Kvantitatív módszerek Konzultáció - döntéselmélet

Döntéselmélet – Példa 1 A Korman Industries olyan zenei cd-ket állít elő, amelyeket postai úton juttatnak el a közönségnek. Méretgazdaságossági és ütemezési problémák miatt a Korman üzletpolitikája az, hogy egy adott hanganyagból legyártani szánt példányokat egyetlen termelési ütem alatt állítják elő. Ha a piaci kereslet nagyobb, mint a legyártott mennyiség, akkor a vevők (akik megrendelték, de nem jutott cd) egy 4$-os kupont kapnak, amelyet a vevő bármelyik más cd megvásárlásakor felhasználhat. Ha a legyártott mennyiség meghaladja a piaci keresletet, akkor a fennmaradó cd-ket 5$-ért adják el egy zenei áruháznak. Ez az 5$ éppen egy cd változó költségének a fele. A Korman egy újonnan kötött megállapodás értelmében most fizetett $-nyi jogdíjat egy adott hanganyagért, amelyről készült cd-t 50$-ért kívánja majd értékesíteni. A piackutató részlegük előrejelzése szerint az alábbi piaci keresleti szintek fordulhatnak elő: 20000, 40000, 60000, és db.

Fix költség: $, változó költség: 10$/db Készítsük el a döntési mátrixot!Tételezzük fel, hogy nincs információnk a piaci keresleti szint valószínűségéről! Tételezzük fel, hogy a korábbi tapasztalatok alapján a következő valószínűségek rendelhetők az egyes keresleti szintekhez: 0,1; 0,3; 0,4; 0,2. A vállalatvezetés úgy döntött, hogy csak akkor veszi meg a jogdíjat, ha várhatóan db-ot el tud adni a cd-ből. A piackutató részleg gyorsfelmérést végzett. A részleg által adott előrejelzés az esetek 65%-ában jelezte előre helyesen a db eladását. A piackutató részleg 20000db keresleténél 10%-ban jelezte a 60000db eladását, 40000db keresleténél 15%-ban és db keresleténél pedig 10%- ban. Mekkora valószínűséggel veszi meg a jogdíjat? Hosszú távon mekkora profitja lesz a cd-k eladásából a vállalatnak? Döntéselmélet – Példa 1

Megoldás – Példa 1 Pénzügy eredmény= Ár1 * x + -fix költség –változó költség * x (+többletbevétel/extraköltség) t 1 : 20000t 2 : 40000t 3 : 60000t 4 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 :

Megoldás – Példa 1 Bizonytalan döntések osztálya – Wald kritérium – Maximax t 1 : 20000t 2 : 40000t 3 : 60000t 4 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 : t 1 : 20000t 2 : 40000t 3 : 60000t 4 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 :

Megoldás – Példa 1 Bizonytalan döntések osztálya – Savage t 1 : 20000t 2 : 40000t 3 : 60000t 4 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 : t 1 : 20000t 2 : 40000t 3 : 60000t 4 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 :

Megoldás – Példa 1 Bizonytalan döntések osztálya: Laplace t 1 : 20000t 2 : 40000t 3 : 60000t 4 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 :

Megoldás – Példa 1 Bizonytalan döntések osztálya: Hurvicz – Legyen az optimizmus együttható: 0,8 t 1 : 20000t 2 : 40000t 3 : 60000t 4 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 :

Megoldás – Példa 1 Kockázatos döntések osztálya – Maximum likelihood kritérium: – Várható érték kritérium: Ehhez legközelebb a t 3 van. A megoldás menete ugyanaz innen, mint az ML kritériumnál. t 1 : 20000t 2 : 40000t 3 : 60000t 4 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 :

Megoldás – Példa 1 Kockázatos döntések osztálya – Várható pénzérték kritérium: t 1 : 20000t 2 : 40000t 3 : 60000t 4 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 :

Megoldás – Példa 1 Kockázatos döntés pótlólagos információk alapján  Z esemény: a piackutató 60000db- ot jelez előre A priori val. Felt. val.Posteriori val. (Bayes tétel)

Megoldás – Példa 1 t 1 : 20000t 2 : 40000t 3 : 60000t 4 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 :

