Kockázat és megbízhatóság 1 Tartósság és speciális gazdasági számítások

Kockázat és megbízhatóság 2 Gazdasági számítások Alapfogalmak, alapösszefüggések 1 év múlva most Kamatos kamatozás Ismétlés

Kockázat és megbízhatóság 3 r alt Jelenérték-számítás technikája Ismétlés

Kockázat és megbízhatóság 4 Egyszeri pénzáramlások Előjelek, nyíl irányok „értelemszerűen”... „kamatolás” „diszkontálás” „jelenérték” N F P „jövőérték” Ismétlés

Kockázat és megbízhatóság 5 r Táblázatok használata „keressük” „adva” jövőérték faktor Ismétlés

Kockázat és megbízhatóság 6 r Táblázatok használata „keressük” „adva” jelenérték faktor Ismétlés

Kockázat és megbízhatóság 7 Egyszerű példa: Hány $-t kell 10%-os éves hozam mellett kamatoztatni, hogy öt év múlva az összeg $ legyen? 5 F=10000 P=? ,621 r ,621 Ismétlés

Kockázat és megbízhatóság 8 Közelítően hány százalékos éves hozam mellett duplázódik, ill. triplázódik meg egy összeg 5 év alatt? 5 F=2P, ill. 3P P r = ? r ? 52 ill. 3 Ismétlés

Kockázat és megbízhatóság 9 Egyenletes pénzáramlás-sorozat (annuitás) Előjelek, nyíl irányok „értelemszerűen”... „jelenérték” „jövőérték” A Ismétlés

Kockázat és megbízhatóság 10 r Az általános képletek legtöbbször nem kellenek –(képletgyűjtemény) annuitás jelenérték faktor annuitás jövőérték faktortörlesztési faktor előtakarékossági faktor Ismétlés

Kockázat és megbízhatóság 11 r Egyszerű példák: Határozzuk meg 10 éven keresztüli évi 1000$ jelenértékét és jövőértékét! (r=10%) 10 6,145 2,594 15,937 Ismétlés

Kockázat és megbízhatóság 12 Lineárisan növekedő pénzáramlás-sorozat Ismétlés

Kockázat és megbízhatóság 13 r Az általános képletek nem kellenek lineáris növekedés jelenérték faktor lineáris növekedés annuitás faktor Ismétlés

Kockázat és megbízhatóság 14 Egyszerű példák: Mennyi a jelenértéke a következő pénzáramlás- sorozatnak: (r=10%) F 0 = 0 F 1 = $1000 F 2 = $1300 F 3 = $1600 F 4 = $1900 F 5 = $2200 F 6 = $ Ismétlés

Kockázat és megbízhatóság 15 Optimális gazdasági élettartam Berendezések élettartamát vizsgáljuk. A gyakorlatban ezt rendszerint nekünk kell megadni, mivel a berendezéseknek inkább ún. gazdasági élettartama van, nem pedig „fizikai”. Lényegében mindegy, hogy egy adott berendezés lecserélésének időpontjáról kívánunk dönteni, vagy két berendezés közül kell választanunk, az első lépés mindig a gazdasági élettartam meghatározása. Valójában a fajlagosan egyre csökkenő beruházási, és az egyre növekvő üzemeltetési és karbantartási költségek közötti optimumot keressük.

Kockázat és megbízhatóság 16 Példa: Számítsuk ki egy 20000$-ba kerülő berendezés optimális gazdasági élettartamát, ha annak éves üzemeltetési költségei, és az egyes évek végén jelentkező maradványértékek az alábbi táblázat szerint alakulnak (r=20%)!

