JELENÉRTÉKSZÁMÍTÁS-TECHNIKA

Kiindulás Az eddigi, „tankönyvi” megközelítés: Most megnézzük: Éves pénzárambecslés A pénzáramok mindig az év végén következnek be Így a pénzáramok időzítése rögzített A pénzáramok időtartama (pontosabban a profil végpontja) adott ~ várható élettartam szerinti számítás Most megnézzük: Időben folytonos pénzáramprofil Bizonytalan időzítésű pénzáram Bizonytalan időtartamú pénzáramprofil

Időben folytonos pénzáramprofil (I.) Ha a pénzáram az idő folytonos függvénye, F(t): Egy adott időszak pénzárama integrálással számítható:

Időben folytonos pénzáramprofil (II.) Folytonos pénzáramprofil tipikus példája: F(t) = Cejt ~ az ismerős annuitásunk Ahol C egy konstans, j pedig a (folytonos) növekedési ütem Vezessük be a folytonos hozamot, ill. diszkontrátát, r-t: rt = ln(Ft/Ft–1), és Ft+n = Ftern Ami alapján a diszkontálás: P = Fne–rn, illetve folytonos időben P = F(t)e–rt A kapcsolat a diszkrét rátával, i-vel:

Időben folytonos pénzáramprofil (III.) Egy időben folytonos pénzáramprofil jelenértékét integrálással határozhatjuk meg: Probléma: sok esetben nincs megoldás zárt alakban (a függvény nem integrálható) Ilyenkor numerikus módszerekkel (pl. trapéz) lehet közelíteni a jelenértéket Példa: F(t) = Cejt, ekkor:

Időben folytonos pénzáramprofil (IV.) Megjegyzés: diszkrét rátával is integrálhatunk és ugyanazt kapjuk, csak diszkrét rátával kifejezve: Nézzük meg az előző cash flow függvényre: Kihasználva, hogy r = ln(1+i) Kicsit bonyolultabb ugyan a képlet, illetve a primitív függvényt is nehezebb kitalálni

Bizonytalan időzítésű pénzáram (I.) Egy pénzáram bekövetkezési időpontja bizonytalan lehet → a bekövetkezési időpont, és így a pénzáram jelenértéke is, valószínűségi változó → várható jelenértéket kell számolnunk Egy egyszeri pénzáram jelenértéke: Mivel az időzítés eloszlása jellemzően folytonos, használjunk folytonos diszkontrátát (használhatnánk egyébként diszkrétet is, lásd korábbi megjegyzés) A várható érték definíciója alapján a jelenérték várható értéke: Ahol fP(P) a jelenérték sűrűségfüggvénye

Bizonytalan időzítésű pénzáram (II.) Mi viszont csak az időzítés bizonytalanságát (sűrűségfüggvényét) ismerjük, azaz ft(t)-t Belátható viszont, hogy: Ha F sztochasztikusan független t-től, akkor kiemelhető az integráljel elé Belátható az is, hogy ez a probléma ekvivalens egy olyan pénzáramprofil diszkontálásával, aminek alakja az időzítés sűrűségfüggvénye

Bizonytalan időzítésű pénzáram (III.) Példa: F pénzáram valamikor az 1. periódus vége és a 3. periódus vége között következik be, az egyes időpontokban egyforma valószínűséggel → folytonos egyenletes eloszlás: t ~ U[1,3] A sűrűségfüggvény ft(t) = 1/2, ha t ϵ [1,3], és 0 egyébként Ez a sűrűségfüggvény definíciójából következik, miszerint: Feltesszük, hogy F független t-től A várható jelenérték ezek alapján:

Bizonytalan időzítésű pénzáram (IV.) Megjegyzés: Taylor-soros közelítés alkalmazható, ha az eloszlás pontosan nem ismert (Young és Contreras, 1975) Az e-rt másodrendű Taylor-sora a t = a helyen: A várható jelenérték a = E(t) körüli sorral: Látszik, hogy miért nem helyes egyszerűen a várható időzítés E(t) szerint számolni…

Bizonytalan időzítésű pénzáram (V.) Előző példára (folytonos egyenletes eloszlás t ~ U[1,3]), legyen F = 100 és r = 20%: E(t) = (1+3)/2 = 2 V(t) = (3-1)2/12 = 1/3 A várható időzítés szerinti E(P) = 100*e-0,2*2 = 67 A közelítő E(P) = 100*e-0,2*2 * (1+1/2*0,22*1/3) = 67,5 A pontos E(P) = 67,5 (a III. dián lévő képletből) Kis diszkontráta és főleg kicsi variancia esetén jók a közelítések, de nagy variancia esetén már nem feltétlenül…