Döntéselmélet – Példa 2 A Santa Claus Tree Company megszerezte a bérleti jogát egy olyan területnek, ahol akár 1 millió db fenyőfa kivágására is lehetősége nyílik. A vállalatnak döntenie kell, hogy hány fát vágjon ki és szállítson le az értékesítési helyeire december folyamán. Ha a vállalat keveset vág ki, akkor potenciális bevételtől eshet el, ha pedig a keresletnél többet vág ki, akkor a kivágás és szállítás költségeivel kell számolnia az el nem adott fák esetében. Karácsony után pedig nyilván nincs kereslet e fenyőfákra. A terület bérleti díja 50000$/év + a bérleti díj változó része: 2$/fa. Egy fenyő kivágásának és szállításának további becsült költsége 1$/fa. Keresleti szintValószínűség , , , , ,1 A marketing részleg előrejelzése szerint a keresleti viszonyok és azok valószínűsége az alábbiak szerint alakul

Döntéselmélet – Példa 2 Egy fenyőfát 8$-ért kívánnak értékesíteni. Készítsük el a döntési mátrixot! Tételezzük fel, hogy nincs információnk a piaci keresleti szint valószínűségéről! Használjuk fel a marketing részleg által adott valószínűségekre vonatkozó információkat! A vállalatvezetés úgy döntött, hogy csak akkor veszi át a terület bérleti díját, ha várhatóan db-ot el tud adni a fákból. A marketing részleg által adott előrejelzés az esetek 68%-ában jelezte előre helyesen a db eladását. A részleg 50000db keresleténél 5%-ban jelezte a db eladását, db keresleténél 12%-ban és db keresleténél 8%-ban és db keresleténél pedig 7%ban. Mekkora valószínűséggel veszi meg a területet? Hosszú távon mekkora nyereségre számíthat a vállalat?

Megoldás – Példa 2 Döntési mátrix (ezer dollárban): Bizonytalan döntések – Wald kritérium: s 1 stratégia, db t 1 : 50000t 2 : t 3 : t 4 : t 5 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 : s 5 :

Megoldás – Példa 2 Bizonytalan döntések osztálya: – Maximax kritérium: s 5 stratégia (200000db) t 1 : 50000t 2 : t 3 : t 4 : t 5 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 : s 5 :

Megoldás – Példa 2 Bizonytalan döntések osztálya – Savage kritérium: db t 1 : 50000t 2 : t 3 : t 4 : t 5 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 : s 5 : t 1 : 50000t 2 : t 3 : t 4 : t 5 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 : s 5 :

Megoldás – Példa 2 Bizonytalan döntések osztálya – Laplace kritérium t 1 : 50000t 2 : t 3 : t 4 : t 5 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 : s 5 :

Megoldás – Példa 2 Bizonytalan döntések osztálya: – Hurvicz kritérium (opt. együttható legyen:0,65) t 1 : 50000t 2 : t 3 : t 4 : t 5 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 : s 5 :

Megoldás – Példa 2 Kockázatos döntések osztálya – ML kritérium t 1 : 50000t 2 : t 3 : t 4 : t 5 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 : s 5 :

Megoldás – Példa 2 Kockázatos döntések osztálya – VÉ kritérium t 1 : 50000t 2 : t 3 : t 4 : t 5 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 : s 5 :

Megoldás – Példa 2 Kockázatos döntések osztálya: VP kritérium t 1 : 50000t 2 : t 3 : t 4 : t 5 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 : s 5 :

Megoldás – Példa 2 Kockázatos döntés pótlólagos információk alapján  Z esemény: db-ot jelez előre A priori val. Felt. val.Posteriori val. (Bayes tétel)

Megoldás – Példa 2 t 1 : 50000t 2 : t 3 : t 4 : t 5 : s 1 : s 2 : s 3 : s 4 : s 5 : ,015 0,840,0740,05 0,0216

Döntéselmélet – Példa 3 A Bartlett Corporation fénycsövekkel lát el kaliforniai irodákat. Az elmúlt 20 évben komoly erőfeszítéseket tett a minőségi termékgyártás irányába, és elég nagy ügyfélkört alakított ki. A Bartlett is folyamatosan növelni szeretné a nyereségét más vállalatokhoz hasonlóan. A Bartlett beszerzési igazgatója olyan fénycsőforrásokat keres, amelyek hozzájárulnak az előbbi cél megvalósításához. Pillanatnyilag a Brightday nevű vállalattól vásárolják a fénycsöveket. E beszállító a múltbeli tapasztalati adatok alapján az alábbi hibaaránnyal dolgozik. HibaarányValószínűség 0,010,5 0,020,4 0,030,1 Összesen1

