Kvantitatív módszerek

Az előadások a következő témára: "Kvantitatív módszerek"— Előadás másolata:

1 Kvantitatív módszerek
Rangmódszerek alkalmazása

2 Komplex rendszerek mérésének főbb kérdései
Komplex rendszerek közötti döntés problémájával állunk szemben. A döntés választás, szükség van a komplex rendszerek rendezésére. Hogyan válasszuk meg az összemérendő komplex rendszerek tulajdonságait? Hogyan súlyozzuk a kiválasztott tulajdonságokat? Hogyan végezzük el az egyes tulajdonságok szerinti rendezést, majd ezután az együttesen tekintett tulajdonsághalmaz szerinti rendezést? A komplex rendszerek külön-külön tekintett tulajdonságok szerinti rendezése adhat egyértelmű rendezettséget (SORRENDET). Az egyik tulajdonság alapján jobb komplex rendszer egy másik tulajdonság szempontjából hátrébb lehet. Hogyan hozzunk kompromisszumos döntést? Számszerűsítési és mérési kérdések módszertani szempontjai.

3 Mérési skálák - ISMÉTLÉS
Mérés: összehasonlítás valamilyen skálával, etalonnal A mérés során alkalmazott számsoroktól elvárt tulajdonságok alapján négy különböző skálatípust különböztetünk meg: névleges (nominális) skála; sorrendi (rangsor, ordinális) skála; intervallum skála; arányskála. A mérési skálákat, a mérés szintjét a hozzárendelési szabályok határozzák meg: egyenlőségi sorrendiségi és additivitási axiómák. Kvantitatív módszerek

4 Nominális (névleges) skála
Az egyenlőségi axiómákra épül. vagy A=B vagy A ≠ B ha A=B akkor B=A ha A=B és B=C, akkor A=C A számok csak azonosításra szolgálnak. Egyedi dolgok azonosító számozása, ill. osztályok azonosítása Számítható statisztikai jellemzők: gyakoriság, módusz Példa: repülőjáratok, villamosok, futballisták, személyi igazolványok, útlevelek, postafiókok számozása, mezszámok, gyárban alkalmazott hibakód rendszer

5 Sorrendi (ordinális) skála
Két dolgot valamilyen közös tulajdonság alapján hasonlítunk össze. A sorrendiséget tükröző axiómák is érvényesek: 4. ha AB, akkor B<A 5. ha AB és BC, akkor AC A sorrendi skálán mért dolgoknak egy közös tulajdonság szerint kell összehasonlíthatóknak lenniük. A sorrendi skála a dolgok viszonylagos helyét is meghatározza, rendezi azokat. A sorrendi skálán mért dolgok nincsenek egymástól azonos távolságra, az egymást követő intervallumok nem azonos nagyságúak. Alkalmazható statisztikai műveletek: bármilyen monoton növekvő függvény szerint transzformálhatunk, gyakoriság, módusz, medián, kvantilisek, rangkorrelációs együttható, átlag, szórás NEM Példa: a termékek minőségi osztályba sorolása, kérdőíves felméréseknél egy-egy kérdésre adott válasz 3, 5, vagy 7 fokozatú skálán történő mérése.

6 Intervallumskála Ha a skála rendelkezik a sorrendi skála tulajdonságaival, továbbá a skálán lévő bármelyik két szám különbsége ismert és meghatározott nagyságú. Közös és állandó mértékegység jellemzi, és a számokat ennek alapján rendeljük a sorba rendezett dolgokhoz. A nullpontját és mértékegységét szabadon választjuk meg. A skálán számszerűen egyelő különbségek a valóságban is egyenlő különbséget jeleznek. Egy intervallumskálán bármelyik két intervallum aránya független a mértékegységtől és a nullponttól. Az intervallumskála értékeinek különbségei már rendelkeznek az additivitási tulajdonsággal. Példa: hőmérséklet, naptári idő, tengerszint feletti magasság, intelligencia, szélességi, hosszúsági körök, vízállás stb.

