Algebrai struktúrák 1
A-t tartóhalmaznak (alaphalmaz) hívjuk. Def. Az ( A, ) pár algebrai struktúra, ha A nem üres halmaz, és az A-n értelmezett véges változós műveletek halmaza. Ha tehát , akkor egyértelműen létezik olyan n N0, melyre : An A függvény. A-t tartóhalmaznak (alaphalmaz) hívjuk. Def. Legyen ( A, ) algebrai struktúra, ha az n0 , n1 , ..., ni, ... nullér, unér, stb. véges változós műveletek halmaza, akkor (n0 , n1 , ..., ni, ... ) az ( A, ) algebrai struktúra típusa. 2
A (0, 0, 1, 0, ... ) típusú algebrai struktúrákat grupoidnak hívjuk. 3 Def. Az ( G, ) binér műveletes algebrai struktúrában a műveletet asszociatívnak nevezzük, ha minden a, b, c G esetén a(bc) = (ab)c kommutatív a műveletet, ha minden a, b G esetén ab = ba. reguláris, ha minden a, b, c G esetén ac = bc -ből következik, hogy a = b, valamint ca = cb -ből következik, hogy a = b. A (G, ) algebrai struktúra félcsoport, ha egyetlen kétváltozós műveletet tartalmaz, amely asszociatív.
Tétel (Általános asszociativitási törvény). 4 Ha (G, ) félcsoport, akkor minden szorzat tetszőlegesen bontható zárójelekkel két részre: (a1a2...ak )(ak+1...an ) = a1a2...an minden 1 k < n esetén. semleges elem Def. A (G, ) félcsoportban az eb G bal oldali egységelem, ha minden a G esetén eba = a. ej G jobb oldali egységelem, ha minden a G esetén aej = a. Az e egységelem, ha egyszerre bal és jobb oldali egységelem.
G félcsoport a mátrixszorzással, továbbá baloldali egységelem: 5 Példa. G félcsoport a mátrixszorzással, továbbá baloldali egységelem: végtelen sok van! ahol x + y = 1, hiszen
aj G jobbinverze, ha aaj = e. Def. Legyen a (G, ) félcsoportban e egységelem. Az a G elemnek ab G balinverze, ha aba = e, aj G jobbinverze, ha aaj = e. Inverze a-nak az a’ elem, ha aa’ = a’a = e. G a (G, ) félcsoportban eb baloldali egységelem. Az a G elemnek ab G az eb-re vonatkoztatott balinverze, ha aba = eb, illetve az eb-re vonatkoztatott jobbinverze, ha aab = eb. Hasonlóan definiáható a bal- és jobbinverz fogalma jobboldali egységelemre. 6
Tétel(egységelem és inverz unicitása) 7 Tétel(egységelem és inverz unicitása) Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik. Biz. Legyen (G, ) félcsoport, eb bal oldali, ej pedig jobb oldali egységelem G-ban. Ekkor eb = ej, hiszen ebej = ej és ebej = eb, mert eb bal-, ej jobb oldali egységelem. Asszociatív tulajdonság Függvény egyértelmű! Ha az a G elemnek ab balinverze, aj pedig jobbinverze, akkor ab = aj: abaaj = ab(aaj) = abe = ab és abaa j= (aba)aj = eaj = aj.
Def. A (H, ) félcsoport csoport, ha 1. létezik benne e egységelem, és 2. minden a H elemnek létezik erre az egységelemre vonatkozó a–1 inverze : a–1a = aa–1 = e. Def. Abel-csoportnak nevezzük a kommutatív csoportokat. 8 Példa.
Ha G csoport, g G, n N+, akkor legyen Hatványozás egész kitevővel Ha G csoport, g G, n N+, akkor legyen Érvényesek g, h G és m, n Z -re: gm+n = gm gn és (gm)n = gmn ha g, h felcserélhető, akkor (g h)m = gm hm Additív írásmód esetén: (m + n)g = mg + ng, m(ng) = (mn)g és n(g + h) = ng + nh 9
Integritási tartomány Gyűrű Egységelemes Nullosztó mentes Kommutatív Integritási tartomány Egységelemes integritási tartomány 10
Gyűrűk 11 Def. Az (R; +, ·) algebrai struktúra gyűrű, ha + és · R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ·) félcsoport, és III. teljesül mindkét oldalról a disztributivitás, vagyis a(b+c)=ab+ac, (b+c)a=ba+ca minden a, b, c R esetén. Kommutatív a gyűrű, ha a szorzás kommutatív. Az additív csoport egységelemét a gyűrű nullelemének nevezzük és 0-val jelöljük.
