Szerkezetek Dinamikája 2. hét: Rudak gerjesztett rezgései. Rúdon mozgó erőkkel való gerjesztés.

Irodalom BSc: Györgyi József Dinamika, Műegyetemi kiadó 2007. MSc: Györgyi József Szerkezetek dinamikája, Műegyetemi kiadó 2006. https://www.me.bme.hu/hu/teaching

Egyszabadságfokú rendszer gerjesztése Harmonikus gerjesztés Harmonikus erővel gerjesztett csillapítatlan rezgés inhomogén differenciálegyenlete: 𝑚 𝑥 𝑡 +kx 𝑡 =𝑞sin 𝜔𝑡 Az inhomogén differenciálegyenlet megoldása a homogén egyenlet általános és az inhomogén egyenlet partikuláris megoldásának összegeként kapható. A homogén egyenlet megoldása megegyezik a csillapítás nélküli esetben kapott megoldással: 𝑥 𝑡 =𝐴cos 𝜔 0 𝑡 + 𝐵sin 𝜔 0 𝑡 A partikuláris megoldás: 𝑥 𝑔 𝑡 = 𝑥 𝑔 0 sin 𝜔𝑡 𝑘−𝑚 𝜔 2 𝑥 𝑔 0 =𝑞

Egyszabadságfokú rendszer gerjesztése Harmonikus gerjesztés 𝑥 𝑔 𝑡 = 𝑞 𝑘 sin 𝜔𝑡 1 1− 𝜔 𝜔 0 2 𝑥 𝑡 = 𝐴cos 𝜔 0 𝑡 +𝐵sin 𝜔 0 𝑡 + 𝑞 𝑘 sin 𝜔𝑡 1 1− 𝜔 𝜔 0 2 Az A és B állandókat a kezdeti feltételekből határozhatjuk meg: 𝑡= 0 –nál 𝑥= 𝑥 0 és 𝑥 = 𝑣 0 𝑥 𝑡 = 𝑥 0 sin 𝜔 0 𝑡 + 𝑣 0 𝜔 0 cos 𝜔 0 𝑡 + 𝑞 𝑘 [sin 𝜔𝑡 − 𝜔 𝜔 0 𝑠𝑖𝑛 𝜔 0 𝑡 ] 1 1− 𝜔 𝜔 0 2 Az első két tag a csillapítás miatt rövid idő alatt megszűnik, és a továbbiakban az inhomogén rész lesz az állandósult rezgés tetszőleges kezdeti feltétel esetén is.

Egyszabadságfokú rendszer gerjesztése Harmonikus gerjesztés A 𝑞 𝑘 egy eltolódást jelent, melyet a gerjesztő erő maximuma okozna statikus teherként. Az 1 1− 𝜔 𝜔 0 2 kifejezés az erő dinamikus hatását mutatja. 𝜇= 1 1− 𝜔 𝜔 0 2 rezonanciatényező A rezonanciatényező kizárólag az 𝜔 𝜔 0 hányadostól, vagyis a gerjesztő erő körfrekvenciájának és a rendszer sajátkör- frekvenciájának a hányadosától függ.

Egyszabadságfokú rendszer gerjesztése Harmonikus gerjesztés Ha 𝜔< 𝜔 0 , akkor 𝜔 𝜔 0 <1 és 𝜇>1. Ahogy az 𝜔 𝜔 0 értéke közeledik az 1-hez, a 𝜇 és vele együtt a rezgés amplitúdója rohamosan nő. Ha 𝜔> 𝜔 0 , akkor 𝜔 növekedésével 𝜇 aszimptotikusan közeledik 0-hoz. Ez azt jelenti, hogy ha 𝜔 sokkal nagyobb 𝜔 0 -nál, a gerjesztő erő igen kis amplitúdójú rezgéseket okoz. Az 𝜔= 𝜔 0 eset a rezonancia. A számításokban ezt az esetet kizárjuk, mert ilyenkor 0-sal kell osztani. 𝜇= 1 1− 𝜔 𝜔 0 2

Egyszabadságfokú rendszer gerjesztése Rezonancia Az 𝑥 0 = 𝑥 0 =0 kezdeti feltételhez: „Lépést válts!”

Egyszabadságfokú rendszer gerjesztése Lebegés Az 𝜔= 𝜔 0 egybeesés a valóságban nem szokott kialakulni, sokkal valószínűbb az 𝜔 𝜔 0 ≈1 érték. Ekkor igazolható, hogy Az anyagi pont amplitúdója periodikusan változik.

Speciális eset: Állandó nagyságú erővel gerjesztett csillapítatlan rezgés 𝑚 𝑥 𝑡 +kx 𝑡 =𝑞 𝑥 𝑞 = 𝑞 𝑘 𝑥 𝑡 = 𝐴cos 𝜔 0 𝑡 +𝐵sin 𝜔 0 𝑡 + 𝑞 𝑘 Az A és B állandókat a kezdeti feltételekből határozzuk meg: 𝑡=0, 𝑥 0 = 𝑣 0 =0 𝑥 𝑡 =− 𝑞 𝑘 cos 𝜔 0 𝑡 + 𝑞 𝑘 = 𝑞 𝑘 1−cos 𝜔 0 𝑡 ±1 között mozog

Harmonikus erővel gerjesztett csillapított rezgés A differenciálegyenlet: 𝑚 𝑥 𝑡 +c 𝑥 𝑡 +kx 𝑡 =𝑞sin 𝜔𝑡 A partikuláris megoldás: 𝑥 𝑔 𝑡 = 𝑥 𝑔 0 sin 𝜔𝑡−𝜑 alakban keressük, ahol 𝜑= arctg 𝑐𝜔 𝑘−𝑚 𝜔 2 fáziskésés rezonanciatényező

