Kvantitatív módszerek

Az előadások a következő témára: "Kvantitatív módszerek"— Előadás másolata:

1 Kvantitatív módszerek
Döntéselmélet Statisztikai döntések alapelvei

2 Bevezetés Döntési problémáink a következőkkel jellemezhetők:
Kitűzünk egy bizonyos célt, amelyet adott körülmények között el kell érnünk. A cél elérése érdekében kettő vagy több cselekvési lehetőség közül választhatunk. Bizonytalanságban vagyunk. A bizonytalanság foka csökkenthető valamilyen információ megszerzésével, de ez az információ pénzbe kerül. Hogyan fogunk haladni? Megvizsgáljuk, hogy milyen döntési körülmények között lehet dönteni: bizonyosság, kockázat, bizonytalanság és a konfliktus A döntési probléma megoldását segítő kritériumok körének megismerése.

3 Esetpéldánk A Réz Megyei Fürdőigazgatóság (RÉF) egy hőforrás környékén megvehetne 10 ha területet 14 mFt-ért. A RÉF szakértője, Dr. Vizy a következő pénzügyi évet vizsgálva úgy látja, hogy a 14 mFt befektetésére nincs más, különlegesen jó lehetőség. Ha nem veszik meg a telket, akkor a Réz Megyei Bankba (RMB) teszik a pénzt. Dr. Vizynek, mint döntéshozónak a telekvásárlási problémában két cselekvési lehetősége van: a RÉF megveszi 14 mFt-ért a 10 ha területet; betétbe teszi a 14 mFt-ot a bankban. Réz megye tanácsának határozatától függ, hogy építenek-e utat a hőforrás felé, vagy sem. Dr. Vizy szerint a telkek értéke már az első évben 10%-ot emelkedik, ha az út a hőforrás felé épül, viszont 1%-kal csökken, ha a tanácsi határozat szerint másfelé lesz útépítés.

4 Esetpéldánk Az RMB különleges bank, neki magának is érdeke fűződik a hőforrás felé vezető úthoz, mivel óriási területeket bérel a hőforrás környékén. Így az RMB-nél elhelyezett betétek különbözőképpen kamatoznak: az RMB 5,5% kamatot fizet évente, ha az új út a hőforrás felé vezet, és a szokásos 5%-ot fizeti, ha az út nem a hőforrás felé vezet. Dr. Vizy számára még egy egyszerű bankbetét esetén sem mindegy, hogy a lehetséges események közül melyik következik be. Bármelyik cselekvési lehetőségének pénzügyi következménye a két lehetséges tényállapot bekövetkezésétől függ, ahol: az új út a hőforrás felé vezet; az új út nem a hőforrás felé vezet. Milyen döntést hozna Dr. Vizy, ha nincs információja, ha tökéletes információval rendelkezik, és ha közvéleménykutatók jelentésére támaszkodik?

5 Döntési alapmodell Döntés :
az egyén vagy csoport, azaz a döntést hozó legalább két cselekvési változat (cselekvési mód) közötti választás problémájával áll szemben. A döntési alapmodell elemei: Döntéshozó: az a személy (vagy csoport), aki a cselekvési változatok közül választ egyet  célja(i) van(nak) Cselekvési változatok, stratégiák (si, i=1,2,…,n): a döntéshozó hatáskörébe tartozó szabályozható változók együttese, illetve a rendelkezésére álló erőforrások bizonyos formában való felhasználása a cselekvési változatoknak különböző következményeik/eredményeik vannak nem határozzák meg egyértelműen a következményeket, a tényállapotok is hatással vannak következményekre, eredményekre

6 Döntési alapmodell Tényállapotok (tj): a tényállapotok olyan eseményeknek tekinthetők, amelyek nem a cselekvési változat tényezőinek hatására következnek be, de a cselekvési változat következményére hatással vannak. A döntéshozó által nem (vagy csak részlegesen) szabályozható változók együttese. Következmények, eredmények (oij, i-edik cselekvési változat és j-edik tényállapot együttes következménye): egy következmény egy cselekvési változat és egy tényállapot együttes hatásának eredménye, P(tj)=P(oij), ha a tényállapot és cselekvési változat független. Tényállapotok valószínűségei P(tj): rendszerint nem tudjuk biztosan megmondani, hogy milyen tényállapot (esemény) van jelen, illetve milyen következik be később. Megállapításaink csak bizonyos valószínűséggel érvényesek. A cselekvési változatok nincsenek hatással a tényállapotok valószínűségeire.