A Bartlett Corporation garanciavállalása szerint a hibás fénycsöveket kicserélik, és a cserével kapcsolatos költségeket (5$/db) a vállalat állja. A marketing osztály db fénycső keresletét jelzi előre a következő évre. Ha mind a db fénycsövet a Brightdaytől szerzik be, akkor a hibás fénycsövek aránya és költsége az alábbiak szerint alakul: A várható csereköltség 8000$ db iránti kereslet esetén. Döntéselmélet – Példa 3 Hibás darabok száma KöltségValószínűségKöltségek várható értéke , , ,11500 Összesen18000

A Bartlett Corporationnél jelentkezett egy újabb beszállító, a West German. A db fénycsőre egy 0,25$/db alacsonyabb árajánlatot adott, mint amit a Brightday pillanatnyilag nyújt. Bár a beszállítás költsége alacsonyabb, a Bartlettnek nincs közvetlen információja a West German hibaarányáról. Ennek becsléséhez más európai beszállítók révén szerzett tapasztalataikat használják fel. Döntéselmélet – Példa 3 HibaarányValószínűség 0,010,1 0,020,1 0,040,3 0,080,3 0,100,1 0,150,1 Összesen1,0

A várható csereköltség (West German) db fénycső esetén: A várható csereköltség 32000$ db iránti kereslet esetén >> 8000$ (Brightday). Ám a West German által szállított fénycsövek 0,25$-ral olcsóbbak, ez db esetén: 25000$, ehhez hozzáadva a 8000$- t=33000$. Döntéselmélet – Példa 3 HibaarányHibás darabok KöltségValószínűségVárható költség 0, ,1500 0, , , , , , , , , ,17500 Összesen1,032000

Döntéselmélet – Példa 3 Eddig a várható érték kritériumot alkalmaztuk. Ha az előző számítást vesszük, akkor az a West German mellett szól. Ugyanakkor a Bartlett a hosszú távú partnerkapcsolatok mellett érvelve fontosnak tartja a Brigthdayt, mint üzleti partnert, így további információkhoz szeretne hozzájutni. Ezért a West Germantől mintát kér, és az így szerzett pótlólagos információkat kívánja meg kombinálni az a priori információkkal, hogy jobb döntést hozzon – ehhez a Bayes logikát használja. A bekért 50 elemű mintában 6 darab volt hibás. Hogyan döntsön a vállalat?

Megoldás – Példa 3 Feltételes valószínűségek meghatározása: az egyes hibaarányok, mint feltételek mellett, mekkora a valószínűsége annak, hogy egy 50 elemű mintában 6 hibásat találunk? „A” esemény: egy 50 elemű mintában 6 a hibás, keressük: a P(A|B i ) valószínűségeket, a B i események (hibaarányok) teljes eseményrendszert alkotnak, páronként kizárják egymást Ezek a hibaarányok lesznek a binomiális eloszlás „p” értékei Feltételes valószínűségek meghatározása: táblázat vagy képlet alapján: HibaarányA priori valószínűség Feltételes valószínűségek 0,010,10,000 0,020,10,0004 0,040,30,0108 0,080,30,1063 0,100,10,1541 0,150,10,1419 Összesen1

Megoldás – Példa 3 Következő feladat: az a priori és az újonnan szerzett részleges információk ötvözése  Bayes tétel Az „A” esemény (egy 50 elemű mintában 6 hibás) valószínűsége (a teljes valószínűség tétele alapján) és a posteriori valószínűségek (a Bayes tétel alapján): HibaarányA priori valószínűség Feltételes valószínűségek P(A|B i )*P(B i )Posteriori valószínűségek P(B i |A) 0,010,10, ,020,10,00040,000040, ,040,30,01080,003240, ,080,30,10630,031890, ,100,10,15410,015410, ,150,10,14190,014190, Összesen10,064771

