JELENÉRTÉKSZÁMÍTÁS-TECHNIKA

Jelenértékszámítás-technika A projekt által termelt pénzáramoknak van valamilyen időbeli lefutása, mintázata: pénzáramprofil (cash flow pattern) – ezt ábrázoltuk pénzáramlás diagramos formában Vannak „nevezetes” profilok, amikhez „nevezetes” képletek tartoznak (azaz a profil jelenértéke zárt alakban megadható) Egyéb esetekben a profil pontos jelenértéke csak körülményesen számolható – célszerű közelítésekkel élni Ezen formulák és közelítések közül tekintünk most át néhányat…

Egyszeri pénzáram Single cash flow, lump sum Egy tetszőleges N-ik periódus végén bekövetkező F pénzáram Jelenértéke, P (a már ismert kamatos kamatozás logikáját tükrözve):

Egyszeri pénzáram – példák Legalább hány periódus múlva kell, hogy befolyjon egy F = 100 összegű pénzáram, hogy jelenértéke kisebb legyen, mint 50, ha a diszkontráta 10%? Megoldás: 100/(1+0,1)N = 50, amit átrendezve: N = ln2 / ln1,1 ≈ 7,27, tehát: legalább 8 periódus (Megjegyzés: bármilyen logaritmust használhattunk volna) Mekkora diszkontráta mellett lesz egy 8 periódus múlva befolyó F = 150 összegű pénzáram jelenértéke 90? Megoldás: 150/(1+r)8 = 90, amit átrendezve: r = (150/90)1/8 – 1 ≈ 6,59%

Annuitás Annuity Egyenletes pénzáramlás-sorozat: azonos összegek minden periódus végén N perióduson keresztül Jelenértéke (vö. mértani sor összegképlete):

Annuitás – példák (I.) Mekkora egy A = 100 összegű 15 periódus hosszú annuitás jelenértéke, ha a diszkontráta 12%? Megoldás: P = 100*[(1+0,12)15 – 1]/[0,12*(1+0,12)15] ≈ 681 Legalább hány periódusig kell, hogy tartson egy A = 50 összegű annuitás, hogy jelenértéke nagyobb legyen, mint 100, ha a diszkontráta 18%? Megoldás: 50*(1,18N – 1)/(0,18*1,18N) = 100, amit átrendezve: 1 – 1,18-N = 2*0,18, amit tovább rendezve: N = -ln0,64 / ln1,18 ≈ 2,7, tehát legalább 3 periódus Melyiket választaná: ma 10 millió Ft vagy 15 éven keresztül évi 1 millió Ft, ha a diszkontráta 10%? Megoldás: 1*(1,115 – 1)/(0,1*1,115) ≈ 7,61 < 10, tehát előbbit

Annuitás – példák (II.) Legalább mekkora A összegűnek kell lenni egy 10 periódus hosszú annuitásnak, hogy jelenértéke legalább 80 legyen, ha a diszkontráta 15%? Megoldás: A*(1,1510 – 1)/(0,15*1,1510) = 80, amiből A ≈ 16 *Egy 12 periódus hosszú A = 75 összegű annuitás jelenértéke közelítőleg mekkora diszkontráta esetén 750? Megoldás: 75*[(1+r)12 – 1]/[r*(1+r)12] = 750, átrendezve: (1+r)12 – 1 = 10*r*(1+r)12, ami egy 13-adfokú egyenlet… Ha r kicsi (≈0), akkor (1+r)12 ≈ 1+12*r (elsőrendű Taylor-sor) Így: 12*r = 10*r*(1+12*r) és mivel r ≠ 0: r = 0,2/12 ≈ 1,67% Ellenőrizzük le: 75*(1,016712 – 1)/(0,0167*1,016712) ≈ 809

Örökjáradék Perpetuity Egy annuitás, ami a végtelenségig tart Jelenértéke (az annuitás formulájának N = végtelen- ben vett határértéke):

Örökjáradék – példák Mennyi egy A = 100 összegű örökjáradék jelenértéke, ha a diszkontráta 20%? Megoldás: P = 100/0,2 = 500 Mekkora A összegűnek kell lennie egy örökjáradéknak, hogy jelenértéke 250 legyen, ha a diszkontráta 15%? Megoldás: A/0,15 = 250, amiből A = 37,5 Egy A = 25 összegű örökjáradék jelenértéke mekkora diszkontráta esetén 100? Megoldás: 25/r = 100, amiből r = 25%

Exponenciálisan növekvő pénzáramsorozat Geometric gradient series Periódusról periódusra azonos g (százalékos) ütemben növekvő pénzáramok sorozata A profilt leíró képlet: A profil jelenértéke:

Exponenciálisan növekvő… (II.) Ha az exponenciális növekedés a végtelenségig tart (~örökjáradék), akkor a jelenérték (N→∞): Példák: legyen g = 3% és r = 10%, exp. növ. sorozat Mekkora a jelenérték, ha F1 = 100 a kezdő pénzáram és 5 perióduson át tart a sorozat? Megoldás: P = 100*[1 – (1,03/1,1)5]/(0,1 – 0,03) ≈ 400 Mekkorának kell lenni F1 -nek, hogy a jelenérték 320 legyen? Megoldás: F1 ≈ 320/4 = 80

Exponenciálisan növekvő… (III.) Példák folyt. Ha F1 = 100, legalább hány periódusig kell, hogy tartson a sorozat, hogy a jelenérték nagyobb legyen, mint 500? Megoldás: 1 – 500/100*(0,1 – 0,03) = (1,03/1,1)N N ≈ ln0,65 / ln0,94 ≈ 6,96, tehát 7 periódusig Ugyanezek a kérdések, csak g = 10% Megoldások: P = 5*100/1,1 ≈ 455; F1 = 320*1,1/5 ≈ 70; N = 500*1,1/100 ≈ 5,5, tehát 6 periódusig És ha a sorozat a végtelenségig tart? Akkor g = 10%-nál a jelenérték nem létezik (végtelen) P = 100/(0,1 – 0,03) ≈ 1429; F1 = 320*(0,1 – 0,03) = 22,4

Exponenciálisan növekvő… (IV.) Példák folyt. A sorozat a végtelenségig tart. Ha F1 = 100 és r = 10%, akkor mekkora g-nél, illetve ha g = 3%, akkor mekkora r-nél lesz a jelenérték 1250? Megoldás: 100/(0,1 – g) = 1250, amiből g = 2% Hasonlóképp: 100/(r – 0,03) = 1250, amiből r = 11%

Perióduson belüli pénzáramok (I.) Intraperiod cash flow Egy előre meghatározott hosszúságú (pl. egy év) kamatperióduson (interest period) belül tetszőleges időpontban jelentkező pénzáram Az eddig tekintett profiloknál mindig csak a periódusok végén volt pénzáram A perióduson belüliség megengedésével a valóság jobban leírható – pl. egy projektnek a valóságban jellemzően év közben is vannak pénzáramai

Perióduson belüli pénzáramok (II.) Lényeges megjegyzés: a definiált kamatperiódus hossza tetszőleges lehet, így a korábban megismert profilokat értelmezhetjük éves, havi, heti, stb. szinten egyaránt – azaz éves, havi, heti, stb. felbontásban adják meg a pénzáramok alakulását Ezért is használtam az „év” helyett az általánosabb „periódus” kifejezést! Természetesen a diszkontrátát is a periódus hosszára vonatkoztatva kell megadni – pl. éves felbontású profilhoz éves diszkontráta Hogyan válthatjuk át a diszkontrátát a különböző hosszúságú periódusokra? → kamatos kamatozás logikája t és T azonos mértékegységben!

Perióduson belüli pénzáramok (III.) Példa: ha az éves diszkontráta 12%, akkor mennyi a negyedéves diszkontráta? t = 0,25 év, T = 1 év, rt = (1+0,12)0,25/1 – 1 = 2,87% t = 1 negyedév, T = 4 negyedév, rt = (1+0,12)1/4 – 1 = 2,87% Vissza a perióduson belüli pénzáram jelenértékéhez, ami a következőképp adható meg (tF a kamatperiódus mértékegységében!): Példa: mekkora egy 17 hónap múlva befolyó F = 100 pénzáram jelenértéke, ha az éves diszkontráta 20%? Megoldás: P = 100/(1+0,2)17/12 ≈ 77,24

Perióduson belüli pénzáramok (IV.) Nézzünk egy projektet „sok” perióduson belüli pénzárammal: A pontos jelenértéket úgy kapnánk, ha egyesével diszkontálnánk minden pénzáramot, majd jelenértékeiket összegeznénk Körülményes, fáradságos → célszerű közelítésekkel élni

Időzítési konvenciók (I.) Időzítési konvenciók: periódusonként aggregáljunk minden pénzáramot a periódus egy kitüntetett pontjába! Periódusvégi konvenció (end-of-period convention): a periódus minden pénzárama a periódus végére tolva, majd ezen „aggregált” pénzáramok diszkontálása Ez a klasszikus, tankönyvi eljárás, ezt csináltuk eddig mi is: csak a periódusok végén volt pénzáram Közelítésnél örök dilemma: egyszerűség, praktikusság vs. pontosság Kérdés 1: mekkora hibát véthetünk a periódusvégi konvencióval? Kérdés 2: javítható-e valamilyen egyszerű módon a periódusvégi konvenció pontossága?