7 Döntési alapmodell Döntési kritérium: olyan előírás, amely megmondja, hogyan használjuk fel az előbbi információkat egyetlen cselekvési változat kiválasztására. A döntéshozó számára a bizonytalanság abból adódik, hogy nem ismeri teljesen a valóságos helyzetet, illetve a valóságnak azt a részét, amelyet nem befolyásolhat. Valójában mégis ezek az ellenőrizhetetlen tényezők alakítják a következményeket. Attól függően, hogy a döntéshozó rendelkezésére álló információk mennyire írják körül a lehetséges eseményeket, a döntés körülményeit a következő kategóriákba sorolhatjuk: bizonytalanság; kockázat; bizonyosság; konfliktus

8

9 Döntéselméleti alapok
s1= a RÉF megveszi 14 mFt-ért a 10 ha területet s2 = a RÉF betétbe teszi a 14 mFt-ot a bankba t1 = az új út a hőforrás felé vezet t2 = az új út nem a hőforrás felé vezet Cselekvési lehetőségek Tényállapotok t1 t2 feltételes következmények s1 1400 -140 s2 770 700

10 A döntési folyamat logikája
A döntéshozó a cselekvési változatok és következmények ismeretében megfontolja, hogy: az egyes tényállapotok mekkora valószínűséggel következnek be (vagy vannak jelen) Ha a cselekvési változatok és a tényállapotok egymástól nem függetlenek, akkor a következmények valószínűségét tekinti. A függetlenséget úgy értelmezzük, hogy a cselekvési változatok nem változtatják meg a tényállapotok valószínűségeit. Miképpen határozzuk meg a tényállapotok bekövetkezésének (vagy a következményeknek) a valószínűségét?

11 Döntéselméleti alapok
A döntéshozó korábbi tapasztalataira alapozott szubjektív becslés: a priori valószínűség A tényállapotok egymást kizárják, és teljes eseményrendszert alkotnak, azaz valamelyik biztosan bekövetkezik  a valószínűségek összege 1. Új információk szerzése: teljes vagy részleges Részleges információt mintavétellel szerzünk, fennáll a tévedés lehetősége: első- és másodfajú hibát követhetünk el A kettő kombinációja: az a priori és új információk ötvözése Ún. Bayes-féle logika: az a priori információk (a tapasztalatokon nyugvó megállapítások) módosítása az új információk tükrében Alapja a Bayes-tétel

12 Döntési kritériumok Nincs egységes döntési kritérium!
A döntési kritériumok döntési osztályonként változnak. Döntési osztályokat a tényállapotokra (vagy következményekre) vonatkozó valószínűségek alapján állítunk fel. Három döntési osztályt szokás megkülönböztetni: a bizonytalan, a kockázatos, a biztos és a konfliktusos döntések osztályát.

13 Bizonytalan döntések osztálya
Bizonytalanság: a döntéshozó semmit nem tud a lehetséges események bekövetkezéséről. Nem tudja, hogy melyik lehetséges tényállapot fog bekövetkezni, és a tényállapotokhoz tartozó valószínűségek is ismeretlenek számára. A bizonytalan döntések osztályába soroljuk azokat a döntési problémákat, amelyekben nem ismerjük a tényállapotok (illetve következmények) valószínűségeit. Kiindulási állapot: a döntéshozó minden esetben a maximális nyereség elérésére törekszik. A különböző egyéniségű döntéshozók más és más kritériumot alkalmaznak a legjobb cselekvési lehetőség kiválasztására.

14 Bizonytalan döntések osztálya
Wald kritérium (minimax vagy maximin kritérium): pesszimista és óvatos döntéshozó kritériuma minden egyes cselekvési változat esetében a legrosszabb következményt tekintve ezek közül a legjobbat, azaz a relatíve legkisebb rosszat választja Cselekvési lehetőségek Tényállapotok t1 t2 feltételes következmények s1 1400 -140 s2 770 700 Döntés: s2, vagyis a RÉF bankba teszi a pénzét

15 Bizonytalan döntések osztálya
Maximax kritérium: optimista döntéshozó kritériuma, mindig a legjobbra számít Minden cselekvési lehetőségnél azt nézi meg, hogy melyik a legjobb következmény, majd ezek közül is a legjobbat választja. Cselekvési lehetőségek Tényállapotok t1 t2 feltételes következmények s1 1400 -140 s2 770 700 Döntés: s1, vagyis a RÉF a telekvásárlás mellett dönt.

