Logika előadás 2017 ősz Máté András mate.andras53@gmail.com Konzultáció: K 13:00-14:00, P 13:00-14:00 Honlap: http://phil.elte.hu/mate/logea/logea.html Tananyag: Barwise-Etchemendy, Language, Proof and Logic II. rész, a Tarski’s World program használatával, de a Fitch levezetési rendszer nélkül Az előadásban elhangzó és a diákon olvasható tudnivalók az analitikus fákról, a Ruzsa program használatával (https://ruzsa.tbitai.me/) Előfeltétel: Barwise-Etchemendy, Language, Proof and Logic I. rész, (a Fitch rendszerre vonatkozó szakaszok nélkül), + analitikus fák a kijelentéslogikában, a Ruzsa program használatával. (Ld. a honlapon levő diákat: Analitikus fák I-II.) Jegyszerzés: Feladatmegoldás (vizsgán, vagy lehet megajánlott jegyet is szerezni az előadásokon szereplő feladatok elküldésével).

Elsőrendű logika Kvantifikáció Kvantifikáció a természetes nyelv(ek)ben Determináns/kvantor: egyargumentumú predikátum  NP Például: ‘egy’, ‘sok’, ‘néhány’, ‘minden’, ‘három’, ‘huszonöt’, ‘a legtöbb’, ‘egy … sem’ Kvantifikáció-elmélet Predikátum-logika NP (noun phrase, nominális csoport): Olyan kifejezés, amely egy egyargumentumú predikátummal (VP) mondatot alkot.

A determinánsok logikai szerepe Minden medve szereti a mézet Micimackó medve Micimackó szereti a mézet A legtöbb Egy medve sem Három A következtetés helyességét befolyásolja, hogy melyik kvantort használjuk. Teljesül a témafüggetlenség is. Egyes kvantorokra teljesül az is, hogy pontosan leírható, hogyan befolyásolják az őket tartalmazó mondatok igazságfeltételeit. Ezek elfogadhatók logikai kifejezéseknek (konstansoknak).

Logikai kvantorok:‘minden’, ‘van (olyan)’ Sokszor rejtve vagy álcázva fordulnak elő: Amikor este van, lámpát gyújtok. Láttam a Vezúvot, amikor kitört. minden van olyan Természetes nyelvben: kvantor + egyargumentumú predikátum  NP A FOL-ban technikai és történeti okokból nem így megy.

Kvantorok kezelése FOL-ban Segédeszköz: individuumváltozók Szintaktikailag: individuumnevek Matematikai használat: x+y = y+x Látszólag az általánosság kifejezésére szolgál. De az általánosságot valójában a(z elhallgatott) kvantor(ok) fejezi(k) ki: Minden x-re, y-ra igaz, hogy A változó funkciója az, hogy visszautal a kvantifikáló kifejezésben való előfordulásra. Ilyen funkciója (anaforikus szerep) a természetes nyelv névmásainak szokott lenni: Jancsi integetett Juliskának, de ő/az nem vette észre. Ennyiben a változók mesterséges névmások. De a tulajdonnevekre is hasonlítanak: nincs jelentésük.

A FOL kvantifikált mondatainak szerkezete eltér a természetes nyelvtől, csak az igazságfeltételek egyeznek meg (nagyjából). A köznyelvben nincs az egyszerű kvantor-alany-állítmány alakú mondatokban igazságkonnektívum (csak kopula – ahol van). FOL-ban az ilyen mondatokban előfordul egy, a természetes nyelvben hiányzó igazságkonnektívum (egyes esetekben ̒̒’, más esetekben ̒̒’ – erről később. Konvenció: változónak az x, y, z, t, u, v betűket, illetve ezek indexezett változatait (x1, stb.) használjuk. FOL-ban végtelen sok individuumváltozó van. Ez csak annyit jelent, hogy mindig elő tudunk venni egy újat.

Természetes nyelvi mondatok FOL-beli szerkezete – néhány alappélda Vannak bicikliző medvék. Van olyan medve, amelyik biciklizik. Van valami, ami medve, amelyik/és biciklizik. Van olyan x, hogy x medve és biciklizik. Van olyan x, hogy (x medve  x biciklizik). ‘Van olyan x, hogy’: kvantifikáló (avagy kvantor-)kifejezés FOL-ban: x : egzisztenciális kvantor Mi ennek a mondatnak a szerkezete? Nincsen rózsa tövis nélkül Nem igaz, hogy (van rózsa tövis nélkül) x(x rózsa   (x tövises)) Azaz (egy kijelentéslogikából ismert ekvivalencia szerint): x (x rózsa  (x tövises)) Azaz: Minden x-re igaz, hogy ha x rózsa, akkor x tövises. Magyarul: Minden rózsa tövises. ‘Minden x-re igaz, hogy’ FOL-ban: x : univerzális kvantor FONTOS! NEM ELFELEJTENI! Az egzisztenciális kvantorral kezdődő mondatokban konjunkció, az univerzálisokban kondicionális jelent meg a kopula helyén!

