTISZTELŐ FIGYELMET!