16 Bizonytalan döntések osztálya
SAVAGE kritérium: minimális megbánás kritériuma Regret-mátrix készítése, a regret adott tényállapot mellett az optimális és a tényleges döntés közötti különbség a következmények értékében mérve. A regret mátrixra Wald kritérium alkalmazása. 1400 -140 770 700 s1 s2 t1 t2 s1 s2 t1 t2 840 630 Döntés: s2, vagyis a RÉF bankba teszi a pénzét.

17 Bizonytalan döntések osztálya
HURVICZ kritérium: optimizmus együttható a döntéshozó egy φ optimizmus együtthatót határoz meg a [0,1] intervallumon belül, a pesszimizmus együttható (1-φ). Ha egy adott S stratégia u1i, u2i, ..., umi hasznosságú következménnyel járhat, akkor a stratégia φ indexe kifejezhető: A döntéshozó a φ indexek sorrendjében preferálja az egyes stratégiákat. ahol Mi az uij értékek között a legnagyobbat, az mi pedig a legkisebbet jelenti.

18 Bizonytalan döntések osztálya
HURVICZ kritérium: optimizmus együttható Képezve mindkét cselekvési változat φ indexét, az alábbiakat kapjuk: Cselekvési lehetőségek Tényállapotok t1 t2 feltételes következmények s1 1400 -140 s2 770 700

19 Bizonytalan döntések osztálya
LAPLACE kritérium: legcélszerűbb, ha minden egyes eseményt azonos valószínűséggel tekintünk 1400 -140 770 700 s1 s2 t1 t2 Döntés: s2, vagyis a RÉF bankba teszi a pénzt.

20 Bizonytalan döntések osztálya
Nincs egységes döntési kritérium Wald kritérium Savage kritérium Hurvicz kritérium Laplace kritérium Tudományos szempontból nem kezelhető megfelelő egzaktsággal. A valóságban ritkán fordul elő, hogy egy döntéshozó semmit ne tudjon a kérdéses események bekövetkezési valószínűségeiről, ritkán van teljes információhiány.

21 Példa Képzeljünk el egy nagy újságos pavilont, ahol mindenféle lapot árulnak, többek között egy Vasárnap című hetilapot is. A döntéshozó az újságárus. A Vasárnapot 3Ft-ért veszi és 5Ft-ért adja példányonként. A vasárnap nem eladott Vasárnapok tiszta veszteségnek tekinthetők, vasárnap éjfélre teljesen elértéktelenednek. Az újságos gondos üzletember, pontos kimutatásokat vezet az újságokról, évekre visszamenőleg őrzi feljegyzéseit. Az elmúlt 100 vasárnap a Vasárnap forgalma a következőképpen alakult.

22 Példa Ez kilencféle lehetőség. Melyiket válassza? Eladott példányszám
Hetek száma 16 5 17 10 18 12 19 20 21 22 23 6 24 Összesen 100 Ez kilencféle lehetőség. Melyiket válassza?

23 Példa A nyereségfüggvény megfogalmazása:
Ha az újságos x példányt rendel, és a kereslet ezt a példányszámot nem haladja meg, akkor a bevétele 5Ft minden eladott példányra, kiadása pedig 3 Ft minden megrendelt példányra. Ha x példányt rendel, de a kereslet nagyobb, mint a megrendelt példányszám, akkor csak annyi újságot tud eladni, amennyi van. Bevétele 5Ft minden megrendelt példányra és kiadása 3 Ft minden megrendelt példányra. Nyeresége tehát 2 Ft minden megrendelt (vagy eladott) példányra.

