Bevezetés a Számítógépi grafikába 5. Vetületi ábrázolások 5.2. Vetítések műszaki ábrázolásokban

Emlékeztető Kollineáció: P3 <-> P3 , illetve E3 <-> E3 pont-, egyenes-, sík- és illeszkedést tartó Kollineációk – projektív transzformációk Részcsoportja: affin transzformációk (E3 <-> E3 ) Megfeleltetés P3 és a {<x,y,z,h>} között x,y,z,h nem mind nulla Megfeleltetés a kollineációk és {M44} között; det M44 nem nulla

Emlékeztető (f) Középpontos és párhuzamos vetítés (egy módja): olyan P3 -> P3 , amely után z’ elhagyása a síkvetületet adja (előtte láthatóság-takarás z szerint) Középpontos vetítésnél projektív transzformáció párhuzamos vetítésnél affin transzformáció NB. Nem minden kollineáció ilyen; de P3 minden projektív transzformációja: P4 egy P3 hipersíkjának középpontos vetítése egy másik P3 hipersíkra

Emlékeztető (f) A projektív transzformációk (P’=M·P) gyakran fölismerhetetlen képet adnak A műszaki rajzoknál egyezményes ábrázolási módok: könnyen szerkeszthető méretek és arányok jól „leolvashatók” a szakemberek által megszokott, könnyen értelmezik.. A számítástechnika számítási eljárásokat nyújt

Ami a módszerekben közös Kiindulás a TKR-ből; a tárgy egy jellemző pontja és fő irányai Előtte: VKR -> TKR: P’ = (T·B)P mozgás; méret és alaktartó A vetület előállítása: 2(3) lépésben: P’ = M·P; 3D -> 3D (láthatóság-takarás z’ szerint) z’ elhagyása: 3D -> a képsíkra

A mátrix előállítása A határozatlan együtthatók módszerével A tér egy affin transzformációját 4 „független” pont és képe meghatározza Projektív transzformációnál 5-5 független pont Gyakran: a TKR „ölében ülő” téglatest (1) a téglatest O csúcsa (a TKR kezdőpontja) (2,3,4) a tégla szomszédos A, B, C csúcsai Vagy: (1) a téglatest O csúcsa (a TKR kezdőpontja) (2,3,4) Ix, Iy, Iz; a tengelyek ideális pontja (5) E=(a,b,c) az O-val átellenesen (A, B, C)

5.2.1. Perspektív ábrázolások „Perspektíva” = távlati kép Elsősorban nagyobb terek ábrázolására A fénykép-alakot közelítő kép Az emberi látást közelítő kép Tapasztalat: sík területen a látóhatár Projektív transzformáció Egy-, két-, három iránypontos perspektíva

A két iránypontos perspektíva

A két iránypontos perspektíva KKR: a bal alsó sarokból, U balra, V fölfelé, W a képsíkból kifelé A képsíkban kijelöljük: h: horizont-vonal; v = h-ban. 5 pont és képe: O’ a képsík fölött w = rw-vel I’x és I’y iránypontok a horizonton I’z = Iv a képsíkkal || fölfelé E pont helyett három tengelypont: A’, B’, C’ a tengelyek képén; R’I*’

A kijelölt pontok adatai: O =[0,0,0,1], O’ =[ou,ov,ow,1] Ix =[1,0,0,0], I’x =[i1, h, 0,1] = I1 Iy =[0,1,0,0], I’y =[i2, h, 0,1] = I2 Iz =[0,0,1,0], I’z =[ 0, 1, 0,0] A =[a,0,0,1], A’ =[au,av,aw,1] \ B =[0,b,0,1], B’ =[bu,bv,bw,1] | = E C =[0,0,c,1], C’ =[ou,cv,ow,1] / (E =[a,b,c,1], E’ =[a’,b’,c’,1]) h, i1, i2, ou,ov, ow, a’,b’,c’ : a képsíkon fölvett adatok A->A’ csak egy független adat: a’, illetve ta = O’A’/O’I’x

A két iránypontos perspektíva mátrixa: (a határozatlan együtthatók módszerével) M2= ( sai1/a sbi2/b 0 ou ); P’= M2·P | sah/a sbh/b c’/c ov | | 0 0 0 ow | ( sa/a sb/b 0 1 ) a, b, c: a TKR-ben adott téglatest oldalai, c’ : a c képének hossza, ou,ov : az O’ a képsíkon és ow tetszőleges, h : a horizont magassága, i1, i2 : a két iránypont helye rajta. sa = O’A’/A’I1 , sb = O’B’/O’I2

Illetve sa=sb=1 esetén (A’ és B’ „félúton”): M2=( i1/a i2/b 0 ou ); P’= M2·P | h/a h/b c’/c ov | | 0 0 0 ow | ( 1/a 1/b 0 1 ) a, b, c: a TKR-ben adott téglatest oldalai, c’ : a c képének hossza, ou,ov : az O’ a képsíkon, ow tetszőleges, h : a horizont magassága, i1, i2 : a két iránypont helye rajta.

A mátrix a határozatlan együtthatók módszerével: M·P ~ P’ M·[O Ix Iy Iz E] = [koO' kuI1 kvI2 kwIv keE'] = (m11 m12 m13 m14)·[0 1 0 0 a] = [koou kuix kviy 0 keeu] |m21 m22 m23 m24| |0 0 1 0 b] |koov kuh kvh kw keev| |m31 m32 m33 m34| |0 0 0 1 c] |koow 0 0 0 keew| (m41 m42 m43 m44) [1 0 0 0 1] [ko ku kv 0 ke ] 4x5 = 20 lineáris egyenlet; az ismeretlenek: 15 darab mik (1 szabadon választható, ha 0) +5 darab kj együttható

A mátrix elemeinek kiszámítása Pl.: M ·[A B C] = [kaA’ kbB’ kcC’] (m11 m12 m13 m14)·[a 0 0] = [kaau kbbu kccu] |m21 m22 m23 m24| |0 b 1] |kaav kbbu kccu| |m31 m32 m33 m34| |0 0 c] |kaaw kbbu kccu| (m41 m42 m43 m44) [1 1 1] [ka kb kc ] Válasszuk: m44 = 1 így kr = 1 és m14 = ru, m24 = rv, m34 = cw = rw. Látható továbbá: m31 = m32 = m33 = m13 = m43 = 0 stb.

A mátrix vizsgálata M2= [T(ru,rv,rw)S]Nxy[S’RyRx(900)]P(sa/a,sb/b,0) M2= H Nxy  M  P P(sa/a,sb/b,0) = ( 1 0 0 0 ) | 0 1 0 0 | | 0 0 1 0 | ( sa/a sb/b 0 1 )

Gyakorlati tanácsok Középen lévő horizont: kiegyensúlyozott kép Tárgyak a horizont alatt: fölülről nézet Tárgyak a horizont fölött: alulról nézet Iránypontok távol: valószerűbb kép (számolás) Távolodó iránypontok – távolodó tárgyak Interaktív program: a paraméterek változtatása

Egy iránypontos perspektíva

Az egy iránypontos perspektíva KKR: a bal alsó sarokban, U balra, V fölfelé, W a képsíkból kifelé A képsíkban kijelöljük: v = h-ban: horizont-vonal 5 pont és képe: O’ a képsík fölött w = ow-vel I’y= I iránypont a horizonton I’x=Iu jobbra, és I’z=Iv; fölfelé E pont helyett három tengelypont: A’, B’, C’ a tengelyek képén; R’I*’

A kijelölt pontok adatai: O = [0,0,0,1], O' = [ou,ov,ow,1] Ix = [1,0,0,0], Ix’ = [1,0,0,0] = Iu Iy = [0,1,0,0], Iy’ = [i,h,0,1] = I Iz = [0,0,1,0], Iz’ = [0,1,0,0] = Iv A = [a,0,0,1], A' = [au,rv,rw,1]; B = [0,b,0,1], B' = [ou,bv,ow,1] C = [0,0,c,1]. C' = [cu,cv,cw,1] E = [a,b,c,1], E’ = [eu,ev,ew,1] h, i, ou, ov, ow, a’,b’,c’ : a képsíkon fölvett adatok B -> B’ csak egy független adat: tb = O’B’/O’I

A mátrix a határozatlan együtthatók módszerével: M·P = k· P’(valamilyen k-val) M·[O Ix Iy Iz E] = [koO' kuI1 kvI2 kwIv keE'] = (m11 m12 m13 m14)·[0 1 0 0 a] = [koou kuix kviy 0 keeu] |m21 m22 m23 m24| |0 0 1 0 b] |koov 0 kvh kw keev| |m31 m32 m33 m34| |0 0 0 1 c] |koow 0 0 0 keew| (m41 m42 m43 m44) [1 0 0 0 1] [ko 0 kv 0 ke ] 4x5=20 lineáris egyenlet; az ismeretlenek: 15 darab mik (1 szabadon választható, ha 0) +5 darab kj együttható

Az egy iránypontos perspektíva mátrixa: M1= (a’/a i·s/b 0 ou) ( 0 h·s/b c’/c ov) ( 0 0 0 ow) ( 0 s/b 0 1 ) = T(ru,rv,rw)NxyS(a’/a,c’/c,rwsb/b)Rx(900)P(0,sb/b,0), a,b,c : TKR-ben adott téglatest oldalai, a’ és c’ : a és c képének hossza, ou,ov O’ a képsíkon és ow tetszőleges, h a horizont magassága, i az iránypont helye rajta. s = O’B’/B’I

Három iránypontos perspektíva

A három iránypontos perspektíva KKR: a bal alsó sarokban, U balra, V fölfelé, W a képsíkból kifelé A képsíkban kijelöljük: v = h-ban: horizont-vonal 5 pont és képe: O’ a képsík fölött w=ow-vel I’x és I’y iránypontok a horizonton I’z harmadik iránypont (fölötte), E pont helyett három tengelypont: A’, B’, C’ a tengelyek képén; O’I*’

A kijelölt pontok adatai: O = [0,0,0,1], O' = [ou,ov,ow,1] Ix = [1,0,0,0], Ix' = [fu,fv,0, 1] = F Iy = [0,1,0,0], Iy' = [gu,gv,0, 1] = G Iz = [0,0,1,0], Iz' = [hu,hv,0, 1] = H A = [a,0,0,1], A' = [au,av,aw,1] B = [0,b,0,1], B' = [bu,bv,bw,1] C = [0,0,c,1], C' = [cu,cv,cw,1] h, fu, fv, gu, gv, hu, hv, ou, ov, ow, a’,b’,c’ : a képsíkon fölvett adatok B -> B’ csak egy független adat: tb = O’B’/O’I’y

A mátrix a határozatlan együtthatók módszerével M·P = k·P’(valamilyen k-val) M·[O Ix Iy Iz E] = [krO' kfF kgG khH keE'] = (m11 m12 m13 m14)·[0 1 0 0 a] = [koou kffu kggu khhu keeu] |m21 m22 m23 m24| |0 0 1 0 b] |koov kffv kggv khhv keev| |m31 m32 m33 m34| |0 0 0 1 c] |koow 0 0 0 keew| (m41 m42 m43 m44) [1 0 0 0 1] [ko kf kg kh ke ] 4x5=20 lineáris egyenlet; az ismeretlenek: 15 darab mik (1 szabadon választható, ha 0) +5 darab kj együttható

A három iránypontos perspektíva mátrixa:   M3= ( fusa/a gusb/b husc/c ou ) ( fvsa/a gvsb/b hvsc/c ov ) ( 0 0 0 ow ) ( sa/a sb/b sc/c 1 ) a, b, c a TKR-ben adott téglatest oldalai, a’ és c’ a és c képének hossza, (ou,ov) az O’ a képsíkon, ow tetszőleges, (fu,fv), (gu,gv) és (hu,hv) az X,Y,Z tengelyek ideális pontjának képe a képsíkon sa= O’A’/A’F, sb=O’B’/B’G, sc=O’C’/C’H

5.2.2. Párhuzamos vetítések Kevésbé valószerű Affin transzformáció 4 „független” pont és képe meghatározza A képsíkra merőleges, vagy ferde szög alatt Műszaki szabványok egyszerűbb rajzolni a méretek könnyebben leolvashatók a műszaki életben megszokott

Merőleges vetítés koordináta-síkokra A harmadik koordináta elhagyása „Monge-féle ábrázolás” A F H E J B

Kiegészítő nézet ferde síkra A test jellemző síkjával párhuzamos síkra Forgatással és nyírással visszavezethető a merőleges vetítésre

Kavalier perspektíva, frontális axonometria A képsík || az XY síkkal, ferde szögű párhuzamos vetítés X’ = U, Z’ = V, 1:1 Y’ 45 fokban hátrafelé, 1:2 P’ = M · P; M = (1 t 0 0) |0 t 1 0| |0 -1 0 0| (0 0 0 1)

Axonometria Párhuzamos, merőleges vetítés egy ferde állású képsíkra „tengelyméretes ábrázolás”: különböző előírások a tengelyirányú rövidülésekre Az a szakasz rövidülése: k = a’/a= cos a (iránykoszinusz) A három tengelyirányú rövidülésre: k2 + l2 + m2 = 2 Megőrzi a párhuzamosságot és egy-egy irányban a szakaszok arányát a tér egy affin transzformációjával és ezt követően a harmadik (z) összetevő elhagyásával (merőleges vetítés a z=0 síkra) számolhatók

A rajz szokásos elrendezése: V Z’ U X’ Y’

Izometria Egyméretű axonometria k = l = m = 2/3 = 0.82…; (!) A határozatlan együtthatók módszerével: M*[OPQR] = [O’P’Q’R’] M = (m11 m12 m13 m14)= |m21 m22 m23 m24| (m31 m32 m33 m34) = ( -t t 0 0 ) | -f/2 -f/2 f 0 | ( 0 0 0 h ) h = -3/3, f = 2/3, és t = 1/2

Dimetria l = m = 0.94..; k = l/2 = 0.47… Rajzolási szabály (jó közelítés): X” balra lefelé 7/8 irányban Y” jobbra lefelé 1/8 irányban az Y és Z méretek 1:1 az X méretek: 1:2 P’=M · P; M = ( -2/4 21/8 0 0 ) |-14/12 –2/12 8/3 0 | ( -7/3 –1/3 –1/3 1/3)

Trimetria Három különböző rövidülés: k, l, m; adott paraméterek P’=M · P ; M mozgás: O’ a KKR origója (T) fölött, Z” = V tengely Az X, Y, Z tengelyek képe a képsíkot P, Q, R-ben döfi. cos a = k cos b = l cos g = m