Kockázat és megbízhatóság 17 Megközelítés: Elméleti megfontolások Azt feltételezzük, hogy a berendezést – hasonló feltételekkel – újra meg újra meg tudjuk majd venni a jövőben, így élettartama csak annyiban számít, hogy milyen gyakran kell lecserélni Az éves egyenértékes mutatót használjuk az eltérő időtartamú, láncszerűen megismételhető projektek összehasonlítására, úgy hogy az éves pénzáramlás egyenértékeseket vetjük össze. A számítás menete A beruházás, a működtetési költségek és a maradványérték éves egyenértékeseinek meghatározása évenként A teljes éves egyenértékesek kiszámítása évenként A legkedvezőbb teljes éves egyenértékes alapján az optimális gazdasági élettartam kiválasztása

Kockázat és megbízhatóság 18

Kockázat és megbízhatóság 19

Kockázat és megbízhatóság 20 Összegzés: Számítási hiba a jegyzetben.

Kockázat és megbízhatóság 21 élettartam (évek) Éves költség- egyenértékes Beruházás és maradványérték Üzemeltetés és karbantartás Teljes éves költség optimum

Kockázat és megbízhatóság Példa: Hány év az alább vázolt pénzáramlásokat ígérő berendezés gazdasági élettartama?

Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság 27 Eredmények összesítve: AE(15%) élettartam (évek) A gazdasági élettartam tehát 4 év.

Kockázat és megbízhatóság 28 élettartam (évek) Éves költség- egyenértékes Beruházás és maradványérték Üzemeltetés és karbantartás Teljes éves költség optimum

Kockázat és megbízhatóság 29 élettartam (évek) Beruházás és maradványérték Éves költség- egyenértékes

Kockázat és megbízhatóság 30 Meghatározásánál évről-évre haladva kiszámítjuk az összes költség éves egyenértékesét, majd kiválasztjuk a legkisebbet. Beruházás és maradványérték Üzemeltetés és karbantartás Teljes éves költség

Kockázat és megbízhatóság 31 Speciális gazdasági számítások Mindeddig feltételeztük, hogy minden pénzáramlás az év végén esedékes. Ekkor nyilván éves kamatozásokat is használtunk. Természetesen nem minden eset elemezhető e feltételezések mellett. Kamatfizetés, illetve törlesztés gyakoriságának hatása

Kockázat és megbízhatóság 32 Nézzünk egy-két esetet!

Kockázat és megbízhatóság 33 Nézzünk egy-két számpéldát!

Kockázat és megbízhatóság 34 Példa: Évi 16%-ot kínáló kötvényünk negyedévente fizet kamatot. Valójában mekkora éves effektív kamatot kapunk? azaz kb. 17%.

Kockázat és megbízhatóság 35 Kamat-táblázataink csak egész értékű kamatértékeknél használhatók, így az évestől eltérő esetekben az általános képleteket kell használni.

Kockázat és megbízhatóság 36 Példa: Egy áruházi katalógus ajánlata szerint egy alumínium asztal Ft, míg egy hozzávaló karosszék Ft. Mindkét termékhez hitelajánlat is párosul: az asztalhoz Ft önerő után 28 hónapon keresztül havi 3000 Ft-ért, a székhez 9178 önerő után 11 hónapon át havi 3000 Ft-ért juthatunk hozzá. Mekkora kamatot számol fel az áruház? Hitelajánlat: 11x 3000 Ft Önerő: 9178 Ár: Ft Hitelajánlat: 28x 3000 Ft Önerő: Ár: Ft

Kockázat és megbízhatóság 37 Hitelajánlat: 28x 3000 Ft Önerő: Ár: Ft Megoldás: IRR meghatározás –kezdjük az asztallal –induljunk ki havi 1% kamatból: Mit jelent az eredmény? Kisebb vagy nagyobb IRR-t? –Nagyobb IRR-t (aminek most nem örülünk…)

Kockázat és megbízhatóság 38 Hitelajánlat: 28x 3000 Ft Önerő: Ár: Ft –Próbálkozzunk most havi 2% kamattal: Még mindig kevés...