24 Példa döntési mátrixa t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 s=16 s=17 s=18 s=19 s=20 s=21 s=22 s=23 s=24 t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 s=16 32 s=17 29 34 s=18 26 31 36 s=19 23 28 33 38 s=20 20 25 30 35 40 s=21 17 22 27 37 42 s=22 14 19 24 39 44 s=23 11 16 21 41 46 s=24 8 13 18 43 48 32 32 32 32 32 32 32 32 32 29 34 34 34 34 34 34 34 34 26 31 23 28 20 25 17 22 14 19 11 16 8 13

25 Példa – Wald kritérium t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24
t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 s=16 32 s=17 29 34 s=18 26 31 36 s=19 23 28 33 38 s=20 20 25 30 35 40 s=21 17 22 27 37 42 s=22 14 19 24 39 44 s=23 11 16 21 41 46 s=24 8 13 18 43 48 min 32 29 26 23 20 17 14 11 8 Ha az újságárus a Wald kritériumot alkalmazza, akkor optimális az a cselekvése, ha 16 példányt rendel. Ezzel biztosítja, hogy nyeresége nem lesz kevesebb, mint 32 Ft.

26 Példa – Maximax kritérium
t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 s=16 32 s=17 29 34 s=18 26 31 36 s=19 23 28 33 38 s=20 20 25 30 35 40 s=21 17 22 27 37 42 s=22 14 19 24 39 44 s=23 11 16 21 41 46 s=24 8 13 18 43 48 max 32 34 36 38 40 42 44 46 48 Az újságárus számára a maximax kritérium értelmében a 24 db az optimális cselekvés, vagyis ilyen gondolkodásmód mellett 24 példányt rendel a Vasárnapból, és ezzel nyeresége elérheti a 48 Ft-ot.

27 Példa – Savage kritérium
t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24  t s=16 s=17 s=18 s=19 s=20 s=21 s=22 s=23 s=24 32 29 3 26 6 Az elmulasztott nyereség a következő két nyereség különbsége: amennyi nyeresége akkor lett volna, ha tudja előre, hogy melyik a valódi tényállapot; amennyi nyeresége a valóságban van. Ha a döntéshozó eltalálja azt a cselekvési lehetőséget, amelyik a valódi esemény bekövetkezése esetén a legnagyobb nyereséget adja, akkor elmulasztott nyeresége 0. 23 9 20 12 17 15 14 18 11 21 8 24

28 Példa – Savage kritérium
t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 s=16 2 4 6 8 10 12 14 16 s=17 3 s=18 s=19 9 s=20 s=21 15 s=22 18 s=23 21 s=24 24 min 16 14 12 10 15 18 21 24 A regret mátrixra alkalmazzuk a Wald kritériumot: az egyes cselekvési stratégiákhoz tartozó következmények közül kiválasztjuk a legrosszabbat, majd a legrosszabbak közül a legjobbat.

29 Példa – Laplace kritérium
A nyereségek átlaga s=16 32 s=17 33,44 s=18 34,33 s=19 34,67 s=20 34,44 s=21 33,66 s=22 32,33 s=23 30,44 s=24 28 t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 s=16 32 s=17 29 34 s=18 26 31 36 s=19 23 28 33 38 s=20 20 25 30 35 40 s=21 17 22 27 37 42 s=22 14 19 24 39 44 s=23 11 16 21 41 46 s=24 8 13 18 43 48 A döntéshozó minden egyes tényállapotnak azonos valószínűséget tulajdonít (1/9-et), amely egyúttal azt is jelenti, hogy a döntéshozó az egyes cselekvési lehetőségekhez tartozó nyereségek közönséges számtani átlagát választja döntési kritériumként:

30 Példa – Hurwicz kritérium
Tegyük fel, hogy az újságárus 75%-os optimista, azaz φ=0,75. A következő táblázatban tüntetjük fel a cselekvési változatokhoz tartozó legnagyobb és legkisebb nyereségeket, a φ indexet (Hurwicz-átlagot), valamint ez utóbbi értékét φ=0,75 esetén. Legnagyobb nyereség (Mi) Legkisebb nyereség (mi) s=16 32 s=17 34 29 s=18 36 26 s=19 38 23 s=20 40 20 s=21 42 17 s=22 44 14 s=23 46 11 s=24 48 8 32 5φ+29 10φ+26 15φ+23 20φ+20 25φ+17 30φ+14 35φ+11 40φ+8 32 32,75 33,5 34,25 35,00 35,75 36,50 37,25 38 Az újságos döntési problémájában minden φ<0,6 értékre a 16 példány lesz az optimális, φ>0,6 esetén pedig a 24 példány a legjobb választás, míg a φ=0,6 esetén mindegyik cselekvési lehetőséghez ugyanaz a φ(si) érték tartozik.