7 Arányskála (lineáris skála)
Legmagasabb rendű skála, legerősebb mérési forma Additivitási axiómák: ha A=P és B>0, akkor A+B>P A+B=B+A ha A=P és B=Q, akkor A+B=P+Q (A+B)+C=A+(B+C) Valódi nullpont, bármelyik két pontjának aránya független a mértékegységtől. Példa : klasszikus műszaki tulajdonságok, műszaki- és természettudományok A skálák hierarchikusan épülnek egymásra.

8 Miért foglalkozunk ezzel?
Nagyon sok gazdasági és társadalomtudományi jelenség legfeljebb sorrendi skálán mérhető! Sok esetben a kapott számok magasabb mérési szintűnek tűnnek, ezért nem megengedett műveleteket végeznek velük, amelynek eredménye a homályos vagy félrevezető értelmezés. Feladatunk: értékelési tényezők ill. komplex rendszerek rangsorolása  sorrendi skála szintű mérések

9 Rangmódszerek helye eddigi tanulmányainkban
Asszociációs kapcsolat: az egymással kapcsolatban álló ismérvek minőségi vagy területi ismérvek (mindkét változó nominális mérési szintű)  lásd asszociációs együttható, függetlenségvizsgálat Vegyes kapcsolat: az egyik vizsgált ismérv mennyiségi, a másik pedig minőségi vagy területi ismérv (az egyik változó különbségi vagy arányskálán, a másik pedig nominális skálán mérhető)  lásd heterogén sokaság vizsgálata, varianciaanalízis Korrelációs kapcsolat: mindkét vizsgált ismérv mennyiségi ismérv (mindkét változó különbségi vagy arányskálán mérhető)  korreláció- és regressziószámítás Rangkorrelációs kapcsolat: mindkét változó sorrendi skálán mérhető

10 Komplex rendszerek összemérési problémái
Komplex rendszernek tekintünk minden olyan rendszert, amelyet egyidejűleg több tulajdonság (értékelési tényező alapján) minősítünk. Az értékelési tényező olyan tulajdonság, amelyet nem önmagában, hanem az értékelés folyamatában tekintünk. Hogyan súlyozzuk az értékelési tényezőket? Az értékelési tényezők súlyozása: Kinek a számára, melyik értékelési tényező, milyen mértékben fontos? Az értékelési tényezők eltérő súlyozása közismert, de nem tudatosan érvényesül Preferenciareláció

11 Preferenciareláció Megelőzési reláció, ahol a megelőzés megállapítása az ún. előnyben részesítés, preferálás alapján történik. Jele: , mindig értékelést fejez ki. Egy értékelő személy (döntéshozó) bármely két: a és b értékelési tényező esetén háromféle értékelést adhat meg: a-t előnyben részesíti (preferálja) b-vel szemben: a→b, vagy a-t és b-t azonos fontosságúnak (indifferensnek) tekinti: a↔b, vagy b-t preferálja a-val szemben: b→a. A preferenciareláció tulajdonságai: a→a hamis (irreflexivitás) ha a→b igaz, akkor b→a hamis (aszimmetria) ha a → b és b → c igaz, akkor a → c is igaz (tranzitivitás) ha a-t és b-t nem azonosan preferálja, akkor a→b és b→a közül az egyik igaz (trichotómia)

12 Súlyozás sorrendi skálán
Kvantitatív módszerek

13 Egyéni döntés Cél: az értékelési tényezők relatív (egymáshoz viszonyított) súlyának a megállapítása úgy, hogy a tranzitivitás követelménye ne sérüljön. Az értékelési tényezők súlyát sorrendi skálán mérjük, így meg kell határoznunk azok preferencia-sorrendjét. Az értékelési tényezők hasznosságának a meghatározására szolgálnak a rangmódszerek: az értékelési tényezőket rangsorolják a legpreferáltabb értékelési tényezőtől a legkevésbé preferáltig, majd ezekhez rangszámokat rendelnek. Az értékelési tényezők rangsorolására szolgáló módszerek: Közvetlen rangsorolás Páros összehasonlítás

