2. Koordináta-rendszerek és transzformációk 2.1. Koordináta-rendszereink 2.2. Az egyenes és sík egyenlete 2.3. Affin transzformációk 2.4. Projektív transzformációk

Mire jó nekünk az analitikus geometria? Geometriai modell: pontok, vonalak, felületek – testek Átalakítások: geometriai számítások transzformációk Rajzolás: geometrikus képek; vetületek - transzformációk API 2009.08 602

2.1. Koordináta-rendszereink A Descartes-féle derékszögű koordináták Polár-koordináták Gömbkoordináták, henger-koordináták Baricentrikus koordináták Homogén koordináták

a Descartes-féle (ferdeszögű) KR Egy KR-t meghatároz: - egy pont (origó, kezdőpont) - a rajta átmenő 3 (2) irányított egyenes (tengelyek), amelyek kifeszítik a teret (a síkot), - és a tengelyeken kijelölt egység Egy pont helyének megadása: 3(2) koordinátájával: P = (x, y, z)T // vagy (x, y, z) a pont vetülete egy tengelyre a másik két tengely síkjával párhuzamosan

DKR (a Descartes-féle, derékszögű KR) Kijelöli 5 „pont”: O, X, Y, Z, E Pontok: P = (x, y, z)T = ⌠ x | │ y │ │ z │ kétféle irányítás: jobbsodrású (jobbos, jobbkezes), +Z felől nézve: X  Y : „CCLW” balsodrású (balos, balkezes)

A síkban: Kijelöli 4 „pont”: O, X, Y, E Pontok: P = (x, y)T = │x│ │y│ kétféle irányítása: jobbsodrású (jobbos, jobbkezes), X tengely  Y tengely: „CCLW” balsodrású (balos, balkezes)

Síkbeli polárkoordináták (ti) kezdőpont, a polár-tengely, a pozitív elfordulás iránya. P = ( r,  ); ( 0 r ), ( 0 < 2).

Síkbeli polárkoordináták (ti) PK  DK x = r  cos , y = r  sin  DK  PK r = x2+y2 és  = arctan( y / x ), ha x  0 és x  0 = 0, ha y = 0 és x > 0 = , ha y = 0 és x < 0 =  /2, ha x = 0 és y > 0, ill. y<0 = meghatározatlan, ha x=y=0 (a kezdőpont).

Gömbkoordináták, henger-koordináták (ti) alapsík, benne PKR és a Z tengely, gömbkoordináták: P = (r, , ); r: 0 r : polárszög; <2 az alapsíkban) azimut; 0  vagy -/2 /2

Gömbkoordináták, henger-koordináták (ti) henger-koordináták: ( r, , z ) PK  DK x =  cos  = r  sin   cos ; y =  sin  = r  sin   sin , z = r  cos    = r  sin = x2+y2, (az alapsíkban) DK  PK : . . .

Pontrendszer súlypontja (olv) p1,m1 p2,m2 p3,m3 M i = 1,2,…,n; tömegpontok Pi pont, pi , helyvektor, mi tömeg A pontrendszer súlypontja: a pontok súlyozott összege; M = (  mi · pi ) /  mi M =  (i · pi ); i = mi /  mi ; 0 < i < 1;  i = 1 Adott pi alappontok esetén más-más mi súlyokhoz, más-más súlypont A i súlyok arányosan változtathatók !

Baricentrikus koordináták a0, a1, a2 , a3  E 3 ; 4 pont kifeszíti az 3 dimenziós teret E 3 –ben minden x ponthoz egyértelműen: {0, 1, 2, 3} valósak: x = 0a0 +1a1 + 2a2 + 3a3;  i=1 Súlyozott összeg, a súlyok összege 1. (lehetnek negatívok is) {i}: az x-nek {ai}-re vonatkozó baricentrikus koordinátái

Baricentrikus koordináták x = 0a0 +1a1 +…+ nan;  i=1 Súlyozott összeg, a súlyok összege 1. {i} homogén jellegű koordináták: {'i}  {h  i} ;h  0 ugyanaz a pont Ha egy P pont baricentrikus koordinátái pozitívak, P az alappontok konvex burkán belül van. Tömegpontok súlypontja is

Homogén koordináták Az E 2 egy „inhomogenitása” Az euklideszi tér kibővítése Homogén koordináták „Homogén terünk” szerkezete Homogén  Descartes koordináták Descartes  Homogén koordináták A sík homogén koordinátás egyenlete Miért használunk homogén koordinátákat?

