Logika

Logikai értelemben kijelentésnek nevezzük azt a kijelentő mondatot, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Az igaz és a hamis a kijelentés logikai értéke.

Logikai műveletek Negáció Egy A kijelentés negációja vagy tagadása az a kijelentés, amely igaz, ha A hamis, és hamis, ha A igaz. Jele: , kimondva: „nem A” Tétel: Egy kijelentés tagadásának tagadása az eredeti kijelentés (kettős tagadás törvénye). (A)  A A A i h

Fogalmazzuk meg a következő kijelentések tagadását! p = A négyzet minden szöge derékszög. p = A négyzet nem minden szöge derékszög Vagy: A négyzetnek van olyan szöge, amelyik nem derékszög. g = Minden háromszög derékszögű. q = Nem minden háromszög derékszögű. Vagy: Van olyan háromszög, amelyik nem derékszögű.

r = A szabályos ötszögnek egyik szöge sem derékszög. r = A szabályos ötszögnek van olyan szöge, amelyik derékszög. s = Van olyan deltoid, amely rombusz. s = Nincs olyan deltoid, amely rombusz. t = Van olyan trapéz, amelyik nem paralelogramma. t = Minden trapéz paralelogramma. Vagy: Nincs olyan trapéz, amelyik nem paralelogramma.

u = Létezik homorúszögű háromszög. u = Nem létezik homorúszögű háromszög. w = Bármely háromszög köré írható kör. w = Nem minden háromszög köré írható kör. Vagy: Van olyan háromszög, amely köré nem írható kör.

Fogalmazzuk meg azokat a kijelentéseket, amelyeknek negációja a következő: A = Van olyan falu, ahol nincs posta. A = Minden faluban van posta. B = Minden ember kékszemű. B = Nem minden ember kékszemű. C = Minden póknak legfeljebb 8 szeme van. C = Nem minden póknak van legfeljebb 8 szeme.

D = Van olyan év, amikor a február 30 napos. D = Nincs olyan év, amikor a február 30 napos. E = Minden szállodában minden szobában van telefon. E = Nem minden szállodában van minden szobában telefon. F = Van olyan munkahely, ahol van olyan ember, aki dolgozik. F = Nincs olyan munkahely, ahol van olyan ember, aki dolgozik.

2. Konjunkció Két kijelentés konjunkciója pontosan akkor igaz, ha mindkét kijelentés igaz, különben hamis. Jele: A  B, kimondva „A és B”. Az A és A nem lehet egyszerre igaz (ellenmondásmentesség elve). A  A  h A B A  B i h

3. Diszjunkció Két kijelentés diszjunkciója pontosan akkor hamis, ha mindkét kijelentés hamis, különben igaz. Jele: A  B, kimondva „A vagy B”. A B A  B i h Az A és A nem lehet egyszerre hamis (a harmadik kizárásának elve). A  A  i

Ha H = ma hétfő van, és F = fáradt vagyok, akkor írjuk fel logikai műveletek segítségével a következő kijelentéseket, majd írjuk fel a negációjukat: a, Ma nem hétfő van. H  H b, Ma hétfő van és fáradt vagyok. H  F  (H  F) = H  F c, Ma hétfő van, de nem vagyok fáradt. H  F  (H   F) = H  F d, Ma nincs hétfő, mégis fáradt vagyok. H  F  ( H  F) = H  F e, Ma nincs hétfő, és nem is vagyok fáradt. H  F  ( H   F) = H  F

a, Ma hétfő van vagy tegnap vasárnap volt. M  T  (M  T) = M  T Ha M = ma hétfő van, és T = tegnap vasárnap volt, akkor írjuk fel logikai műveletek segítségével a következő kijelentéseket, majd írjuk fel a negációjukat: a, Ma hétfő van vagy tegnap vasárnap volt. M  T  (M  T) = M  T b, Ma nem hétfő van, vagy tegnap nem vasárnap volt. M  T  (M  T) = M  T c, Tegnap nem vasárnap volt, vagy ma hétfő van. T  M  (T  M) = T  M d, Ma nincs hétfő, vagy tegnap nem volt vasárnap.

Legyen A = Kati szomorú, B = Kati mérges, C = Kati vidám Legyen A = Kati szomorú, B = Kati mérges, C = Kati vidám. Írjuk fel logikai műveletek segítségével a következő kijelentéseket: A, Kati szomorú is, mérges is, semmiképpen sem vidám. (A  B)  C B, Kati szomorú vagy mérges, de nem vidám. (A  B)  C C, Kati nem szomorú, és nem is mérges, azért még nem vidám. (A  B)  C D, Kati szomorú és mérges, vagy vidám. (A  B)  C

Írjuk le szavakkal a következő kijelentéseket, ha P = én megyek, Q = te mész, R = Ottó megy. P (Q  R) Én megyek veled vagy Ottóval. (Q  P)  (R  P) Veled megyek, vagy Ottóval megyek. (P  Q) Nem megyek veled. Q  P Te nem mész vagy én nem megyek. = Nem megyek veled.