Bizonytalan időzítésű pénzáram (VI.) Példa: villámkár: 100 mFt, villámbecsapódás exponenciális eloszlású, várható értéke: 10 év/km2 a gyárunk környékén, gyár veszélyeztetett területe: 200 m x 200 m, r = 5% (éves) – mennyit érdemes villámvédelemre költeni? Megoldás: Gyárterület nagysága: 200*200 = 0,04 km2 Villámcsapás valahol a gyárterületen: 10/0,04 = 250 év Az eloszlás paramétere: λ = 1/θ = 1/250 = 0,004 (variancia: 2502) Várható időzítés szerinti jelenérték: P = 100*e-0,05*250 = 373 Ft Sűrűségfüggvény: ft(t) = λe-λt, ha 0 ≤ t, és 0 egyébként → Pontos várható jelenérték: E(P) = 7,41 mFt Taylor-sorral: E(P) = 373 * (1+1/2*0,052*2502) = 29.514 Ft

Bizonytalan időtartam (I.) Mi van akkor, ha a profil végidőpontja (T) bizonytalan, azaz valószínűségi változó? Most is folytonos rátát használunk π(T) jelöli a profil T-től függő jelenértékét Ugyanez a logika bizonytalan kezdőidőpontú profilok esetén A kezdő- és végpont egyszerre is lehet bizonytalan, akkor még egy integrálás kell…

Bizonytalan időtartam (II.) Példa: Adott egy C értékű, a 0. periódustól kezdődő folytonos annuitás, melynek végpontja (T) exponenciális eloszlást követ λ paraméterrel Az exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye: fT(T) = λe-λT, ha 0 ≤ T, és 0 egyébként A T-től függő profil jelenértéke: A bizonytalan végpontú profil várható jelenértéke:

Bizonytalan időtartam (III.) Mekkora probléma, ha a várható élettartamig (E(T)) számolunk? [ld. Andor és Dülk, 2013) Ekkor a jelenérték általános alakja: A vizsgálathoz vezessük be a relatív hibát: Nézzük azt a tipikus esetet, hogy F(t) = Cejt és T exponenciális eloszlású, ekkor:

Bizonytalan időtartam (IV.) Feltesszük, hogy j, r és C nem sztochasztikusak (konstansok, így függetlenek is T-től) A „tankönyvi” és a pontos jelenértékek ekkor: Alkalmazva az exponenciális eloszlás momentum- generáló függvényét, a pontos jelenérték képlete:

Bizonytalan időtartam (V.) Ahol E(T) = θ = 1/λ A relatív hiba pedig: Ami visszavezethető egyetlen változóra az x = θ(r – j) helyettesítéssel: Lokális maximuma van x ≈ 1,79-ben, ahol ε ≈ 29,84%

Bizonytalan időtartam (VI.) Bármely várható élettartamra elérhető a lokális hibamaximum! Megj.: ha θ →∞ (és r > j), akkor ε → 0; és θ(r – j) > -1 kell, különben E(P) = ∞

Bizonytalan időtartam (VII.) Néhány jellegzetes értékre (δ = r – j) „Nagyobb várható élettartam (vagy rátakülönbség), nagyobb hiba”

Gyakorló példák Mekkora a várható jelenértéke az alábbi pénzáram(profiloknak)? (r=24%) C1 = –15 pénzáram bizonytalan t időzítéssel, ahol t ~ U[0 év, 1 év] folytonos egyenletes eloszlással (-13,34) C2 = 10 paraméterű pénzáramprofil C2t alakban, mely t = 1 évtől t = 3 évig tart (11,50) [xeax primitívje: eax(ax – 1)/a2] C3 = 20 paraméterű folytonos annuitás, mely t = 3 évtől t = 10 évig tart (33,00) C4 = 20 és j = 0,5 paraméterű exponenciálisan csökkenő pénzáram C4e–jt alakban, mely t = 10 évtől a végtelenségig tart (2,45) C5 = –6 paraméterű folytonos annuitás t = 10 év kezdőponttal és bizonytalan T végponttal, ahol T ~ E[λ] exponenciális eloszlással és λ = 0,1 (-1,6)

Bizonytalan időtartam (VIII.) Nézzük meg a diszkrét esetet: Konkrétan az előbbi folytonos eset diszkrét párjára: növekvő annuitás + geometriai eloszlású végpont

Bizonytalan időtartam (IX.) Alkalmazva a geometriai eloszlás valószínűségi generátorfüggvényét (E(N) = η = 1/α): A feltétel (hogy E(P) < ∞): Itt a hibafüggvény nem vezethető vissza egyetlen változóra (csak kettőre)

Bizonytalan időtartam (X.) A folytonos esetre tett megállapítások nagyrészt itt is érvényesek… [y = (1 + g)/(1 + i)]