14 Rangsorolás – sorrendi skála
Ha rangsorolunk, akkor a rangsorolandó dolgokat közös tulajdonság szerint hasonlítjuk össze. A rangsoroltság azt jelenti, hogy a rendezni kívánt objektumok között értelmezve van a „megelőzi” reláció  lásd sorrendi axiómák! preferencia-viszony vagy preferencia-sorrend A tranzitivitás következetességet jelent, és így fontos racionalitási kritérium.

15 Közvetlen rangsorolás
A közvetlen rangsorolás a sorszámozásnak felel meg. A dolgok közvetlen rangsorolása és a számok hozzárendelése nem válik szét tudatosan. Előnye: rangszámok megadásával gyorsan lefolytatható. Hátránya: nem ad információt az értékelő személyek véleményének megbízhatóságáról, következetességéről; Nem tudjuk megállapítani a tranzitivitás követelményének megsértését.

16 Tranzitivitás és intranzitivitás
A tranzitivitást kifejező eredőhármas: Az intranzitivitást kifejező körhármas: a b c A következetesség mértéke fontos információ, és ez csak a páros összehasonlítás módszerével tárható fel.

17 Páros összehasonlítás
Az alternatívák közvetett, páronkénti összehasonlításán alapszik. Alkalmazása ott indokolt, ahol több értékelési tényezővel kell számolni, s azok fontossága, súlya eltér egymástól. Az értékelés minél megbízhatóbb elvégzését a matematikai módszerek felhasználásával lehet biztosítani. Az eredményt a páronként felállított elemek közötti preferencia-döntésekre vezetjük vissza. A súlyszámokat úgy határozzuk meg, hogy az értékelési tényezőket páronként összehasonlítva eldöntjük, melyiket preferáljuk, melyiket tartjuk fontosabbnak, és a döntéseket értékeljük.

18 A páros összehasonlítás lépései
Párok képzése és páronkénti értékelés: n számú dologból számú lehetséges páros készíthető. A döntéshozónak ki kell fejeznie, hogy egy-egy párban melyik dolgot preferálja. Preferencia-mátrix összeállítása: sorokban és oszlopokban értékelési tényezők szerepelnek. Ahol a sorban lévő preferált az oszlopban szereplővel szemben, oda 1-et írunk, ahol hátrányt szenved, oda 0-át. Kvantitatív módszerek

19 Példa preferencia-mátrixra
n=a+r E1 E2 E3 E4 E5 E6 a a2 x 1 3 9 5 25 Σ 2 4 15 53 rangsor 3 5 6 1 a = preferencia gyakoriság, az összes párosban hányszor preferált az adott dolog 3+2=5=n-1=6-1 Kvantitatív módszerek

20 A páros összehasonlítás lépései
Konzisztencia vizsgálat: konzisztencia mutató számítása Inkonzisztens körhármasok számának meghatározása Konzisztencia együttható számítása: A maximálisan előállítható körhármasok száma: Kvantitatív módszerek

21 A páros összehasonlítás lépései
Konzisztencia együttható számításának előzőekből levezethető módja: páratlan n esetében páros n esetében Ha K=1, akkor nincs körhármas, a döntéshozó teljesen következetes. Ha K=0, akkor az összes lehetséges körhármast elkövette, így teljesen következetlen. A következetesség mértéke fontos információt jelent, és ezt csak a páros összehasonlítás eljárásával tudjuk feltárni. (Mi a következetlenség oka?)

