Szerkezetek Dinamikája 3. hét: Dinamikai merevségi mátrix végeselemek módszere esetén. Másodrendű hatások rúdszerkezetek rezgésszámításánál.

Irodalom  BSc: Györgyi József Dinamika, Műegyetemi kiadó  MSc: Györgyi József Szerkezetek dinamikája, Műegyetemi kiadó 

Többszabadságfokú rendszerek Rugókkal kapcsolt tömegpontokból álló rendszer egyenletei x3(t)x3(t) x2(t)x2(t) x1(t)x1(t) m3m3 m2m2 m1m1 q3(t)q3(t) q2(t)q2(t) q1(t)q1(t) m1m1 S2S2 S1S1 G1G1 m3m3 m2m2 m1m1 k1k1 k2k2 k3k3 m1m1 ∆S2∆S2 ∆S 1

Többszabadságfokú rendszerek Rugókkal kapcsolt tömegpontokból álló rendszer egyenletei  Newton törvénye alapján:  Átrendezve:  Tömören:

Többszabadságfokú rendszerek Rugókkal kapcsolt tömegpontokból álló rendszer egyenletei  Mtömegmátrix Kmerevségi mátrix x(t)a tömegpontok elmozdulásainak vektora q(t)tömegpontokat gerjesztő erők vektora  Többszabadságfokú rendszer szabad rezgése:  Többszabadságfokú rendszer harmonikus gerjesztéssel:

Rúdszerkezetek rezgésszámítása pontos dinamikai merevségi mátrixszal

Virtuális erők tétele kiselmozdulások módszere Rugalmas, elhanyagolható tömegű szerkezeten lévő tömegpontok merevségének számítása Elmozdulások: Visszatérítő erők: Egységnyi elmozdulásból számított erő értékek Egységnyi erőből számított elmozdulás értékek

Rúdszerkezetek számítása csomópontokba koncentrált rúdtömegekkel x3x3 x4x4 x2x2 x1x1

 Az állandó keresztmetszetű rúd elemi merevségi mátrixa saját koordinátarendszerben:

Rúdszerkezetek számítása csomópontokba koncentrált rúdtömegekkel  A szerkezet merevségi mátrixa a gerendatartó esetében: I.Modell

Rúdszerkezetek számítása csomópontokba koncentrált rúdtömegekkel  A transzformációs mátrixok:

Rúdszerkezetek számítása csomópontokba koncentrált rúdtömegekkel  Az elemi merevségi mátrix kerettartó esetében:  Ezek után a szerkezet merevségi mátrixát ugyanúgy tudjuk kompilálni mint a gerendatartónál.  Rugalmas megtámasztás esetén a támaszrugók merevségét a szerkezeti K mátrix főátlójának elemeihez kell hozzáadni. x3x3 x4x4 x2x2 x1x1 I. Modell II. Modell

Rúdszerkezetek számítása csomópontokba koncentrált rúdtömegekkel  A tömegmátrix: az adott csomópontnak megfelelő elmozdulási helyre a diagonál tömegmátrixba beírjuk a csomópontnál lévő tömeget (a rudak tömege feleződik). Mivel a csomópontoknak elfordulása is van, ezért az elfordulásnak megfelelő helyre a tömegnek a síkra a merőleges (z) tengelyre számított tehetetlenségi nyomatékát vesszük figyelembe. k 1 2 3

A végeselemek módszerének alkalmazásai

A konzisztens elemi tömegmátrix számítása  A megoszló tömegerőt redukálva a csomópontokra  Ha a tömegmátrix kifejezésében az elmozdulásfüggvények frekvencia- független, ún. statikus elmozdulásfüggvények, akkor az elem ún. konzisztens tömegmátrixát állítjuk elő.  Tárcsaelemnél pl:

Egy állandó keresztmetszetű rúd konzisztens tömegmátrixa A konzisztens tömegmátrixnak a dinamikus tömegmátrix helyett történő alkalmazásával elkövetett hiba az elem méretek csökkentésével (a végeselemes hálózat sűrítésével) csökkenthető.

Kiegészítő tömegek figyelembevétele Koncentrált tömegpontok  Célszerű a hálózatot úgy kialakítani, hogy a tömegpontnak megfelelő helyre kerüljön hálózati csomópont.  A tömegmátrix adott (k-adik) csomópontnak megfelelő blokkjához egy diagonál blokkot adunk hozzá.

Kiegészítő tömegek figyelembevétele Megoszló tömegek  Ha a szerkezet adott felületén (rúdnál a rúd mentén) megoszló tömeg van, akkor a legegyszerűbb eljárás, ha a hálózatot úgy alakítjuk ki, hogy a teherfelületet (szakaszt) lefedje egy vagy több hálózati elem.  Ezeknél az elemeknél a merevségi viszonyok nem változnak és a kiegészítő tömeg egy ekvivalens anyagsűrűséggel figyelembe vehető.

Kiegészítő tömegek figyelembevétele Elemen belüli (mozgó) koncentrált tömeg  Ha a szerkezeten egy adott tömegpont helyzete változhat, a hálózatot általában nem lehet úgy kialakítani, hogy a tömegpontnak megfelelő helyre mindig kerüljön hálózati csomópont.  Ehhez folytonosan változtatni kellene a hálózati osztást. Az ilyen esetben azt mondhatjuk, hogy a tömegpont, egy adott (j- edik) elem saját koordinátarendszerbeli x 0, y 0, z 0 pontjában helyezkedik el.  Az elem kiegészítő tömegmátrixa az eredeti elemi tömegmátrixszal megegyező struktúrájú lesz, ahhoz egyszerűen hozzáadódik, és a továbbiakban ezzel az összegzett mátrixszal lehet dolgozni a szerkezet tömegmátrixának összeállításánál.

Másodlagos hatások rúdszerkezeteknél Az elfordulási tehetetlenség hatása

 A fajlagos hajlítónyomaték: Másodlagos hatások rúdszerkezeteknél A statikus normálerő hatása

Másodlagos hatások rúdszerkezeteknél A nyírási alakváltozás hatása Állandó keresztmetszetű rúd: