Kvantitatív módszerek 2013 ősz MINTAVÉTEL, LEÍRÓ STATISZTIKA Kvantitatív módszerek október 1.

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Valószínűségszámítás - Matematikai statisztika A valószínűségszámítás tárgya: a véletlen tömegjelenségekben rejlő statisztikai törvényszerűségek vizsgálata A matematikai statisztika (a valószínűségszámítás egyik fejezete) célja: következtetés tapasztalati (megfigyelési, mérési) adatokból események ismeretlen valószínűségeire, valószínűségi változók ismeretlen eloszlásfüggvényére vagy azok paramétereire. Valószínűségelmélet: ismert az eloszlásfv. és annak paraméterei  valószínűséggel kapcsolatos kérdések megválaszolhatók Valóság: a paraméterek ismerete nélkül a kérdéses valószínűségeket nem tudjuk meghatározni  mintavétel  adatfeldolgozás  leíró statisztika  következtető statisztika (becslés és hipotézisvizsgálat) 2

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Sokaság: a vizsgálat tárgyát képező egységek összessége Minta: valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kísérlet vagy megfigyelés (mérés) eredménye Mintavétel Következtetés Matematikai statisztika lényege A megfigyelési eredmények a minta elemei, a megfigyelések száma a minta nagysága vagy elemszáma. 3

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Mintavétel A sokaság egy részének kiválasztását mintavételnek, a sokaság így kiválasztott részét pedig mintának nevezzük. Cél: segítségével következtetéseket vonjunk le a teljes sokaságra vonatkozóan. NEM A MINTA KONKRÉT JELLEMZÉSE ÉRDEKEL BENNÜNKET. A MINTA CSAK EGY ESZKÖZ, AMELYNEK SEGÍTSÉGÉVEL KÖVETKEZTETNI KÍVÁNUNK A SOKASÁGRA, ILL. ANNAK TULAJDONSÁGAIRA. Így részleges megfigyelések eredményéből következtetünk a teljes sokaságra  A statisztikai mintavételek és az ebből származó adatokat felhasználó elemzések mindig tartalmaznak hibákat. A statisztikai hiba a statisztika szükségszerű velejárója, és fontos annak számszerűsítési képesssége. 4

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Mintavételi hiba Mintavétellel kapcsolatos hibák két nagy csoportja:  Adatgyűjtéshez kapcsolódó hibák: pl. definíciós hibák, nemválaszolási hibák, végrehajtási hibák – NEM MINTAVÉTELI HIBA A technika fejlődésével sokféle módon lehet ellene védekezni  A teljes sokaság megismeréséről való lemondás ára – MINTAVÉTELI HIBA olyan eljárásokat keresünk, hogy ez a lehető legkisebb legyen  A mintavételi hiba annál kisebb, minél nagyobb a minta. 5

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Adatfelvételi módok 6 Adatfelvétel Teljes körű – csak véges sokaság esetén (pl. népszámlálás) Részleges Kísérleti eredmények gyűjtése Mintavételes megfigyelés Egyéb részleges megfigyelés Véletlen(szerű) kiválasztás Nemvéletlen(szerű) kiválasztás ismert vagy meghatározható a sokaság elemeinek mintába kerülési esélye reprezentativitás Mintavételi hiba számszerűsítési képessége

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Véletlen mintavételi eljárások Statisztikai minta definíciója: valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kísérlet vagy megfigyelés (mérés) eredménye a minta elemeknek azonos eloszlásúnak és függetlennek kell lennie (FAE minta) FAE minta: homogén és végtelen nagy sokaságból veszünk véletlen, visszatevéses vagy visszatevés nélküli mintát (vagy véges sokaságból egyenlő valószínűséggel visszatevéses mintát) Gyakorlati alkalmazása: tömegtermelés minőség-ellenőrzés, általában nem áll teljes lista rendelkezésre, ezért részleges listákkal pótoljuk. 7

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Egyszerű véletlen (EV) mintavétel  Homogén, véges elemszámú sokaság esetén visszatevés nélküli minta  Minden lehetséges n elemű minta kiválasztásának azonos valószínűséget biztosítva  Tiszta alkalmazása ritka a társ. és gazd.tudományi területen (nem homogén sokaságok), de viszonyítási alapként tekintjük EV minta készítése: 1. Komplett lista összeállítása 2. Mintanagyság meghatározása (sokaság szóródása, költségek, pontossági követelmények) 3. Kiválasztás tervezett véletlen módon (véletlenszám-generátor, véletlenszám- táblázat) EV vs. FAE minta  Homogén sokaságok esetén  FAE visszatevéssel, EV visszatevés nélkül  FAE elméleti tulajdonságok, EV gyakorlati hasznosság 8 Véletlen mintavételi eljárások

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Véletlen mintavételi módok EV minta készítésének másik esete: szisztematikus kiválasztás  Teljes lista  k=N/n lépésköz meghatározása, k 0 véletlen kiindulópont, a k lépésköz n-szeri felvétele  Egyszerű, gyors eljárás, a minta mechanikusan kiválasztható  Ha a lista a vizsgált ismérv szerint véletlenszerűen van sorba rendezve, akkor megegyezik a véletlen kiválasztással A szisztematikus kiválasztás nem tekinthető véletlen mintának, ha:  Ha a lista sorrendjét meghatározó, valamint a felvétel során vizsgált ismérv sztochasztikus kapcsolatban áll egymással  Ha a lista a vizsgált ismérv szerint periodikus hullámzást mutat 9

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Rétegzett (R) minta alkalmazása:  Heterogén fősokaság jellemzőire vonatkozó következtetések levonása a heterogenitást figyelembe vevő minta alapján  Inhomogén, véges sokaság  Rétegképző ismérv és rétegenkénti listák ismerete  A sokaságot homogén(ebb) részsokaságokra bontjuk (átfedésmentesen és teljesen), majd a rétegeken belül egymástól függetlenül egyszerű véletlen mintavételt végzünk. Előnye:  Azonos mintanagyság mellett kisebb mintavételi hibát eredményez, mint az EV minta (ha jól választunk rétegképző ismérvet)  A sokaság rétegeinek száma: M, az egyes rétegeken belül a sokaság N 1, N 2, …., N j, …, N M elemet tartalmaz. A minta elemszáma: n, az egyes rétegeken belül n 1, n 2, …., n j, …, n M elemű mintát veszünk: 10 Véletlen mintavételi módok

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Rétegzett minta elosztásának formái: a minta teljes elemszámát hogyan osszuk szét az egyes rétegek között?  Egyenletes elosztás: minden rétegbe azonos számú mintaelem kerül egyszerű eljárás, az egyes rétegek mintavételi hibáinak összege minimális ha a rétegek egyforma nagyságúak, akkor egyben arányos is lesz  Arányos elosztás: a mintába a sokasági arányoknak megfelelően választjuk meg az elemszámot (nagy gyakorlati jelentőség) egyszerű eljárás, a mintában ugyanazok a súlyarányok érvényesülnek, mint a sokaságban alapvető mutatók mintavételi hibája minimális (ha a rétegenkénti sokasági szórások nem ismertek, és azonosnak tekinthetők)  Neyman-féle optimális elosztás: ha ismerjük a rétegenkénti sokasági szórásokat, akkor kedvezőbb mintát kapunk, ha a nagyobb szórású rétegekből nagyobb mintát veszünk. Nehezebb végrehajtás a főátlagot ilyen mintából számítva (adott n mellett) minimális mintavételi hibát kapunk  Költségoptimális elosztás: ismeretes az egyes rétegek megfigyelési egységköltsége 11 Véletlen mintavételi módok

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Csoportos mintavétel (CS) alkalmazása:  Homogén, véges sokaságok esetén  Nem áll rendelkezésre teljes lista, de nagyobb csoportokra igen  A csoportok koncentráltságuk miatt olcsóbban megfigyelhetők, mint a hasonló számosságú, de nem koncentráltan előforduló egyedek  Egyszerűbb és olcsóbb, mint az azonos nagyságú EV minta  Ha a csoporton belüli homogenitás nagy, sok felesleges megfigyelést tartalmaz  Ha a csoporton belüli heterogenitás nagy, akkor az EV mintával megegyező pontosságú Lépései:  Csoportok közül választunk egyszerű véletlen mintavétellel  A kiválasztott csoportot teljes körűen megfigyeljük Megjegyzés:  R minta esetén a rétegen belüli homogenitás, CS minta esetén a csoportokon belüli heterogenitás a kedvező tulajdonság  Az R minta azonos elemszám esetén az EV mintánál kisebb hibát eredményez, nagyobb költséggel, a CS minta nagyobb hibákhoz vezet, kisebb költséggel 12 Véletlen mintavételi módok

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Többlépcsős mintavétel alkalmazása:  Kétlépcsős változata: (1) csoportos mintavétel; (2) csoportokból is egyszerű véletlen minta  Azonos mintanagyság mellett kisebb hibát eredményez, mint a csoportos mintavétel  A mintaelosztás tervezése nem egyszerű feladat 13 Véletlen mintavételi módok Nemvéletlen mintavételi eljárások Ebben az esetben nincs biztosítva, hogy a minta a sokaságra valóban jellemző legyen Nem számszerűsíthető a mintavételi hiba Itt is cél, hogy a mintából a sokaságra következtessünk, van reprezentációra való törekvés, de az általánosítás kétes. Egyszerű végrehajtás, olcsó eljárások.

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Nemvéletlen mintavételi eljárások Szisztematikus mintavétel:  Amennyiben a megfigyelések a listán a vizsgált ismérvtől független sorrendben szerepelnek, akkor egyszerű véletlen mintának is tekinthető. Kvóta szerinti mintavétel:  nem véletlenszerű a kiválasztás, de a sokaság bizonyos ismérvek szerinti megoszlását tartani kell.  Ezen ismérvek szerint reprezentatív lesz, de más ismérvek szerint a választás önkényes, ez torzítja az összetételt. Koncentrált minta:  A sokaságból egy fontosnak tekintett mennyiségi ismérv szerint azokat veszik a mintába, amelyek a sokaság nagy részét az ismérv szerint koncentrálják. Hólabda kiválasztás:  ritka nehezen számba vehető sokaságok esetén  Néhány kiválasztott egyedből indulnak, majd ezek mindegyike ismeretségi körében keresi az újabb mintaelemeket és így tovább Önkényes minta:  Teljesen önkényes választása az elemeknek. 14

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Sokaság: a vizsgálat tárgyát képező egységek összessége Minta: valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kísérlet vagy megfigyelés (mérés) eredménye Mintavétel Következtetés Mintavétel LEÍRÓ STATISZTIKA KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA 15

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Statisztikai módszertan ágai LEÍRÓ vagy DESKRIPTÍV statisztika  A vizsgálat tárgyát képező jelenség tömör, számszerű jellemzését adja.  Nem lép túl a megfigyelés körén, de a megfigyelt adatok legjobb megértésére, bemutatására, összefoglaló jellemzésére törekszik. Például:  Népszámlálási adatok feldolgozása, elemzése, a népesség számával, összetételével kapcsolatos jellemzők közzététele, megjelenítése  Gazdasági szervezetek legfontosabb adatainak közzététele statisztikai évkönyvekben  Lakásépítésről, oktatásról készített statisztikai összefoglaló  Vállalat gazdálkodásának vizsgálata 16

Kvantitatív módszerek 2013 ősz KÖVETKEZTETŐ statisztika  Fő célja a mintából való következtetés, általánosítás a teljes sokaságra vonatkozóan. Például:  Minőség-ellenőrzés  Lakosság jövedelmi különbségeinek elemzése  Ingatlan árbecslések  Befektetési tanácsadások  Könyvvizsgálat  Mezőgazdaság 17 Statisztikai módszertan ágai

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Leíró statisztika Területei: 1. adatgyűjtés 2. adatok ábrázolása 3. adatok csoportosítása, osztályozása 4. adatokkal végzett egyszerűbb aritmetikai műveletek 5. eredmények megjelenítése 18

Kvantitatív módszerek 2013 ősz 1. Adatgyűjtés Az egyedi mérésekből származó adatok (mennyiségi ismérvek) lehetnek diszkrétek és folytonosak. Egy diszkrét mennyiségi ismérv csak véges vagy megszámlálhatóan sok, egymástól jól elkülöníthető értéket vehet fel.  Háztartások nagysága  Gazdálkodó szervezetek nagysága  Balesetek száma  Mogyorós csokiban a mogyorók száma  Adott időszak alatti meghibásodások száma Egy folytonos mennyiségi ismérv valamely adott intervallumon belül bármilyen értéket felvehet.  Háztartások jövedelme  Lakások alapterülete  Gépkocsi abroncsok futásteljesítménye  Bux index havi hozamadata 19

Kvantitatív módszerek 2013 ősz 2. Az adatok ábrázolása Eszközei:  Oszlopdiagram  Kördiagram  Vonaldiagram  Sávdiagram 20

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Oszlopdiagram 21

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Kördiagram 22

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Sávdiagram 23

Kvantitatív módszerek 2013 ősz Vonaldiagram 24

Kvantitatív módszerek 2013 ősz 3. Adatok csoportosítása, osztályozása Egy mennyiségi ismérv szerinti rendezés és osztályozás  X mennyiségi ismérv (X i változatai különbségi vagy arányskálán mért, valamilyen mértékegységgel rendelkező számértékek)  X a továbbiakban változó, X i (ismérv)érték Rangsor  A sokaság egységeinek sorba rendezése az X változó nagysága szerint  A rangsor a megfigyelési egységeknek és/vagy azokhoz tartozó X i ismérvértékeknek monoton nemcsökkenő sorrendben történő felsorolása.  Készítésének célja: megkönnyítse a sokaság egységeinek X változó szerinti osztályozását Osztályozás  Gyakorisági sor, gyakorisági eloszlás 25