4. Implikáció A „ha A, akkor B” kapcsolatnak megfelelő logikai műveletet implikációnak nevezzük, amelynek az A az előtagja és B az utótagja. Jele: A  B, azaz A implikálja B-t, azaz „ha A, akkor B”. Az implikáció logikai értéke pontosan akkor hamis, ha az előtagja igaz és az utótagja hamis, különben az implikáció igaz. A B A  B i h

5. Ekvivalencia Az „A akkor és csak akkor B” kapcsolatnak megfelelő logikai műveletet ekvivalenciának nevezzük. Jele: A  B, azaz A ekvivalens B-vel, azaz „A, akkor és csak akkor B”. Az ekvivalencia logikai értéke pontosan akkor igaz, ha A és B logikai értéke megegyezik, különben az ekvivalencia hamis. A B A  B i h

a, Ha ma péntek van, akkor holnap szombat lesz. A  B Legyen A = Ma péntek van, és B = holnap szombat lesz. Írjuk fel logikai műveletek segítségével a következő kijelentéseket: a, Ha ma péntek van, akkor holnap szombat lesz. A  B b, Ha holnap nem szombat lesz, akkor ma nem péntek van. B  A c, Ahhoz, hogy holnap szombat legyen, szükséges, hogy ma péntek legyen. Ha holnap szombat lesz, akkor ma péntek van. B  A

D, Holnap szombat lesz, ez elégséges ahhoz, hogy ma péntek legyen. Ha holnap szombat lesz, akkor ma péntek van. B  A E, Holnap nem szombat lesz, ez elegendő ahhoz, hogy ma ne péntek legyen. Ha holnap nem szombat lesz, akkor ma nem péntek van. B  A F, Akkor és csak akkor lesz holnap szombat, ha ma péntek van. B  A

G, Ma péntek van, ez szükséges és elegendő ahhoz, hogy holnap szombat legyen. A  B

Írjuk fel a következő összetett kijelentések logikai szerkezetét: A, Ha egy négyszög téglalap, és a szomszédos oldalai egyenlők, akkor négyzet. T = A négyszög téglalap. O = A négyszög szomszédos oldalai egyenlők. N = A négyszög négyzet. (T  O)  N

B, Egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével. D = A háromszög derékszögű. N = Két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével. D  N

C, Ha egy szám négyzete 4-nél nagyobb, akkor a szám 2-nél nagyobb, vagy -2-nél kisebb. K = A szám négyzete 4-nél nagyobb. L = A szám 2-nél nagyobb. M = A szám -2-nél kisebb. K  (L  M) D, Ha két egész szám szorzata páros, akkor nem lehet mindkét szám páratlan. S = Két egész szám szorzata páros. T = Az első szám páros. U = A második szám páros. S  (T  U)

Legyenek a következő kijelentések: A = Az n szám 12-vel osztható. B = Az n szám 36-ra végződik. C = Az n szám prím. D = Az n szám páros. E = Az n szám 4-gyel osztható. F = Az n szám 6-tal osztható. G = Az n szám szánjegyeinek össszege 3-mal osztható. Fogalmazzuk meg a következő kijelentéseket: a) B  E b) A  C c) E  (C  D) d) (D  G)  F e) A (E  G) f) (D  G)  F Ha az n szám 36-ra végződik, akkor 4-gyel osztható. Ha az n szám 12-vel osztható, akkor nem prím. Ha az n szám 4-gyel osztható, akkor nem prím és páros.

d) Az n szám páros és számjegyeinek összege 3-mal osztható, akkor és csak akkor, ha 6-tal osztható. e) Az n szám akkor és csak akkor osztható 12-vel, ha 4-gyel osztható és számjegyeinek összege osztható 3-mal. f) Ha az n szám számjegyeinek összege osztható 3-mal, de nem páros, akkor az n szám nem osztható 6-tal.

Ha Gabi fiú, akkor Gabi fiatalabb, mint Zsuzsi Ha Gabi fiú, akkor Gabi fiatalabb, mint Zsuzsi. Ha Gabi 18 éves, akkor Gabi lány. Ha Gabi nem 18 éves, akkor Gabi legalább olyan idős, mint Zsuzsi. Eldönthető-e ebből, hogy Gabi fiú-e vagy lány? A = Gabi fiú. B = Gabi fiatalabb, mint Zsuzsi. C = Gabi 18 éves. A  B C  A C  B

A B C A B C A  B C  A C  B

A B C A B C A  B C  A C  B i h

A B C A B C A  B C  A C  B i h Gabi lány.