31 A valószínűség, mint döntési kritérium
Legnagyobb valószínűség kritériuma Várható érték, mint kritérium Kombinált kritériumok: Várható pénzérték kritérium Várható elmulasztott pénzérték kritérium A fenti kritériumok megismeréséhez folytassuk az előző (újságárus) példánkkal!

32 Legnagyobb valószínűség (maximum likelihood) kritériuma
Adott P(ti) tényállapot valószínűségek mellett a döntéshozó: kiválasztja a valószínűségadatok maximumát; ha ez a k-adik oszlopban van, akkor a k-adik oszlop nyereségadatai közül megkeresi a legnagyobbat; optimális lesz az a cselekvési változat, amelynek sorában ez a legnagyobb nyereségadat szerepel.

33 Példa folytatása Az újságárus pontos adatokkal rendelkezett az elmúlt 100 vasárnap keresleti viszonyairól  relatív gyakoriságok, mint az események valószínűségeinek becslése, számítható Legnagyobb valószínűségű a t=21-es tényállapot Eladott példányszám Hetek száma Relatív gyakoriság 16 5 0,05 17 10 0,1 18 12 0,12 19 0,16 20 21 0,2 22 23 6 0,06 24 Összesen 100 1,00 A kritérium alkalmazásához a pénzügyi következmények táblázatnak, csak a t=21-es oszlopát nézzük.

34 Legnagyobb valószínűség (maximum likelihood) kritériuma
t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 s=16 32 s=17 29 34 s=18 26 31 36 s=19 23 28 33 38 s=20 20 25 30 35 40 s=21 17 22 27 37 42 s=22 14 19 24 39 44 s=23 11 16 21 41 46 s=24 8 13 18 43 48 t=21 s=16 32 s=17 34 s=18 36 s=19 38 s=20 40 s=21 42 s=22 39 s=23 s=24 33 A t=21 tényállapot bekövetkezése esetén a legnagyobb nyereség 42 Ft, ez egyúttal kijelöli az optimális cselekvési stratégiát, vagyis 21 példányt kell rendelnie az újságárusnak.

35 Várható érték kritérium
A legnagyobb valószínűség kritériuma csak azt az egy tényállapotot veszi figyelembe, amelyik a legnagyobb valószínűséggel következik be. Bizonyos esetekben kiszámíthatjuk az események várható értékét, ezáltal tekintetbe véve minden lehetséges eseményt a megfelelő valószínűséggel. A kritérium alkalmazásának menete: a döntéshozó kiszámítja a tényállapot várható értékét; megkeresi a tényállapotnak azt az értékét, amelyik a legközelebb áll a várható értékhez; a tényállapot oszlopában megkeresi a legnagyobb értéket, amellyel kijelöli az optimális cselekvési változatot.

36 Várható érték kritérium
Eladott példányszám Hetek száma Relatív gyakoriság 16 5 0,05 17 10 0,1 18 12 0,12 19 0,16 20 21 0,2 22 23 6 0,06 24 Összesen 100 1,00 A várható érték általában nem egyenlő a valószínűségi változó valamelyik lehetséges értékével, itt ez csak véletlen. Az esetek többségében kerekítéssel kell számolni. A tényállapot várható értéke:

37 Várható érték kritérium
t=20 s=16 32 s=17 34 s=18 36 s=19 38 s=20 40 s=21 37 s=22 s=23 31 s=24 28 t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 s=16 32 s=17 29 34 s=18 26 31 36 s=19 23 28 33 38 s=20 20 25 30 35 40 s=21 17 22 27 37 42 s=22 14 19 24 39 44 s=23 11 16 21 41 46 s=24 8 13 18 43 48 A t=20 tényállapothoz tartozó nyereségadatok közül a legnagyobb a 40, ez az adat kijelöli az optimális cselekvést, vagyis 20 példányt kell rendelnie az újságárusnak.

