IV. konzultáció Analízis Differenciálszámítás II.

Elemi függvények deriválása Definíció. Legyen . Ha az f függvény előállítható az x, exp és sin függvényekből a következő műveletek véges sokszor történő alkalmazásával, akkor f-et elemi függvénynek nevezzük. 1./ Állandóval való szorzás 2./ Összeadás, szorzás 3./ Reciprokképzés 4./ Nyílt halmazra való leszűkítés 5./ Olyan, intervallumra vonatkozó leszűkítés invertálása, ahol a derivált függvény nem veszi fel a 0 értéket. 6./ Kompozíció.  

Elemi függvények deriválása Trigonometrikus függvények deriválása   Tétel. Bizonyítás: előadáson.

Elemi függvények deriválása Exponenciális függvények deriválása   Tétel. Speciális eset: Bizonyítás: előadáson Implicit alakban adott függvények deriválása: (példákon keresztül)

Elemi függvények inverzeinek deriválása Arkuszfüggvények deriválása: Tétel. Bizonyítás: előadáson

Logaritmikus deriválás Logaritmikus deriválás : típusú függvények deriválása és a deriválás elvégezhető, vagy és implicit alakban adott függvényként deriváljuk.

Magasabbrendű deriváltak Definíció. Legyen . Tegyük fel, hogy , mely esetén létezik az f függvény -nel jelölt deriváltja. Azt mondjuk, hogy az f függvény (n + 1)-szer deriválható az a pontban, ha létezik az .

Függvényvizsgálat Tétel. Legyen , differenciálható az intervallumon. 1./ Ha esetén , akkor f az -n monoton növekedő, 2./ Ha esetén , akkor f az -n monoton csökkenő. Bizonyítás: nincs.

Függvényvizsgálat Tétel. Legyen és . Ha és az függvénynek az a helyen (-, +) előjelváltása (vagy. (+, -) előjelváltása) van, akkor f az a pontban lokális minimumot (maximumot) vesz fel. Bizonyítás: nincs. Megjegyzés . A tételt szokás a lokális minimumra (maximumra) vonatkozó elsőrendű, elégséges feltételnek nevezni.

Függvényvizsgálat Tétel. Legyen és . Tegyük fel, hogy f kétszer differenciálható az a pontban és , továbbá ; . Ekkor az f az a helyen lokális minimumot (maximumot) vesz fel. Bizonyítás: nincs. Definíció. Legyen I  R. Azt mondjuk, hogy az f : I  R függvény alulról konvex (konkáv), ha   I esetén az és pontokat összekötő egyenes szakasz (húr) egyetlen pontja sincs a függvény grafikonja alatt (fölött).

Függvényvizsgálat Tétel. Legyen f: I  R, I  R, f kétszer deriválható I-n. Az f a. cs. a. konvex (konkáv) I-n, ha x  I esetén ( ). Bizonyítás. Nincs Az f –nek az a  I pontban inflexiós pontja van, ha 1./ (szükséges feltétel) 2./ az a környezetében előjelváltó. (elégséges feltétel)

Teljes függvényvizsgálat (Függvénydiszkusszió) A teljes függvényvizsgálat lépései: 1./ Az értelmezési tartomány megadása 2./ Paritás vizsgálat 3./ Határértékek az értelmezési tartomány „szélein” 4./ Zérushelyek 5./ Monotonitás-vizsgálat, lokális szélsőértékek meghatározása 6./ Görbületi jelleg, inflexiós pontok meghatározása 7./ A függvény grafikonjának felvázolása 8./ Az értékkészlet megadása