Megoldás – Példa 3 A régi és új információk ötvözése alapján a priori valószínűségek szerepét a posteriori valószínűségek veszik át: Mivel $30000<$49028,08 az eredeti (rendelkezésre álló) információk alapján hozott döntés módosult a pótlólagos információk következtében. HibaarányHibás darabok KöltségValószínűségVárható költség 0, , ,000618$6,18 0, ,050023$1000,46 0, ,492358$19694,32 0, ,237918$11895,9 0, ,219083$16431,22 Összesen1,0$49028,08

Döntéselmélet – Példa 4 A Feldíszítlek vállalat karácsonyi világítást szállít be különböző üzletláncoknak szerte az országban. Ebben az évben e vállalatnak két fő beszállítója van. Az egyik beszállító garantálja, hogy db-os tételekben a hibaarány nem több, mint 3%. A másik beszállító nem vállal garanciát, viszont 0,02$-ral kevesebbért kínálja a világítások darabját. A Feldíszítlek vállalat vezetői a második beszállító hibaarányával kapcsolatban az alábbi a priori valószínűségekkel rendelkezik: HibaarányValószínűség 0,020,4 0,030,2 0,100,3 0,200,1

Döntéselmélet – Példa 4 A Feldíszítlek hibás világítás esetén ingyen cserét vállal, amelynek költsége 0,50$/db. Cél: választani a beszállítók között úgy, hogy a várható költségeket minimalizáljuk. Hogyan döntsön a vállalat? Hogyan döntsön, ha tökéletes információja van a hibaarányokat illetően? Feladat: el kell, hogy döntsük, hogy melyik beszállítót válassza úgy, hogy közben a várható költségeket minimalizálja

Megoldás – Példa 4 1. beszállító: a várható költség két részből áll – A hibás világítások cseréjének várható költsége – Az a költség-különbözet, amely abból fakad, hogy e világítások ára magasabb. Ha a 3%-os hibaarányt elfogadjuk, akkor egy es tétel várható költsége a fentiek alapján: Az 1. beszállítóval kapcsolatos költségek várható értéke: $1750

A 2. beszállítóval kapcsolatban a csere várható költségét kell figyelembe vennünk: A 2. beszállítóval kapcsolatos költségek várható értéke: $1600<$1750, így a 2. beszállítót érdemes választani. Megoldás – Példa 4 Hibaarány50000db-os tételben a hibák száma A hiba költsége ValószínűségA várható költségek 0,021000$5000,4$200 0,031500$7500,2$150 0,105000$25000,3$750 0, $50000,1$500

Megoldás – Példa 4 Ha tudnánk, hogy melyik hibaarány áll elő biztosan, akkor ennek alapján állítható, hogy ha a hibaarány 2 vagy 3%, akkor a 2. beszállítót érdemes választani. Ha a 2. beszállító hibaaránya 10 vagy 20%, akkor az 1. beszállítót érdemes választani. A tökéletes információ birtokában hozott döntés várható költsége: A tökéletes információ várható értéke:

Példa 5 ABCDEFGHJKa AJó fizetés BRendszeres prémium CMagas nyereségrészesedés DNe kelljen nagyon keményen dolgozni -0 EJó viszony a munkatársakkal FJó viszony a vezetővel 1- 1 GÉrdekes munkafeladatok HElőmeneteli lehetőség JJó munkafeltételek KA jól végzett munka megbecsülése ΣÖsszesen

Példa 5 Készítsük el az egyéni döntéshozónk rangsorát az értékelési tényezőket illetően! Számítsuk ki a következetességi mutatót! Végezzük el annak szignifikancia vizsgálatát! Giulford-féle súlyszámképzéssel transzformájuk a rangsort intervallumskálára!

Megoldás – Példa 5 Rangsor a Rangszám AJó fizetés 91 BRendszeres prémium 63,5 CMagas nyereségrészesedés 55,5 DNe kelljen nagyon keményen dolgozni 010 EJó viszony a munkatársakkal 2 8 FJó viszony a vezetővel 1 9 GÉrdekes munkafeladatok 5 5,5 HElőmeneteli lehetőség 4 7 JJó munkafeltételek 6 3,5 KA jól végzett munka megbecsülése 7 2 ΣÖsszesen45

Megoldás – Példa 5 Következetesség számítása a a2a2 AJó fizetés 981 BRendszeres prémium 636 CMagas nyereségrészesedés 525 DNe kelljen nagyon keményen dolgozni 00 EJó viszony a munkatársakkal 2 4 FJó viszony a vezetővel 1 1 GÉrdekes munkafeladatok 5 25 HElőmeneteli lehetőség 4 16 JJó munkafeltételek 6 36 KA jól végzett munka megbecsülése 7 49 ΣÖsszesen45 273