Kockázat és megbízhatóság 39 –Próbálkozzunk most havi 3% kamattal: Ábrázoljuk a kapott eredményeket: IRR~2,35% %/hó 3 12 NPV

Kockázat és megbízhatóság 40 Havi 2,35%-ra kapjuk tehát a hitelt. Mindez azaz 32,15% éves (effektív) kamatnak felel meg. Vajon a szék esetén is ekkora kamattal számoltak? Hitelajánlat: 11x 3000 Ft Önerő: 9178 Ár: Ft Igen!

Kockázat és megbízhatóság 41 Példa: Évi nettó 2,4 millió Ft fizetést kapunk meg havi részletekben. Valójában mekkora az éves jövedelmünk, ha az éves kamat 12%.

Kockázat és megbízhatóság 42 Példa: Egy bank hirdetése szerint 1 millió Ft kölcsönt vehetünk fel 36 hónapra, havi Ft törlesztéssel. Mennyi az éves effektív kamat?

Kockázat és megbízhatóság 43 Folytonos kamatos kamatozás:

Kockázat és megbízhatóság 44 A folytonos kamatos kamatozás általános összefüggései:

Kockázat és megbízhatóság 45 Például: Pénzáramlásokra vonatkozó általános képlet:

Kockázat és megbízhatóság 46 Folytonos esetben N helyett t szokás használni, hiszen itt már nem „egész” években számolnunk: A folyamatos kamatozás lehetővé teszi a folyamatos pénzáramlások kezelését is: A N t A t

Kockázat és megbízhatóság 47 t A N A

Kockázat és megbízhatóság 48 A folyamatos pénzáramlásoknak az igazi terepe… A kockázat nem csak egy pénzáramlás nagyságának ingadozásából eredhet, hanem időzítéséből is: Időzítésből eredő kockázat

Kockázat és megbízhatóság 49 F1F1 F1F1 F1F1 F1F1 F1F1 F1F1

Kockázat és megbízhatóság 50 Alapesetek: t f(t) F Általános képletek: t F Bizonytalan időzítésű, F jövőbeli pénzáramlás várható jelenértéke, ha a bekövetkezési időpont, mint valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(t). E[F] várható értékű, t idő múlva bekövetkező jövőbeli pénzáramlás várható jelenértéke.

Kockázat és megbízhatóság 51 A „csúnya” integrálos rész könnyen megkapható (valójában a sűrűség - függvények Laplace-transzformáltja)

Kockázat és megbízhatóság 52 Pierre Simon Laplace ( ) –Francia matematikus és csillagász –Bolygók pályáinak stabilitása –Fő műve a Mécanique céleste mérföldkő az alkalmazott matematikában

Kockázat és megbízhatóság 53 t f(t) F Váratlanul meghibásodó berendezések gazdasági alapszámításai Az eddigiekben ismertetett eszköztár segítségével már viszonylag könnyen elemezhetjük a meghibásodásokkal kapcsolatos (amúgy igen bonyolult) gazdasági kérdéseket. A váratlan meghibásodások legegyszerűbb esetét az imént tárgyaltuk (pl. váratlan javítási költség):

Kockázat és megbízhatóság 54 Példa: Egy berendezés váratlan meghibásodása 20 m$-os költséggel jár. A meghibásodás időpontja normális eloszlással jellemezhető, melynek várható értéke 10 év, szórása 3 év. Mekkora a meghibásodás várható jelenértéke? r = 15% Hasonlítsuk össze ezt az értéket a meghibásodás várható időpontja szerinti számítás eredményével!

Kockázat és megbízhatóság 55 f(t) t A Tekintsük át a további fontosabb modelleket! Ez a modell az élettartam hosszának kockázatát modellezi. Általános összefüggése (levezetés nélkül):

Kockázat és megbízhatóság 56 Példa: Az előzőekben már vizsgált váratlanul meghibásodó berendezésnél most az élettartamot jellemezzük olyan normális eloszlással, melynek várható értéke 10 év, szórása 3 év. Mekkora a berendezés üzemeltetésének várható jelenértéke, ha működésével 50 m$/év pénzáramlást „termel”? r = 15% Hasonlítsuk össze ezt az értéket a várható élettartam szerinti számítás eredményével !

