A Catalan-összefüggésről Molnár István Szent István Egyetem Agrár- és Gazdaságtudományi Kar Békéscsaba

Eugène Charles Catalan 1814-1894 belga matematikus fő kutatási területe a lánctörtek és a számelmélet

Állítás (Catalan-összefüggés) Minden n pozitív egész szám esetén fennáll a következő összefüggés:

Bizonyítás

Alkalmazások

1. feladat Mutassuk meg, hogy ha és , akkor

1. feladat megoldása (ahol felhasználtuk azt a tényt, hogy a zárójelekben lévő mennyiségek különbsége minden esetben pozitív szám)

2. feladat Bizonyítsuk be, hogy ha n egy pozitív egész szám, akkor

2. feladat megoldása

Következmény Ha n pozitív egész szám, akkor illetve

3. feladat Mutassuk meg, hogy bármely n pozitív egész szám esetén

3. feladat megoldása

3. feladat általánosítása Hogyan változik a Catalan-összefüggés bal oldalán álló kifejezés, ha a jobb oldalon szereplő kifejezésben a tagok tetszőleges pozitív egész hatványa szerepel, azaz ha a jobboldalon álló kifejezés alakú, ahol p pozitív egész?

3. feladat általánosítása

3. feladat általánosítása Összefoglalva: Bármely n pozitív egész szám esetén ahol p pozitív egész.

21. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia (London, 1979) 4. feladat Legyenek m és n olyan pozitív egészek, amelyekre fennáll, hogy Bizonyítsuk be, hogy m osztható 1979-cel! 21. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia (London, 1979)

4. feladat megoldása

4. feladat megoldása(folytatás) A zárójelben lévő kifejezés a közös nevezőre hozás után alakú lesz, ahol a pozitív egész és . Mivel az 1979 prímszám és b minden tényezője kisebb, mint 1979, következik, hogy b és 1979 relatív prímek. Innen az egyenlőséget átírva alakra és felhasználva, hogy kapjuk, hogy az 1979 osztója kell legyen m-nek.

4. feladat általánosítása Legyen p háromnál nagyobb prímszám, valamint legyenek m és n olyan pozitív egészek, amelyekre fennáll, hogy Ekkor m osztható p-vel.

4. feladat általánosítása (megoldás) Mivel p háromnál nagyobb prímszám, ezért vagy alakú, ahol . Ha , akkor Ha , akkor

4. feladat általánosítása ( p=6k+1 eset)

4. feladat megoldása( p=6k+1 eset) A zárójelben lévő kifejezés a közös nevezőre hozás után alakú lesz, ahol a pozitív egész és . Mivel a 6k+1 prímszám és b minden tényezője kisebb, mint 6k+1, következik, hogy b és 6k+1 relatív prímek. Innen az egyenlőséget átírva alakra és felhasználva, hogy kapjuk, hogy a 6k+1 osztója kell legyen az m-nek, azaz p osztója m-nek. 22 22

5. feladat 57. Putnam verseny (1996) Ha p háromnál nagyobb prímszám és , akkor bizonyítsuk be, hogy a összeg osztható -tel.

5. feladat megoldása A feltételek alapján a minden binomiális együttható osztható p-vel

5. feladat megoldása (folytatás) Lássuk be, hogy az S összeg osztható p-vel. Ha az S-ben szereplő törtek számlálóiban a megfelelő műveleteket elvégezzük, az összevonások után S átírható alakra, ahol egészek.

5. feladat megoldása (folytatás) A 4. feladat általánosítása alapján: alakú, ahol az m osztható p-vel (azaz , ) és az n nem többszöröse p-nek.

5. feladat megoldása (folytatás) Mindezek alapján ahol egyetlen nevező sem osztható p-vel, tehát az S osztható p-vel.

Néhány alkalmazási lehetőség Az alábbi általános tagú sorozatok vizsgálata: ahol k, n, p és q pozitív egészek, valamint p > q . 28

Köszönöm a figyelmet! molnar.istvan@gk.szie.hu