Az E 2 egy „inhomogenitása” Az a egyenes pontjait K-ból vetítjük az x egyenesre. F’ = ? Legyen !! Az E 2 kibővítése: - minden egyenesnek legyen még egy pontja, - neve: „az egyenes ideális pontja”, (fernpunkt) - párhuzamosok ideális pontja megegyezik: az egyenesek állása, - egy sík ideális pontjai a sík ideális egyenesén vannak.

A kibővített euklideszi sík Az E 2 projektív lezárása (a „kibővített sík”); (projektív sík egy kitüntetett egyenessel.) „a homogén sík”: H 2 = E 2  I 2 [„homogén sík” és „ H 2” jelölés csak KG] A projektív síkban: bármely két pont meghatároz egy egyenest bármely két egyenes meghatároz egy pontot …

A kibővített euklideszi tér Az E 3 projektív lezárása (a „kibővített tér”); „a homogén tér”: H 3 = E 3  I 3. („homogén tér”, „ H 3” csak KG) H 3 : P 3 (projektív tér) egy kitüntetett ideális síkkal A projektív térben: bármely 3 pont meghatároz egy síkot bármely 3 sík meghatároz egy pontot . . .

A kibővített euklideszi tér Egyenes: közönséges pontjai + 1 ideális pont egy egyenes ideális pontja: az egyenes „állása”: , úgy, hogy: párhuzamosok ideális pontja (állása) megegyezik; egy sík ideális pontjai egy egyenesen vannak, ez „a sík ideális egyenese”, (a sík „állása”) párhuzamos síkok ideális egyenese (állása) megegyezik, a tér ideális elemei (pontok, egyenesek, síkok) egy síkban vannak; „a tér ideális síkja”

Homogén koordináták A tér (közönséges részének) egy derékszögű KR-ében O : közönséges pont; belőle X, X, Z tengelyek P = (x, y, z)  „homogén koordináták” : P = (x, y, z)  [x, y, z, 1]  h  [x, y, z, 1] =  [ h  x, h  y, h  z, h ]; h0 Arányos számnégyesek ekvivalencia-osztálya (!) Figyelem: [ x, y, z, w ]  h  [ -x, -y, -z, -w ] !!

Homogén koordináták A v = (x, y, z) állású egyenesek ideális pontja: Iv = [ x, y, z, 0 ]; a pont „homogén alakja”, illetve: Iv = [ x, y, z, 0 ]  h  [ x, y, z, 0 ] =  [ hx, hy, hz, 0 ]; h0

Áttérés a homogén alakra és vissza A feladat adatai: DKR-ben: Számítások DKR-ben, de közben: Ha kell („kényes” műveletek előtt): áttérés homogén alakra: (x, y, z)  [x, y, z, 1] „kényes” műveletek homogén alakban; utána az eredmények „szűrése” (ideális pontok kizárása) visszatérés DKR-be (projektív osztás): [x1, x2, x3, x4]  (x1 / x4, x2 / x4, x3 / x4). Az eredmények értékelése DKR-ben.

Vissza: Descartes koordinátákra H3 [x1, x2, x3, x4] pontjának  : ha x4 0, akkor ez közönséges pont : [x1, x2, x3, x4]  [x1/x4, x2/x4, x3/x4, 1]  (x1 /x4, x2 /x4, x3 /x4), ha x4=0, de x1,x2, x3 nem mind nulla: ideális pont, az (x1, x2, x3) irányvektor: | | egyenesek állása [0,0,0,0] nem pont (számítások eredménye nem lehet).

„Ideális pontok” E 3 = { (x, y, z) }  { [x, y, z, 1] }; x, y, z  R I 3 = { [x, y, z , 0] }; x, y, z  R H 3 = E 3 U I 3 ; a „kibővített tér”, a „homogén tér” Az euklideszi tér kibővítése: minden egyenesnek van még egy pontja: az egyenes állását jellemzi párhuzamosok ideális pontja megegyezik egy sík ideális pontjai: a sík ideális egyenesén a tér ideális pontjai: az ideális síkban

Egyenesek közös pontja

„Homogén terünk” szerkezete (olv) A valós számhármasok tere: R3 = { (x,y,z); x,y,z  R } Az arányos számnégyesek ekvivalencia-osztályai: Ax,y,z,w = { h ·[ x, y, z, w ]; h  R, h ≠ 0}; x,y,z,w  R A homogén tér: H 3 ={ Ax,y,z,w ; x,y,z,w  R } \ { [0,0,0,0] } 626

Miért használunk homogén koordinátákat? A párhuzamosok „kivételes helyzete” megszűnik. A mátrix szorzás egységes formalizmusa (eltolás!) transzformációk egymásutánja: mátrixuk szorzata A középpontos vetítés számolható a pontok homogén koordinátáival és 4x4-es mátrixal