22 Következetesség szignifikancia vizsgálata
A szignifikancia vizsgálatot n=2-7-ig táblázat alapján végezzük. Lásd képletgyűjtemény XI. táblázat: A következetesség szignifikancia-táblázata (n=2-7)- a táblázat a körhármasok d számának f gyakoriságait és annak P valószínűségét mutatja, hogy legalább d számú körhármast véletlenszerűen kaptunk. A következetesség szignifikanciáját komplementer valószínűségként értelmezzük. Kvantitatív módszerek

23 Következetesség szignifikancia vizsgálata
n>7 esetén a χ2-eloszlást használhatjuk (n növekedésével d eloszlása ehhez közelít). Lásd képletgyűjtemény XII. táblázat: A χ2-eloszlás kritikus értékei (a következetesség szignifikancia vizsgálatához) Kvantitatív módszerek

24 Következetesség szignifikancia vizsgálata
Példa: n=7 elemre páros összehasonlítással d=13 körhármast kapunk. Ez a χ2 érték kb. 95%-os szignifikancia szintnek felel meg, ennek komplementerét véve d szignifikancia szintje 5% (legfeljebb ekkora a valószínűsége annak, hogy a d=13 körhármast véletlenszerűen kaptuk)  mivel ez elég kicsi, így a döntéshozó szignifikánsan következetlen.

25 Következetesség szignifikancia vizsgálata
n=7-re a pontos érték a XI. táblázatból: (d=13, P=0,036) Vagyis legfeljebb 3,6% a valószínűsége annak, hogy a d=13 körhármast véletlenszerűen kaptuk. Mivel ennek kicsi a valószínűsége, úgy döntünk, hogy az összehasonlításokban d=13 körhármas nem a véletlen műve, az illető döntéshozó szignifikánsan következetlen (dmax=14). Másképpen: Vagyis a páros összehasonlítások révén megtapasztalt K>0 következetessége nem szignifikáns, hanem igen nagy valószínűséggel a véletlen műve (lásd hipotézisek). Kvantitatív módszerek

26 Példa XI. táblázatban az n=6 és d=1 mellett a p=0,978
Vagyis 97,8%-a a valószínűsége annak, hogy az egyetlen körhármast véletlenszerűen kaptuk. Mivel ennek elég nagy a valószínűsége, úgy döntünk, hogy a páros összehasonlítások során kapott d=1 körhármas a véletlen műve, vagyis az illető döntéshozó szignifikánsan következetes. E1 E2 E3 E4 E5 E6 a a2 x 1 3 9 5 25 Σ 2 4 15 53 Kvantitatív módszerek

27 Kvantitatív módszerek
Példa Ej E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 x 1 Σ 4 3 2 6 5 9 7 a 9 5 6 7 3 4 2 45 a2 81 25 36 49 9 16 4 261 r 1 4,5 3 2 8 6,5 10 9 Kvantitatív módszerek

28 Kvantitatív módszerek
Példa folytatása Szignifikancia vizsgálat: n>10 DF=20-as sorban legközelebb álló érték: 45,3. Ez a χ2 érték kb. 0,1%-os szignifikancia szintnek felel meg, ennek komplementerét véve d szignifikancia szintje 99,9% (ekkora a valószínűsége annak, hogy a d=12 körhármast véletlenszerűen kaptuk). Mivel ez elég nagy, így a döntéshozó szignifikánsan következetes Kvantitatív módszerek

29 Súlyozás INTERVALLUM skálán
Kvantitatív módszerek

30 Súlyozás intervallumskálán
Az értékelési tényezők sorrendi skálán való súlyozásából kapott súlyszámok csak a preferencia-sorrendet tükrözik (melyik értékelési tényező preferáltabb, de nem tudjuk, hogy mennyivel). A Guilford-féle eljárás: a páros összehasonlítás alapján magasabb szinten, intervallumskálán súlyozzunk. A preferenciák intenzitásának intervallumszintű méréséről van szó. Eszközei: páros összehasonlítás és standard normális eloszlás. Elkészítjük a preferencia-mátrixot, kiszámítjuk a konzisztencia mutató értékét. Meghatározzuk a preferencia arányokat (p) a következő módon (m az értékelést végzők száma, most m=1): Kvantitatív módszerek