Nullgyűrű: egyetlen elemből áll (nullelem). Egységelemes a gyűrű, ha a szorzásra vonatkozóan van egységelem (amit e-vel vagy 1-gyel jelölünk). Nullgyűrű: egyetlen elemből áll (nullelem). Zérógyűrű: ha tetszőleges két elem szorzata a nullelem. Lemma(szorzás nullelemmel) Legyen 0 az R gyűrű nulleleme. Ekkor a0 = 0a = 0 a R esetén. Biz. a(0+0) = a0 disztributivitás, +0 a0 + a0 = a0 + 0 + regularitása a0 = 0 12
Lemma(előjelszabály) 13 Legyen R gyűrű, és a, b R. Az a elem additív inverzét jelöljük –a-val. Ekkor –(ab) = (–a)b = a(–b) és (–a)(–b) = ab. Biz. ab additív inverze létezik, mert (R, +) csoport. ab + (– (ab)) = 0, valamint ab + (–a)b = (a + (–a))b = 0b = 0 –(ab) = (–a)b –(ab) = a(–b) hasonlóan. (–a)(–b) + (–a)b = (–a)((–b) + b) = 0 = ab + (–a)b.
3.1.20. 14
15 Biz.
16
Észrevétel: Ha (R*; ) nemüres félcsoport R nullosztómentes . Def. Az R gyűrűben a R bal oldali nullosztó, ha a 0 és létezik b 0, b R, melyre ab = 0, ekkor b jobb oldali nullosztó, (a, b nullosztó pár). Ha a R bal és jobb oldali nullosztó is, akkor nullosztónak nevezzük Def. A legalább két elemű gyűrűt nullosztómentes gyűrűnek nevezzük, ha nincsen benne nullosztó. Észrevétel: Ha (R*; ) nemüres félcsoport R nullosztómentes . Lemma(nullosztó és regularitás) Legyen a az R gyűrű eleme, a 0. ab = ac b = c akkor és csak akkor teljesül minden b, c R esetén ha a nem bal oldali nullosztó. 17
(ac) mindkét oldalhoz ab + ((ac)) = 0 Biz. 1. Tfh a 0, a nem bal oldali nullosztó és ab = ac. (ac) mindkét oldalhoz ab + ((ac)) = 0 előjel szabály ab + (a(c)) = a(b + (c)) = 0 a nem nullosztó b + (c) = 0 b = c 2. a bal oldali nullosztó, tehát a 0 és létezik b 0, mellyel ab = 0. tetszőleges c R-re ac = ac adjuk a jobb oldalhoz az ab = 0-t ac = ac + ab, disztributivitás ac = a(c+b) mert b 0 c c + b. 18
Def. A legalább két elemű, kommutatív, nullosztómentes gyűrűt integritási tartománynak nevezzük. Def. (R; +,) integritási tartomány rendezett integritási tartomány, ha R rendezett halmaz és 19
3.1.22. Biz. (1’) (1) trivi, (2’) (2), mert x0 = 0y = 0. tfh (1) teljesül, ekkor x < y x y x + z y + z, továbbá regularitás miatt x + z y + z x + z < y + z tfh (2) teljesül, ekkor x, y > 0 x, y 0 xy 0, továbbá nullosztómentesség miatt xy 0 xy > 0 20
3.1.23. 21
x > 0 0 = –x + x > –x + 0 = –x Biz. x > 0 0 = –x + x > –x + 0 = –x 22 x < 0 0 = –x + x < –x + 0 = –x (1) kész x < y és z > 0 y – x > x – x = 0 (y – x)z > 0 yz = (y – x)z + xz > 0 + xz = xz (2) kész x < y és z < 0 –((y – x)z) = (y – x)(–z) > 0 (y – x)z < 0 yz < xz (3) kész x > 0 x2 > 0, x < 0 –x > 0 x2 = (–x )2 > 0 (4) kész tfh 0 < x < y y(1/y) = 1 > 0 1/y > 0, 1/x > 0 hasonlóan (2) x < y és (1/x)(1/y) > 0 x (1/x)(1/y) < y(1/x)(1/y) 1/y < 1/x
Integritási tartomány Gyűrű Nullosztómentes Kommutatív Egységelemes Integritási tartomány Egységelemes integritási tartomány Gauss-gyűrű (UFD) Főideál gyűrű Ferdetest Euklidészi gyűrű Test 23