Analitikus fák kondicionálissal Mindig érdemes előbb lebontani az olyan mondatot, amelynek konjunktív (egymás alá írandó) származékai vannak. Ha muszáj elágaztatni, érdemes meggondolni, hogy melyik mondat lebontásánál lesz az egyik ág rögtön zárt. Döntsük el ezek betartásával, helyes-e a 8.46 feladatban szereplő következtetés! Ki lehet próbálni, hogy más sorrendben eljárva sokkal bonyolultabb lesz. HF.: 8.47, 48, 53: döntsék el a következtetések helyességét analitikus fával. Ha egy következtetés nem helyes, adjanak rá ellenpéldát Tarski’s World-ben.

Formalizálás (fordítás köznyelvről FOL-ra) A fordítási eljárás mindig kívülről befelé halad. Azaz: ha egy mondatban több igazságkonnektívum fordul elő, akkor keressük meg azt, amely az argumentuma(i)val együtt lefedi az egész mondatot („főművelet”). Ezt a konnektívumot helyettesítsük a FOL-megfelelőjével, az argumentumo(ka)t pedig tegyük zárójelbe. Nézzük meg külön-külön, hogy egy zárójelen belül milyen igazságkonnektívumok fordulnak elő. Ha van kétargumentumú igazságkonnektívum, akkor folytassuk ugyanígy. Ha egy zárójelen belül már csak atomi mondat vagy annak negációja (azaz literál) van, akkor az atomi mondatot fordítsuk le és a negáció köznyelvi kifejezését helyettesítsük a negációjellel. A zárójel ilyenkor elhagyható. Problémás esetek: “A, unless B” (“A, kivéve, ha B”) – mikor nyilvánvalóan hamis? Akkor, ha A nem áll fenn, pedig a kivétel (azaz B) sem. Egy kondicionális akkor hamis, hha az utótag hamis, pedig az előtag igaz. Tehát vehetjük úgy, hogy A az utótag, és “nem B” az előtag: “B  A”. De úgy is, hogy B az utótag és “nem A” az előtag (azaz ha A nem áll fönn, akkor a kivételes esetnek, B-nek kell teljesülnie): 33A  B” Mind a kettő jó, hiszen ekvivalensek.

“A only if B” (“Csak akkor A, ha B”): lehet úgy okoskodni, hogy ezek szerint ha nem B, akkor nem A. Ebből az a formalizálás jön ki, hogy “B  A”. Ami a kontrapozíció törvénye szerint ekvivalens “A  B”-vel. HF: 7.18 (A könyv 30. oldalán találhatók a „pet-nyelv” konstansai értelmezéssel együtt. Azokat kell használni.)

Ezt most nem kell pontosan érteni. Elméleti probléma: vajon minden következtetés helyességét el tudjuk dönteni analitikus fával? Nulladrendű logikában nyilván igen, de ez nem általánosítható elsőrendű logikára. Néhány olyan fogalom és megállapítás következik, amelyek viszont igen. Egy új centrális logikai fogalom(pár): kielégíthetőség – kielégíthetetlenség Mondatok egy halmaza kielégíthető, hha van olyan lehetőség/lehetséges világ, amelyben mindegyik mondat igaz. (Kielégíthetetlen, hha nincs.) Mondatok egy halmaza FO-kielégíthető, hha … . A blokknyelv mondatainak egy halmaza FO-kielégíthető, hha van olyan Tarski-világ, ahol mindegyik mondat igaz, megengedve azt is, hogy a predikátumok jelentését tetszés szerint megváltoztatjuk. Mondatok egy halmaza tautologikusan kielégíthető, ha van az előforduló atomi mondatoknak olyan igazságértékelése, amely mellett mindegyik mondat igaz. Egy következtetés (tautologikusan) helyes, ha a konklúzió negációjából és a premisszákból álló mondathalmaz (tautologikusan) kielégíthetetlen. Ez majd jövő félévben! Ezt most nem kell pontosan érteni.

Az előző dia definícióiban nem volt szó arról, hogy a mondathalmaznak végesnek kell lennie. A továbbiakban ezt nem is tételezzük fel. Az analitikus fa készítése végtelen mondathalmaz (sorozat) esetén: Nem tudjuk úgy kezdeni, hogy a kiinduló mondathalmaz összes elemét felírjuk. Ehelyett csak az első mondat felírásával kezdjük, és utána mindig választhatunk: Vagy egy lebontási lépést teszünk, vagy felvesszük a soron következő mondatot az összes, még nyitott ágra. Így a fakészítés nem feltétlenül ér véges sok lépésben véget. De következtetés helyességének bizonyítása igen! (Kompaktsági tétel.)

Tételek az analitikus fákról: (Terminológia: egy ág kielégíthető = a rajta levő összes mondat halmaza kielégíthető.) Ha egy mondathalmaz kielégíthető, akkor az analitikus fáján minden lépés után lesz olyan ág, amelyik kielégíthető. Ha van egy olyan igazságértékelésünk, amely a mondathalmazt kielégíti, akkor az első mondat, amit felírunk, emellett az értékelés mellett igaz. És bármilyen lépést választunk, bármilyen későbbi helyzetben, mindig fennmarad, hogy ha eddig igaz volt minden mondat, akkor (elágaztatás esetén legalább az egyik ágon) a lépés után is minden mondat igaz. Az I. állítás röviden: az igazság öröklődik felülről lefelé. Pl. ha a lépésünk egy “A  B” alakú mondat lebontása, és erről a mondatról már tudjuk, hogy igaz, akkor az egyik folytatás A, a másik B lesz, és az egyiknek igaznak kell lennie.

Ha egy adott igazságértékelés mellett az analitikus fa egyik ágán minden áthúzatlan mondat igaz, akkor az ágon az összes mondat igaz. Tegyük fel (indirekt hipotézis), hogy a mondatok között van hamis (nyilván az áthúzottak között). Számoljuk meg mindegyik mondatban az előforduló igazságkonnektívumok számát - ez lesz a mondat rangja. Ha van hamis az összes mondatok között, akkor van olyan mondat, amelynél kisebb rangú hamis mondat már nincsen. Ez egy áthúzott mondat, tehát le van bontva. Ha kettős negáció, azaz “A” alakú, akkor szerepelnie kell az ágon A-nak, és A igaz, mert kisebb rangú – ez ellentmond annak, hogy “A” hamis. Ha “A  B” alakú, akkor A is, B is szerepel, és igazak – megint ellentmondás. Ha “(A  B)” alakú, akkor “A” és “B” közül legalább az egyik szerepel és igaz – ez se lehet. És így tovább az összes lebontási műveletre. Tehát ellentmondásra jutottunk abból a feltevésből, hogy az ágon szereplő mondatok között van hamis. Tehát nincs. Ezt kellett bizonyítani (q.e.d.). A II. állítás egyszerűbben: az igazság öröklődik alulról felfelé, az egyszerűbbekről a bonyolultabbakra.

Ha a fán valahány lépés után minden ág zárt, akkor a mondathalmaz kielégíthetetlen. Ez közvetlenül következik az I. tételből, ugyanis ha kielégíthető lenne, akkor mindig lenne olyan ág, amely kielégíthető, egy zárt ág pedig nem az.