Rezonanciatényező Eszményi csillapítás: 𝑐= 2𝑘𝑚 𝑐= 2𝑘𝑚 𝜇= 1 1− 𝜔 2 𝜔 0 2 2 + 2𝑘𝑚 𝜔 2 𝑘𝑚 𝜔 0 2 = 1 1+ 𝜔 4 𝜔 0 4 A rezonanciatényező maximuma: 𝜔= 𝜔 0 𝜇 max = 1 𝑐 2 𝑘𝑚 = 𝑘𝑚 𝑐 = 𝑚 𝜔 0 𝑐 Szerkezeti csillapítás: 𝑐=𝛾 𝑘𝑚 𝜇= 1 1− 𝜔 2 𝜔 0 2 2 + 𝛾 2 𝜔 2 𝜔 0 2 és 𝜇 max = 1 𝛾

A fáziskésés 𝜑= arctg 𝑐𝜔 𝑘−𝑚 𝜔 2 =arctg 𝑐𝜔 𝑘 1− 𝑚 𝑘 𝜔 =arctg 𝑐𝜔 𝑘 1− 𝜔 2 𝜔 0 2 Látható, hogy 𝜔 és 𝜔 0 arányának megfelelően a rezgés iránya most is változik, de a fázis eltolódás nem ugrás- szerűen, hanem folyamatosan változik. Csillapítatlan esetben: Ha 𝜇= 1 1− 𝜔 2 𝜔 0 2 értéke pozitív, (𝜔 < 𝜔 0 ), akkor a rezgés és a gerjesztő erő azonos fázisban van, vagyis a test mozgásának iránya mindig megegyezik a gerjesztő erő irányával. Ha 𝜇 értéke negatív, (𝜔> 𝜔 0 ), akkor a test a gerjesztő erővel ellentétes fázisban, 180° fáziseltolással rezeg.

Speciális eset: Állandó nagyságú erővel gerjesztett csillapított rezgés 𝑚 𝑥 𝑡 +c 𝑥 𝑡 +kx 𝑡 =𝑞 𝑥 𝑞 = 𝑞 𝑘 𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝜌𝑡 𝐴cos 𝜔 0 ∗ 𝑡+𝐵sin 𝜔 0 ∗ 𝑡 + 𝑞 𝑘 Az A és B állandókat a kezdeti feltételekből határozzuk meg: 𝑡=0, 𝑥 0 = 𝑣 0 =0 𝑥 𝑡 = 𝑞 𝑘 1− 𝑒 −𝜌𝑡 cos 𝜔 0 ∗ 𝑡− 𝑒 −𝜌𝑡 𝜌𝑞 𝑘 𝜔 0 ∗ sin 𝜔 0 ∗ 𝑡 A maximális amplitúdó a statikus elmozdulás kétszeresénél kisebb lesz.

Kontiuumok rezgése Rúdon lévő erővel való gerjesztés A Dirac-delta függvény definíció szerint: 𝛿 𝑥− 𝑥 𝑗 = 0 ℎ𝑎 𝑥≠ 𝑥 𝑗 1 ℎ𝑎 𝑥= 𝑥 𝑗 így 0 𝑙 𝛿 𝑥− 𝑥 𝑗 d𝑥 =1 A differenciálegyenlet: A megoldás alakja: (1)

Kontiuumok rezgése Rúdon lévő erővel való gerjesztés Ezt behelyettesítve a differenciálegyenletbe: A megoldás: Az egyszabadságfokú rendszerek megoldása után a feladat megoldása az (1) szerinti összegzéssel adódik.

Gerjesztés a rúdon állandó sebességgel mozgó, állandó nagyságú erővel 𝑣 𝑟 = 𝑟𝜋 𝑙 𝐸𝐼 𝜇 = 𝜔 0𝑟 𝑙 𝑟𝜋 kritikus sebesség A legkisebb kritikus sebesség az első rezgésalakhoz tartozik. A kritikus sebesség esetén a megoldás: (rezonanciához hasonló jelenség) egyre növekszik, de csak addig nőhet, amíg a teher rajta van a tartón

Gerjesztés a rúdon állandó sebességgel mozgó, állandó nagyságú erővel 𝑡 max = 𝑙 𝑣 𝑟 Ha a számítás során csak az első rezgésalakot vesszük figyelembe és az elmozdulást a tartó közepén számítjuk Szilárdságtanból tudjuk: tehát:

Gerjesztés a rúdon állandó sebességgel mozgó, állandó nagyságú erővel ha a megoldás egyenletébe az 𝑥 helyére 𝑙/2-t a, 𝑡 helyére 𝑥/𝑣-t helyettesítünk A középső pont lehajlása az erő helyének függvényében = Dinamikus elmozdulási hatásábra

Gerjesztés a rúdon állandó sebességgel mozgó, állandó nagyságú erővel A statikus terheléstől eltérően a dinamikus terhelésnél a tartó azt követően is mozog, amikor az erő már elhagyta a tartót. Ekkor már a szabadrezgésre levezetett összefüggések az érvényesek. Szabad rezgést is tartalmazó dinamikus hatásábra

Dinamikus hatásábrák szerkezeti csillapítás esetén A szabad rezgés differenciálegyenlete: A gerjesztés inhomogén differenciálegyenlete: Csillapítatlan és csillapított rezgést is tartalmazó dinamikus hatásábra

Rezgések azonos távolságra lévő erőkből 544 kN 275 m A tartó középpontjának elmozdulása azonos távolságra lévő erők hatására

Rezgések azonos távolságra lévő erőcsoportokból 136 kN 275 m Kritikus sebesség Ugyanakkora teher megy át ugyanazon a hídon, csak más elrendezésben

Összehasonlítás 275 m