Kockázat és megbízhatóság 57 f(t)... F Egy másik jellemző eset: Ezt használjuk javítható rendszerek gazdasági elemzésekor (a pénzáramlások a javítási költségek) Általános képlete (levezetés nélkül):

Kockázat és megbízhatóság 58 Végül egy összetettebb eset: Általános képlete (levezetés nélkül): f 1 (t)... F1F1 f 2 (t) F2F2 Véletlen időtartamig működik (termel), majd véletlen időtartamig javítják (költeni kell rá).

Kockázat és megbízhatóság 59 P(r) = F L(r) F = 10 mFt r = 10 % = 10·0,162 = 1,62 mFt Példa: Egy öregedő jellegű rendszerelem meghibásodását az alábbi sűrűségfüggvény jellemzi. Mekkora a rendszerelem meghibásodásának jelenértéke, ha a meghibásodáskor 10mFt költség lép fel? r=10%

Kockázat és megbízhatóság 60 Példa: Határozzuk meg a villámvédelemre fordítandó összeg maximális értékét. Tételezzük fel, hogy egy villámbecsapódás 80 mFt kárt okoz. Meteorológiai adatok alapján tudjuk, hogy üzemünk környékén a villámbecsapódás várható értéke 10év/km 2. Üzemünk veszélyeztetett területe 200x300m. Mekkora a villámvédelemre költendő összeg ésszerű felső határa, ha r=12%, és a villámbecsapódás exponenciális eloszlással írható le. F = 80 mFtr = 12 % T 1 =1/λ = 10 / (0,2 x 0,3) = 166,7 évλ = 0,006 Megjegyzés:

Kockázat és megbízhatóság 61 Példa: Egy távközlési átjátszó berendezés üzemeltetése évi 4,8mFt nettó pénzáramlást termel. Érdemes-e beruházni egy ilyen berendezésbe 40mFt-ot, ha élettartama – amely az első villámbecsapódásig tart – 25 év várható értékű exponenciális eloszlással jellemezhető? r=10% T 1 =1/λ = 25 évλ = 0,04

Kockázat és megbízhatóság 62 Példa: Egy szállítószalag hajtómotorjának váratlan meghibásodásai véletlenszerűen követik egymást. Minden váratlan meghibásodás 120 ezer forintos helyreállítási költséggel jár. Minden meghibásodásig eltelt idő olyan normális valószínűségi eloszlással jellemezhető, melynek várható értéke 0,5 év, szórása 0,1 év. Mekkora a hajtómotor helyreállításainak várható jelenértéke, ha r=15%?

Kockázat és megbízhatóság 63 Példa: Egy erőmű egy blokkjának működése olyan bevételt termel, amely egy Ft/óra nagyságú, egyenletes pozitív pénzáramlásnak felel meg. E pénzáramlás időtartama azonban bizonytalan, addig áll fenn, amíg az erőmű szóban forgó blokkja működőképes állapotban van. A blokk meghibásodása esetén, annak helyreállítása szintén bizonytalan ideig tart, s a helyreállítás ideje alatt 1100 Ft/óra nagyságú, egyenletes negatív pénzáramlás jelentkezik. Tapasztalatok alapján az erőművi blokk hibamentes működési ideje egy 7200 óra várható értékű, 360 óra szórású normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető, míg helyreállítási ideje szintén egy normális eloszlású valószínűségi változóval írható le, melynek várható értéke 96 óra, szórása pedig 26,4 óra. Adjuk meg az erőművi blokk üzemeléséből adódó pénzáramlások várható jelenértékét, ha a kamatláb 10%!

Kockázat és megbízhatóság 64 Működés:Javítás: A kamatláb éves, a pénzáramlások viszont óránként jelentkez(het)nek.