Bolyai János Bolyai János (Kolozsvár, 1802. december 15 Bolyai János Bolyai János (Kolozsvár, 1802. december 15. – Marosvásárhely, 1860. január 27.) magyarmatematikus és hadmérnök. Bolyai Farkas fia és egyben tanítványa. A magyar tudomány egyik legnagyobb alakja, az egyik leghíresebb magyar matematikus, a „geometria Kopernikusza”,[1] „az erdélyi tudományosság legkiemelkedőbb képviselője

Geometria = Földméréstan, mértan Fizikai, gyakorlati mértan A szoba sarkából kiinduló három él Matematikai, elvont mértan Három egymással derékszöget bezáró egyenes

Az euklideszi geometria alapjait alkotják gondolkodásunk általános szabályai, azaz a logika elemei, amiket Euklidesz felsorol az "Elemek"-ben: L-1: Dolgok, amik egy harmadikkal egyenlők, egymással is egyenlők. L-2: Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk, ismét egyenlőket kapunk. L-3: Ha egyenlőkből egyenlőket vonunk ki, ismét egyenlőket kapunk. L-4: Dolgok, amik egymással helyettesíthetők, egyenlők. L-5: Az egész nagyobb a résznél. L-6: Két egyenes nem fog közre területet.

Az egész euklideszi geometriát (tételek ezreit) csak néhány különböző építőelemből rakták össze. Ezeket hívjuk "Euklidesz öt axiómájának": E-1: Bármely két ponton át pontosan egy egyenes fektethető. E-2: Bármelyik szakasz bármelyik irányba végtelenül meghosszabbítható. E-3: Bármely középponttal és bármekkora sugárral kör rajzolható. (Ebbõl adódik, hogy nincs sem felső, sem alsó határa a távolságoknak. Másképp fogalmazva, bármilyen nagy távolságnál van nagyobb és bármilyen kicsi, de 0-nál nagyobb távolságnál van kisebb.) E-4: Ha két egyenes úgy metszi egymást, hogy az egymást melletti szögek egyenlők, akkor ezen szögek bármelyike egyenlő minden más szöggel, amit ugyanígy hozunk létre. (Bármely két derékszög egyenlő.) E-5: Ha adott egy egyenes és egy rajta kívüli pont, akkor egy és csak egy, a ponton átmenő egyenes létezik, amelyik párhuzamos az adott egyenessel. (Ez a párhuzamossági axióma.)

Úgy hitték sokáig, hogy az ötödik axióma (a párhuzamossági) nem szükséges a rendszerhez, levezethető az első négy axióma segítségével. Például ha a tagadásával, és az első négy alkalmazásával ellentmondásra jutnánk, az bizonyítaná, hogy az első négyből kikövetkeztethető az ötödik. Két lehetőség is van az ötödik axióma tagadására: G-5: Ha adott egy egyenes és egy rajta kívüli pont, nincs a ponton áthaladó egyenes, ami párhuzamos lenne az eredeti egyenessel. (a gömbi geometria párhuzamossági axiómája) H-5: Ha adott egy egyenes és egy rajta kívüli pont, legalább kettő különböző egyenes húzható a ponton át, ami párhuzamos az eredeti egyenessel. (a hiperbolikus geometria párhuzamossági axiómája)

Bolyai Farkas és a parallellák

Bolyai János pályája nem jut Gausshoz tanulni matematikai tehetség katonai hadmérnöki pálya hegedű virtuóz párbajhős társasági élet

1923 november 3 Levél Bolyai Farkashoz: A parallellákról egy munkát adok ki; ebbe a pillanatba nints kitalálva, de az út, mellyen mentem, tsaknem bizonyosan ígérte a tzél el-érésit, ollyan felséges dolgokat hoztam ki, hogy magam elbámultam, s örökös kár volna el-veszni; ha meglátja Édes Apám, meg-esméri;most többet nem szollhatok, tsak annyit: hogy semmiből egy ujj más világot teremtettem

1826 elméleti munkáját átadja Wolter von Eckwehr Jánosnak, Akadémiai tanárának, ez a német nyelvű példány elveszett 1831 Bolyai Farkas TENTAMEN című könyvéhez János elküldi latin nyelvű 26 oldalas füzet alakú munkáját, ami 1932-ben a Tentamen függeléke: APPENDIX formájában megjelenik. 1831-ben Farkas levelet küld Gaussnak: „Fiam többre becsüli egész Európa ítéleténél a Tiédet” Gauss az Appendixet csak 1932-ben kapta meg

1832, Zeyk levele, 154 oldal Gauss levele Gerlingnek: „Ezt a fiatal geométert, Bolyait elsőrangú lángésznek tartom” Gauss levele Bolyai Farkasnak: „Most valamit a Fiad munkájáról. Ha avval kezdem, hogy nem szabad dicsérnem, bizonyára megütődsz egy pillanatra. De mást nem tehetek: ha dicsérném, akkor magamat dicsérném, mivel a mű egész tartalma, az út, melyet Fiad követ és az eredmények, amelyekre jutott, majdnem végig megegyeznek részben már 30-35 év óta folytatott elmélkedéseimmel. Valóban, a dolog rendkívül meglepett. Szándékom volt, hogy munkásságomból, melyből egyébiránt mostanáig csak keveset tettem papirosra, életemben semmit sem bocsátok nyilvánosságra. A legtöbb embernek nincs is meg a kellő érzéke az iránt, amin ez a dolog megfordul, és csak kevés emberre akadtam, aki különös érdeklődéssel fogadta, amit vele közöltem.” 1833 júniusban Bolyai János nyugdíjba vonul

Utóélet Eötvös József Staeckel