Fogalmazzuk meg a következő kijelentések tagadását (negációját)! A = Minden emlősnek van lába. B = Minden bogár rovar. C = Minden négyszögnek van beírt köre. D = Minden lakás minden szobájában van világítás.

Fogalmazzuk meg a következő kijelentések tagadását (negációját)! A = Van olyan rombusz, amely nem négyzet. B = Van olyan paralelogramma, amely nem trapéz. C = Van olyan sorozat, amely nem korlátos. D = Van olyan ember, aki nem iszik alkoholt.

Ha egy szám osztható 12-vel, akkor osztható 6-tal. Döntsük el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! Ha egy szám osztható 12-vel, akkor osztható 6-tal. Ha egy szám osztható 4-gyel és 6-tal, akkor osztható 12-vel. Ha egy szám osztható 6-tal és 8-cal, akkor osztható 48-cal. Ha egy szám osztható 4-gyel, 6-tal és 10-zel, akkor osztható 60-nal.

Minden paralelogramma rombusz. Van olyan trapéz, amelyik téglalap. Döntsük el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! Minden paralelogramma rombusz. Van olyan trapéz, amelyik téglalap. Van olyan téglalap, amelyik deltoid. Ha egy négyszög paralelogramma és deltoid, akkor rombusz.

Van olyan síkidom, amelynek végtelen sok szimmetriatengelye van. Döntsük el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! Van olyan síkidom, amelynek végtelen sok szimmetriatengelye van. Ha egy húrnégyszögnek van derékszöge, akkor téglalap. Ha két háromszög hasonló, és van egyenlő oldaluk, akkor a két háromszög egybevágó.

Fogalmazzuk meg a következő kijelentések tagadását (negációját)! A = Esik az eső vagy süt a nap. B = Andrea szőke és kék szemű. C = Az ABC háromszög egyenlő szárú és hegyesszögű háromszög. D = Az ABCD négyszög trapéz vagy deltoid.

Esik az eső, és rossz a kedvem. Nem esik az eső, mégis rossz a kedvem. Tekintsük a következő kijelentéseket: A = esik az eső, B = rossz a kedvem. Írjuk fel logikai műveletek segítségével a következő kijelentéseket: Nem esik az eső. Esik az eső, és rossz a kedvem. Nem esik az eső, mégis rossz a kedvem. Nem rossz a kedvem, és nem esik az eső. Esik az eső, mégsem rossz a kedvem. Esik az eső vagy rossz a kedvem. Nem esik az eső vagy rossz a kedvem.

Az előző feladatban szereplő állítások tagadását (negációját) írjuk fel logikai műveletek segítségével, majd fogalmazzuk meg a kapottakat szavakkal.

Ha tél van, akkor esik a hó. Ha esik a hó, akkor tél van. Írjuk fel logikai műveletekkel a következő kijelentéseket, ha A = tél van; B = esik a hó! Ha tél van, akkor esik a hó. Ha esik a hó, akkor tél van. Ha nem esik a hó, akkor nem tél van. Nem igaz, hogy tél van, és nem esik a hó. Esik a hó, vagy nem tél van.

Tekintsük a következő kijelentéseket: A = n osztható 5-tel; B = n osztható 3-mal; C = n osztható 15-tel. Fogalmazzuk meg a következő kijelentéseket szavakkal: a) C  A; b) C  (A  B); c) (A  B)  C; d) C  (A  B)

Tekintsük a következő kijelentéseket: Aki nem kötéltáncos, és zsemlét sem eszik, az öreg. A szédülős malacokkal tisztelettel bánnak. Okos léghajós esernyőt visz magával. Nem ebédelhet nyilvános helyen, aki nevetségesen néz ki, és zsemlét eszik. A fiatal léghajósok szédülősek. Aki nevetségesen néz ki és kövér, az ebédelhet nyilvános helyen, ha nem kötéltáncos. Aki okos, az nem megy kötéltáncosnak, ha szédülős. Egy malac esernyővel nevetségesen néz ki. Mindenki kövér, akivel tisztelettel bánnak, és nem kötéltáncos. Következik-e mindebből, hogy okos, fiatal malac nem megy léghajósnak?

Tegyük fel, hogy okos, fiatal malac elmegy léghajósnak. A fiatal léghajósok szédülősek. A szédülős malacokkal tisztelettel bánnak. Aki okos, az nem megy kötéltáncosnak, ha szédülős. Mindenki kövér, akivel tisztelettel bánnak, és nem kötéltáncos. Okos léghajós esernyőt visz magával. Egy malac esernyővel nevetségesen néz ki. Aki nevetségesen néz ki és kövér, az ebédelhet nyilvános helyen, ha nem kötéltáncos. Nem ebédelhet nyilvános helyen, aki nevetségesen néz ki, és zsemlét eszik. Aki nem kötéltáncos, és zsemlét sem eszik, az öreg.