Megoldás – Példa 5 Szignifikancia vizsgálat, n>7 Ez a χ 2 érték kb. 0,1%-os szignifikancia szintnek felel meg, ennek komplementerét véve d szignifikancia szintje 99,9% (legfeljebb ekkora a valószínűsége annak, hogy a d=6 körhármast véletlenszerűen kaptuk)  mivel ez elég nagy, így a döntéshozó szignifikánsan következetes.

Megoldás – Példa 5 a PuSkála- érték AJó fizetés 90,951,64100 BRendszeres prémium 60,650,3961,9 CMagas nyereségrészesedés 50,550,1353,9 DNe kelljen nagyon keményen dolgozni 00,05-1,640 EJó viszony a munkatársakkal 2 0,25-0,6829,3 FJó viszony a vezetővel 1 0,15-1,0418,3 GÉrdekes munkafeladatok 5 0,550,1353,9 HElőmeneteli lehetőség 4 0,45-0,1346 JJó munkafeltételek 6 0,650,3961,9 KA jól végzett munka megbecsülése 7 0,750,6870,7 ΣÖsszesen45

Példa 6 Aggregált preferenciamátrix ABCDEFGHIJ A B C D E F G H I J

Példa 6 Készítsük el a három döntéshozónk együttes rangsorát az értékelési tényezőket illetően! Giulford-féle súlyszámképzéssel transzformájuk a rangsort intervallumskálára!

Megoldás - Példa 6 ABCDEFGHIJa Rang- sor A B ,5 C D E F G ,5 H I J

Megoldás – Példa 6 ABCDEFGHIJaa2a2 pu A ,820,92100 B ,580,271,88 C ,32-0,4745,70 D ,05-1,640,00 E ,550,1369,14 F ,45-0,1358,98 G ,580,271,88 H ,28-0,5841,41 I ,620,3176,17 J ,750,6790,23

Példa 7 3 döntéshozó 10 értékelési tényezőre vonatkozó rangsora: Számítsuk ki az egyetértés mértékét! Végezzük el a kapcsolódó hipotézisvizsgálatot 1%-os szignifikancia szinten! Mérjük az X és Y, valamint X és Z rangsor közötti rangkorrelációs kapcsolatot, és teszteljük is az együtthatókat 5%-os szignifikancia szinten! ABCDEFGHIJ X Y Z13,55,510895,573,52

Megoldás – Példa 7 Egyetértés mértékének mérése – van kötés! ABCDEFGHIJ X Y Z13,55,510895,573,52 Rang- szám- összeg 713,522, ,52412,58

Megoldás – Példa 7 Egyetértési együttható: Nullhipotézis: nincs egyetértés a rangsorolók között, vagyis W >0 a véletlennek és nem pedig az egyetértésnek tulajdonítható. Ellenhipotézis: nem a véletlennek tekintjük W adott és 0-nál nagyobb értékét, hanem az egyetértésnek. <

Megoldás – Példa 7 Rangkorrelációs kapcsolat az X és Y rangsor között – egy kötés, nem jelentős torzító hatás ABCDEFGHIJ X Y d2d

Megoldás – Példa 7 Szignifikancia vizsgálata H 0 : r s =0 H 1 : r s ≠0 α=0,05, a kritikus értékek: t α/2 =t 0,975 = ±2,306 Mivel a számított érték az elfogadási tartományba esik, így az, r s nem használható a két rangsor közötti kapcsolat jellemzésére.

Megoldás – Példa 7 Rangkorrelációs kapcsolat az X és z rangsor között – több kötés, van torzító hatás ABCDEFGHIJ X Z13,55,510895,573,52 d2d2 00,256, ,254 1

Megoldás – Példa 7 Szignifikancia vizsgálata H 0 : r s =0 H 1 : r s ≠0 α=0,05, a kritikus értékek: t α/2 =t 0,975 = ±2,306 Mivel a számított érték az elutasítási tartományba esik, így az r s használható a két rangsor közötti kapcsolat jellemzésére, különbözik 0-tól az értéke, és az nem a véletlennek tulajdonítható.