38 Kombinált kritériumok
Várható pénzérték kritérium: Ezt a kritériumot alkalmazva a döntéshozó kiszámítja minden egyes cselekvési lehetőség várható pénzértékét, és azt a cselekvést választja, amelyhez a legnagyobb ilyen érték tartozik. Ez a kritérium egyformán fontosnak tekinti a pénzügyi következményeket és e következmények bekövetkezésének valószínűségeit. A várható elmulasztott pénzérték (VEP) kritériuma: A VEP kritérium alkalmazásakor a döntéshozó kiszámítja minden cselekvési lehetőséghez a várható lehetséges veszteségeket (ez a VEP), és azt a cselekvést választja, amelyhez a legkisebb VEP tartozik.

39 Várható pénzérték (VP) kritérium - Példa folytatása
t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 s=16 32 s=17 29 34 s=18 26 31 36 s=19 23 28 33 38 s=20 20 25 30 35 40 s=21 17 22 27 37 42 s=22 14 19 24 39 44 s=23 11 16 21 41 46 s=24 8 13 18 43 48 Kereslet t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 Össz Következ-mények (s=24 esetében) 8 13 18 23 28 33 43 48 Valószínű-ségek (relatív gyakori-ságok) 0,05 0,10 0,12 0,16 0,20 0,06 1,00 Részlet-szorzatok 0,40 1,30 2,16 3,68 2,80 6,60 6,08 2,58 2,40 A következő táblázatban kiszámítjuk az s=24-es cselekvési lehetőség várható pénzértékét. Az s=24-es cselekvési lehetőség várható pénzértéke 28.

40 Várható pénzérték (VP) kritérium - Példa folytatása
Minden egyes cselekvési lehetőséghez (s=16-24) ki kell számolnunk a várható pénzértékeket. A VP kritérium értelmében az újságárus akkor cselekszik optimálisan, ha 19 példányt rendel a Vasárnapból. s=16 s=17 s=18 s=19 s=20 s=21 s=22 s=23 s=24 VP 32,00 33,75 35,00 35,65 35,50 34,85 33,20 30,75 28,00

41 Várható elmulasztott pénzérték (VEP) kritérium
Az optimális döntés meghatározásához ez a kritérium is felhasználja a pénzbeli következményeket és a valószínűségeket. A VEP kritérium alkalmazásakor a döntéshozó kiszámítja minden cselekvési lehetőséghez a várható lehetséges veszteségeket (ez a VEP), és azt a cselekvést választja, amelyhez a legkisebb VEP tartozik.

42 VEP kritérium – Példa folytatása
Elmulasztott nyereségek táblázata (lásd Savage kritérium): Kereslet t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 Össz Elmulasz-tott nyere-ségek (s=24) 24 21 18 15 12 9 6 3 Valószí-nűségek (relatív gyakoriságok) 0,05 0,10 0,12 0,16 0,20 0,06 1,00 Részlet-szorzatok 1,20 2,10 2,16 2,40 1,80 0,96 0,18 0,00 t=16 t=17 t=18 t=19 t=20 t=21 t=22 t=23 t=24 s=16 2 4 6 8 10 12 14 16 s=17 3 s=18 s=19 9 s=20 s=21 15 s=22 18 s=23 21 s=24 24 A várható elmulasztott nyereség 24 példány megrendelése esetén 12.

43 VEP kritérium – Példa folytatása
A VEP kritérium alkalmazásához minden egyes cselekvési változat (s=16-24) VEP-jét ismernünk kell. A VEP kritérium értelmében (is) s=19 az optimális cselekvés, ehhez tartozik a legkisebb várható elmulasztott nyereség. s=16 s=17 s=18 s=19 s=20 s=21 s=22 s=23 s=24 VEP 8,00 6,25 5,00 4,35 4,50 5,15 6,80 9,25 12,00

44 VP és VEP kritérium kapcsolata
A VP és a VEP kritérium ugyanazt az optimumot adja, hiszen azonos alapadatokból, azonos típusú értékelési rendszerrel jutnak optimális cselekvéshez. Ezért szokás VP-VEP kritériumról is beszélni. s=16 s=17 s=18 s=19 s=20 s=21 s=22 s=23 s=24 VP 32,00 33,75 35,00 35,65 35,50 34,85 33,20 30,75 28,00 VEP 8,00 6,25 5,00 4,35 4,50 5,15 6,80 9,25 12,00 VP+VEP 40,00