(új fogalom) Terminusok: az individuumnevek és a változók együtt. Egy predikátum argumentumhelyeit innentől kezdve tetszőleges terminusokkal kitölthetjük. Ha ezek között változók is vannak, akkor olyan atomi mondatot kapunk, amelynek igazságértéke nem rögzített, hanem attól függ, a változó(k)nak milyen értéket adunk. Az ilyen mondatokat nyitott mondatnak fogjuk nevezni. Terminológiai eltérés, fontos: A könyvben wff-ekről és sentence-ekről van szó; én wff helyett mondatról, sentence helyett zárt mondatról beszélek. Az olyan mondat (wff), amely nem zárt: nyitott mondat. A nyitott mondatokra ugyanúgy alkalmazhatjuk az igazságkonnektívumokat, mint a zártakra.

A kvantifkáció igazságfeltételei FOL-ban A FOL tehát kétféle kvantifikációt ismer: Egzisztenciális kvantifikáció: xA, ahol A általában nyitott mondat, x változóval [A(x)]. De ez nem kötelező, x után tetszőleges mondat következhet. Igaz akkor, ha az x változónak tudunk úgy értéket adni, hogy A igaz legyen. Univerzális kvantifikáció: xA Ez akkor igaz, ha az A mondat x minden (megengedett, szóba jöhető) értékére igaz.

A tárgyalási univerzum Általánosan elfogadott feltevés: minden diskurzushoz, minden elmélethez hozzátartozik azoknak a dolgoknak, objektumoknak az összessége, amelyekre vonatkozik. Amikor azt mondom: ̒Mindenki levizsgázott logikából’, akkor egy csoport tagjairól beszélek és nem értem bele Augustus De Morgant. Amikor azt a tételt állítom, hogy az összeadás kommutatív, azaz x+y=y+x minden x-re és y-ra, akkor egy adott számhalmaz (pl. valós számok) elemeire gondolok, és nem tartozik x értékei közé az összeadás művelete. A szóba jöhető objektumok összességét (De Morgan nyomán) tárgyalási univerzumnak nevezzük. Két dolgot tételezünk fel róla: hogy halmaz és hogy nem üres. Mindkettő fontos, de az elsővel most nem kell törődnünk. Egy adott Tarski-féle világban a tárgyalási univerzum a világ blokkjainak halmaza. A blokknyelv mondatainak igazságértékét mindig is egy adott világhoz képest határoztuk meg. A kvantifikáció esetében is: a ̒xA’ mondatot úgy kell érteni, hogy az A mondat az adott világ minden blokkjára igaz.

A FOL szintaxisa: 0. Ha egy n-argumentumú predikátum mindegyik argumentumhelyére egy terminust írunk, a FOL egy (atomi) mondatát kapjuk (beleértve a “τ1=τ2” alakú, azonossági mondatokat). 1. Ha A mondat, akkor “A” is mondat 2-3. Ha A1, A2, … An mondatok, akkor “(A1  A2  …  An) ”, továbbá “(A1  A2  …  An)” is mondat. 4-5. Ha A és B mondatok, akkor “(A  B)” és “(A  B)” is mondatok. 6-7. Ha A mondat,  pedig változó. akkor “A” és “A” is mondatok. Kiolvasásuk: „Van olyan , amelyre igaz, hogy A”, ill. „Minden -re igaz, hogy A”.

Változók szabad és kötött előfordulásai Az ‘x egy kocka’ avagy ‘Cube(x)’ mondatban az x változó különböző értékeket vehet fel, és a mondat igazságértéke az x értékétől függ. „mondatfüggvény” (Russell) A ‘xCube(x)’ mondat igazságértéke értelemszerűen nem függ x értékétől. Akkor lesz igaz, ha van a világban olyan dolog, amit x értékének véve a ‘Cube(x)’ mondat igaz . Rövidebben: Van olyan dolog, amelyre ‘Cube(x)’ igaz. Másképp ugyanez: az illető dolog satisfies (kielégíti ) a Cube(x) wff-t (nyitott mondatot). A könyv ezt a terminológiát használja.

És lehetővé teszi, hogy a változót „ki-fogalmazzuk” a mondatból. Hasonlóképpen a ‘Larger(x, y)’ mondat igazságértéke x és y értékétől is függ. A ‘xLarger(x, y)’ mondat már nem függ az x-től. y egy értékére akkor lesz igaz, ha van olyan dolog, ami nagyobb nála. Tehát ennyit jelent: Van, ami nagyobb y-nál. A ‘yLarger(x, y)’ értéke meg y-tól nem függ. Jelentése: Van, aminél x nagyobb. Tehát a kvantifikáció megszünteti a változó szabad értékelését. Az olyan változó(előfordulás)t, amire egy kvantor vonatkozik, kötött változó(előfordulás)nak nevezzük. Ha egy változónak egy előfordulása nem kötött, akkor szabad. És lehetővé teszi, hogy a változót „ki-fogalmazzuk” a mondatból.

Szabályokban, pontos definícióval: 0. Atomi mondatokban minden változó-előfordulás szabad. 1-5. Igazságkonnektívumok alkalmazása esetén a kimenetben ugyanazok a változó-előfordulások szabadok, mint az argumentumokban. 6-7. “A”-ban és “A”-ban -nek nincs szabad előfordulása, a többi változónak ugyanazok az előfordulásai szabadok, mint A-ban. Ha egy mondatban van szabad változó-előfordulás, akkor a mondat nyitott. Ha minden változó-előfordulás kötött, akkor a mondat zárt (beleértve azokat a mondatokat, amelyekben nincsenek változók).