31 Kvantitatív módszerek
Ej E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 a a2 x 1 9 81 5 25 6 36 7 49 3 4 16 2 Σ 45 261 p 0,95 0,55 0,65 0,75 0,35 0,45 0,05 0,25 u +1,64 +0,13 +0,39 +0,67 -0,39 -0,13 -1,64 -0,67 A preferencia arányokat a standardizált normális eloszlás u értékeivé transzformáljuk, ezek szerepelnek az utolsó oszlopban. Ezek az értékek jelentik az intervallumskálánk skálaértékeit. Kvantitatív módszerek

32 Kvantitatív módszerek
Példa Ej E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 u +1,64 +0,13 +0,39 +0,67 -0,39 -0,13 -1,64 -0,67 A skála intervallumszintű, a súlyszámok kisebb-nagyobb távolságokat jelölnek egy kontiniuumon és a páros összehasonlítás módszerével kapott skálaértékekkel ezeket a relatív távolságokat lehet mérni. Kvantitatív módszerek

33 Egyéni  csoportos döntés
Nagyobb mintával javítani lehet az eredmények megbízhatóságát. Ezt háromféleképpen lehet elvégezni: Egyetlen döntéshozó mindegyik párost többször megítéli (ha egyetlen döntéshozó értékskáláját kívánjuk megállapítani, vagy egyéni skálákat összehasonlítani). Több döntéshozó mindegyik párost egyszer ítél meg (ha a döntéshozók egy meghatározott sokaságának átlagos értékelése érdekel bennünket)  csoportos döntések Aggregált preferenciamátrix Csoportra vonatkozó súlyszámskála Plusz információ: a döntéshozók véleményegyezésének mértéke. Több döntéshozó több párost többször ítél meg Kvantitatív módszerek

34 Kvantitatív módszerek
Példa E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 X 2 3 1 Σ 6 9 17 27 12 15 13 7 a 21 18 10 15 12 14 20 135 r 1 3 8,5 10 4,5 7 6 2 3 döntéshozónk 10 értékelési tényezővel kapcsolatban fejezte ki preferenciáit a páros összehasonlítás módszerével Kvantitatív módszerek

35 Kvantitatív módszerek
Példa m=3, és n=10 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 X 2 3 1 Σ 6 9 17 27 12 15 13 7 a 21 18 10 15 12 14 20 135 p 0,75 0,65 0,38 0,05 0,55 0,45 0,52 0,72 Kvantitatív módszerek

36 Kvantitatív módszerek
Példa a p E1 21 0,75 E2 18 0,65 E3 10 0,38 E4 0,05 E5 15 0,55 E6 12 0,45 E7 E8 E9 14 0,52 E10 20 0,72 Σ 135 u 0,68 0,39 -0,31 -1,64 0,13 -0,13 0,05 0,58 Z 100 88 57 76 65 73 96 Kvantitatív módszerek

37 Kvantitatív módszerek
Csoportos döntés A „megegyezés”, „összhang”, „konkordancia” és az „egyetértés” szinonimáknak tekinthetők. Teljes egyetértés = tökéletes nézetazonosság Teljes ellentét = tökéletes nézetkülönbség Két vagy több személy között lehet teljes egyetértés, de teljes ellentét csak két személy között lehetséges. Megnézzük a csoportos döntés értékelését közvetlen rangsorolás és páros összehasonlítás után is. Kvantitatív módszerek

38 Csoportos döntés - példa
Egy vállalat meghirdet egy bizonyos állást. Az állásra hatan (A,B,C,D,E,F) pályáznak. A vállalat három vezetője (X,Y,Z) külön-külön beszélget a pályázókkal, majd egymástól függetlenül elkészítik a pályázók közvetlen rangsorolását. Teljes egyetértés mindhárom között lehet, ha azonos rangszámokat adnak az egyes pályázóknak. Teljes ellentét azonban csak két vezető között lehetséges, pl. a következő módon: döntéshozó A B C D E F X 1 2 3 4 5 6 Y Kvantitatív módszerek