Időzítési konvenciók (II.) Ismerkedjünk meg néhány más időzítési konvencióval: Periódus-eleji konvenció (beginning-of-period convention): a periódus minden pénzárama a periódus elejére tolva Periódus-közepi konvenció (mid-period convention): …közepére tolva Egy speciális időzítési konvenció: Harmonikus konvenció (harmonic convention): periódus-eleji és -végi harmonikus közepe (Andor és Dülk, 2013a) A számtani és a mértani átlagot is megvizsgáltuk már (Andor és Dülk, 2013b), de ezekkel most nem foglalkozunk… Az említett konvenciók mind előállnak a periódusvégi jelenérték (PE) egyszerű korrekciójával (ld. köv. dián)

Időzítési konvenciók (III.) A formulák: Definiáljuk a relatív hibát (ε) a következőképp: Kérdés: legyen szó bármilyen tényleges pénzáram- profilról, mekkora az elméletileg elkövethető lehetséges legnagyobb relatív hiba (LLRH)? Azaz: legyen szó bármilyen profilról, ennél nagyobb hibát biztosan nem vétünk az adott konvenció alkalmazásával

Időzítési konvenciók (IV.) Az említett konvenciókra levezethető, hogy a LLRH (εmax-szal jelölve): A sorrend igaz bármely pozitív diszkontrátára A harmonikus konvenció minimalizálja a LLRH-t! 20%-os diszkontráta esetén pl. E: 16,67%, B: 20%, M: 9,55%, H: 9,09% Látszik, hogy érdemes korrigálni H-val vagy M-mel, és a korrekció könnyen elvégezhető… < < <

Időzítési konvenciók (V.) Konkrét, a gyakorlatban előforduló pénzáramprofilokra is érdemes megvizsgálni a közelítési hibákat… Általánosságban megállapítható: a harmonikus (és a periódus-közepi) konvenció hibája jellemzően < 5% → elfogadhatóan pontosak PE mindig alulbecsül: jó projekt elvetésének veszélye! Záró megjegyzés: figyelem! Az említett konvenciók csak a jelenértékre (PV) alkalmazhatók, a nettó jelenértékre (NPV = -F0 + PV) közvetlenül nem! Mert F0 egy „speciális”, konvención kívüli pénzáram

Konvenciók – példák (I.) Egy projekt 20 perióduson keresztül minden periódusban összesen 100 összegű pénzáramot termel, a diszkontráta 25%. Mekkora a projekt jelenértéke periódusvégi, -eleji, -közepi, és harmonikus konvencióval? Legfeljebb mekkora hibát véthetünk ezen konvenciók alkalmazásával? Legyen a konkrét pénzáramprofilnak megfelelő pontos jelenérték: 439 A pontos jelenérték fényében melyik konvenció a legpontosabb? Mi az egyes konvenciók szerint a projekt megvalósítandóságáról szóló döntés, ha a kezdő beruházási összeg F0 = 420?

Konvenciók – példák (II.) Megoldások: Periódusvégi jelenérték: az ismert annuitás-képlettel: PE = 100*(1,2520 – 1)/(0,25*1,2520) ≈ 395 Periódus-eleji jelenérték: PB = PE *1,25 = 494 Periódus-közepi jelenérték: PM = PE *1,251/2 = 442 Harmonikus jelenérték: PH = PE *1,25/1,125 = 439 LLRH-k: E: 0,25/1,25 = 20%; M: 1,251/2 – 1 = 11,8%; B: 0,25 = 25%; H: 0,25/2,25 = 11,1% Ppontos = 439 (meg volt adva a példában) Ebből látszik, hogy jelen esetben a harmonikus konvenció a legpontosabb (éppen mondjuk teljesen pontos…) A periódusvégi kivételével mindegyiknél pozitív az NPV, tehát a projekt megvalósítandó (és valóban, mert 439 – 420 = 19 > 0)

Konvenciók – példák (III.) Adott két pénzáram és időzítéseik: F1 = 70, F2 = 110 és t1 = 0,4 év, t2 = 9,6 hónap, és a negyedéves diszkontráta 4,66%. Mekkora a pénzáramok jelenértéke periódusvégi, periódus-eleji, -közepi, és harmonikus konvencióval? Mekkora a pontos jelenérték? Mekkora a periódusvégi, illetve a harmonikus konvenció hibája?

Konvenciók – példák (IV.) Megoldás: Átváltások azonos időmértékegységre (most: évre): t2 = 9,6/12 = 0,8 év Éves diszkontráta r = (1+0,0466)4 – 1 = 20% PE = (70+110)/(1+0,2) = 150 PB = 150*(1+0,2) = 180 PM = 150*(1+0,2)0,5 = 164,32 PH = 150*(1+0,2)/(1+0,2/2) = 163,64 Ppontos = 70*(1+0,2)-0,4 + 110*(1+0,2)-0,8 = 160,15 A hibák pedig: E: 150/160,15 – 1 = -6,3% és H: 163,64/160,15 – 1 = +2,2%