39 Kvantitatív módszerek
Csoportos döntés Teljes ellentét döntéshozó A B C D E F X 1 2 3 4 5 6 Y R (rangszámösszegek) 7 X és Y között maximális a véleményeltérés, teljes az ellentét  a rangszámösszegek azonosak, szórásuk nulla. A rangszámok eltéréseinek négyzetösszege csak abban az esetben maximális, ha a két rangszámsor fordított sorrendben van. Kvantitatív módszerek

40 Kvantitatív módszerek
Csoportos döntés Teljes egyetértés: a rangszámösszegek ingadozása maximális döntéshozó A B C D E F X 1 2 3 4 5 6 Y R (rangszámösszegek) 8 10 12 A rangszámösszegek sorozata teljes egyetértés esetében k számú sorra (rangsorolók, ill. rangsorok száma) és n számú oszlopra (rangsorolandó dolgok): k, 2k, 3k, …, nk k: döntéshozók száma n: értékelési tényezők száma . Kvantitatív módszerek

41 Kvantitatív módszerek
Csoportos döntés A teljes ellentét esetén a rangszámösszegek azonosak, szórásuk nulla. Teljes egyetértés esetén a rangszámösszegek ingadoznak, szórásuk pedig az elérhető maximum. Az eltérésnégyzet-összeget a következőképpen határozzuk meg: Ahol a rangszámösszegek számtani átlaga: Kvantitatív módszerek

42 Kvantitatív módszerek
Csoportos döntés döntéshozó A B C D E F X 1 2 3 4 5 6 Y R (rangszámösszegek) 8 10 12 Kvantitatív módszerek

43 Csoportos döntés – az egyetértés mérése Közvetlen rangsorolás
A Kendall-féle rangkonkordencia együttható számítása: W=1, ha teljes az egyetértés a döntéshozók között, W=0, ha teljes az ellentét. Előállhat W>0 érték a véletlen következtében, ezért el kell végezni W szignifikancia vizsgálatát. Kvantitatív módszerek

44 Kvantitatív módszerek
W kiszámításának menete – normál eset (nincs kötés) – közvetlen rangsorolás A W kiszámításához először k (rangsoroló) soros és n (rangsorolt dolog) oszlopos táblázatba rendezzük rangszámainkat. Kiszámítjuk a rangszámösszegeket: Kiszámítjuk a rangszámösszegek átlagát: Kiszámítjuk a rangszámösszegek eltérésnégyzetét: Az ingadozás teljes egyetértésnél lehetséges maximális számértékét a következő összefüggéssel határozzuk meg: Kvantitatív módszerek

45 Kvantitatív módszerek
W kiszámításának menete – normál eset (nincs kötés) – közvetlen rangsorolás Kiszámítjuk az egyetértési együtthatót : Kvantitatív módszerek

46 Példa (csop. döntés, nincs kötés)
Tegyük fel, hogy 3 vezető (X, Y és Z) rangsorolja egy adott munkakörre jelentkező 6 pályázót. k=3 és n=6 döntéshozó A B C D E F X 1 6 3 2 5 4 Y Z Rj 15 12 7 17 Kvantitatív módszerek

47 Példa (csop. döntés, nincs kötés)
Rj 5 15 12 7 17 Kvantitatív módszerek

48 Rangszámegyezés esete (kötés)
Rangsorolás esetében az azonos dolgok azonos rangszámot kapnak – ez a rangszámegyezés (kötés) esete. Az azonos dolgok azoknak a rangszámoknak a számtani átlagát kapják rangszámul, amely rangszámokat akkor kapnák, ha nem volnának azonosak. Kvantitatív módszerek

49 Kvantitatív módszerek
W kiszámításának menete – rangszámegyezés esete (van kötés) – közvetlen rangsorolás Ha a rangsorokban kötések fordulnak elő, akkor ezek torzító hatását W-re korrekció révén figyelembe kell venni. Ha a kötések előfordulási aránya nagy, akkor indokolt a torzítás kiküszöbölése. „L” korrekciós tényező (t egy kötésen belüli azonos rangszámok száma, d a kötések száma egy rangsoron belül): Kvantitatív módszerek

50 Példa (csop. döntés, van kötés)
Egy háromtagú minősítő bizottság tíz kávékeveréket rangsorol ízlelés alapján egymástól függetlenül. A rangsorolás utáni 3*10-es rangszám-táblázat a következő: Minősítő/ Kávé-keverék A B C D E F G H I J X 1 4,5 2 3 7,5 6 9 10 Y 2,5 8 6,5 Z Rj 5,5 13,5 12 20 23 23,5 25,5 26,5 Kvantitatív módszerek

51 Példa (csop. döntés, van kötés)
Minősítő/ Kávé-keverék A B C D E F G H I J X 1 4,5 2 3 7,5 6 9 10 Y 2,5 8 6,5 Z Rj 5,5 13,5 12 20 23 23,5 25,5 26,5

52 Példa (csop. döntés, van kötés)
9,5 Minősítő/ Kávékeverék A B C D E F G H I J X 1 4,5 2 3 7,5 6 9 10 Y 2,5 8 6,5 Z Rj 5,5 13,5 12 20 23 23,5 25,5 26,5 Kvantitatív módszerek

53 Példa (csop. döntés, van kötés)
Minősítő/ Kávé-keverék A B C D E F G H I J X 1 4,5 2 3 7,5 6 9 10 Y 2,5 8 6,5 Z Rj 5,5 13,5 12 20 23 23,5 25,5 26,5 Kvantitatív módszerek

54 Kendall-féle egyetértési együttható – páros összehasonlítás
Ha a páros összehasonlítás módszerével állnak elő a rangsorok, az egyetértés mérőszámának kiszámítása bonyolultabb (ahol m a döntéshozók száma, n a rangsorolandó dolgok száma): γ az aggregált preferenciatáblázat átlója alatti mezők gyakoriságainak összege. Kvantitatív módszerek

55 Példa Aggregált preferenciamátrix: 3 egyéni döntéshozó 10 értékelési tényező alapján a páros összehasonlítás módszerével elkészítette egyéni preferenciamátrixát, és azokat összegeztük E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 a r X 2 3 21 1 18 10 8,5 15 4,5 12 7 14 6 20 Σ 9 17 27 13 135 m=3, n=10

56 W szignifikancia vizsgálata
Szignifikancia vizsgálattal mindig valamilyen alapfeltevést (nullhipotézist) vizsgálunk. Nullhipotézis: nincs egyetértés a rangsorolók között, vagyis W >0 a véletlennek és nem pedig az egyetértésnek tulajdonítható. Ellenhipotézis: nem a véletlennek tekintjük W adott és 0-nál nagyobb értékét, hanem az egyetértésnek. A W szignifikancia vizsgálata a számításban szereplő Δ mennyiség eloszlására épül. Δ kritikus értékeit 5 és 1%-os szignifikancia szinten táblázat tartalmazza, k=3,4,5,…,20, és n=3,4,…,7 terjedő értékekre. Ha a ténylegesen kiszámított Δ érték nagyobb, mint a kritikus érték (táblázat), akkor a nullhipotézist adott szignifikancia szinten elutasítjuk. Kvantitatív módszerek

57 Példa (csop. döntés, nincs kötés)
H0=nincs egyetértés (W=0) Δ=119,5 k=3 és n=6 értéknél a kritikus érték 5%-os szignifikancia szinten 103,9. Mivel 119,5>103,9, a nullhipotézist elvetjük, vagyis a szóban forgó egyetértési együtthatót (W=0,828) szignifikánsnak tekintjük, így annak 0-nál nagyobb értéke és a rangsorolók közötti egyetértés nem a véletlen műve. Kvantitatív módszerek

58 W szignifikancia vizsgálata
Ha n>7, akkor az alábbi mennyiség DF=n-1 szabadságfokkal χ2 eloszlást követ, és a kritikus érték meghatározásához a χ2 eloszlás táblázatát használhatjuk: Példa: legyen 3 értékelési tényezőnk, és 10 komplex rendszert akarunk összehasonlítani, kiszámítottuk W-t: W=0,828 Ekkor k=3, DF=9, W=0,828 DF=9, α=1%  χ2krit=21,7 Mivel 22,4>21,7, elvetjük a nullhipotézist, azaz W=0,828 nem a véletlen műve, hanem a döntéshozók közötti valós egyetértésé. Kvantitatív módszerek

59 W szignifikancia vizsgálata
Ha DF>30, akkor a standard normális eloszlás táblázatát használhatjuk, mivel mennyiség jó közelítéssel normális eloszlás követ, amelynek várható értéke , szórása pedig 1, így az alábbi z mennyiség standard normális eloszlást követ: Kvantitatív módszerek

60 A számolási eljárás összefoglalása
Van n számú rangsorolandó dolgunk és k számú rangsorolónk. Rendezzük a rangsorolók által adott rangszámokat k*n-es táblázatba, ahol k a sorok, n pedig az oszlopok száma. Mindegyik rangsorolt dologra vonatkozóan kiszámítjuk a rangszámösszeget úgy, hogy az oszlopokban szereplő rangszámokat összeadjuk. Meghatározzuk a rangszámösszegek számtani átlagát, kiszámítjuk a rangszámösszegek eltérésnégyzetösszegét. Megvizsgáljuk, hogy a k számú rangsorban van-e kötés, és annak megfelelően számítjuk ki a W-t. W szignifikancia vizsgálata: W szignifikánsan különbözik-e 0-tól? Kvantitatív módszerek

61 Spearman-féle rangkorrelációs együttható
Mindkét változó sorrendi skálán mérhető! Értéke -1 és +1 közé eshet. Ha értéke 1, akkor az a két rangszám-sorozat tökéletes egyezését jelzi, míg ha értéke -1, a kétféle sorozat fordítottja egymásnak. Ha értéke 0, akkor a két rangsor között nincs kapcsolat. NINCS RANGSZÁMEGYEZÉS Kvantitatív módszerek

62 Példa – rangkorreláció, nincs kötés
Egy presztízsvizsgálat alkalmával 8 foglalkozást rangsoroltattak két eltérő társadalmi csoport tagjaival.

63 Spearman-féle rangkorrelációs együttható
VAN RANGSZÁMEGYEZÉS t a kapcsolt rangok száma, j=1,23,…, i az azonos rangú csoportok száma Kvantitatív módszerek

64 Példa – rangkorreláció, van kötés

65 A rangkorrelációs együttható szignifikancia vizsgálata
H0: a rangkorrelációs együttható értéke 0 H1: a rangkorrelációs együttható értéke ≠ 0, vagyis használható a két változó kapcsolatának jellemzésére A próbafüggvény (ha a nullhipotézis igaz, akkor n-2 szabadságfokú t-eloszlást követ): Ha tsz az elutasítási tartományba esik, akkor rs használható a két változó közötti kapcsolat jellemzésére, azaz a rangkorrelációs együttható különbözik 0-tól. Kvantitatív módszerek

66 Kvantitatív módszerek
Példa – van kötés H0: rs=0 H1: rs≠0 α=0,05, a kritikus értékek: tα/2=t0,975= ±2,447 Mivel a számított érték az elutasítási tartományba esik, így az alternatív hipotézist fogadjuk el, rs használható a két rangsor közötti kapcsolat jellemzésére. Kvantitatív módszerek