A káosz olyan mozgás, mely - szabálytalan, nem ismétli önmagát, nem periodikus - előrejelezhetetlen, érzékeny a kezdőfeltételekre, hosszútávon valószínűségi - szabályos a fázistérben, fraktálszerkezetű Mérőszámok: h > 0 > 0 2>D 0 >1 Ezek a tulajdonságok és az új mérőszámok értéke mind a Newton-egyenletből következik. Az eddigiek összefoglalása:

Milyen rendszerben nem lehet káosz ? Semmilyen lineáris rendszerben nem lehet (még akkor sem, ha nagyon sok változója van). Nem lehet egydimenziós gerjesztetlen mozgásokban (még akkor sem, ha az erőtörvény nemlineáris). Számunkra a differenciálegyenletek legfontosabb vonása az, hogy lineáris-e!

Milyen rendszerben lehet káosz ? Disszipatív eset: Mely egydimenziós gerjesztett mozgás, vagy összetettebb. Azaz, legalább 3 elsőrendű autonóm differenciálegyenlet írja le. A d 2 x/dt 2 = a(x, dx/dt, cos(Ωt)) egyenlet másképpen: dx /dt=v, dv/dt=a(x,v,cos(Φ )), dΦ/dt= Ω, vagyis ha a fázistér legalább 3 dimenziós. Az ilyen rendszer még egyszerű! Példa: gerjesztett anharmonikus oszcillátor

A káosz kialakulása Jellemzően bifurkációkon keresztül történik, ha egy paramétert változtatunk. Láttuk, bifurkáció csak nemlineáris rendszerben fordulhat elő. Káosz ott, ahol az attraktor nem néhány izolált pontból áll.

Milyen rendszerben lehet káosz ? Konzervatív eset: Melyben a független megmaradó mennyiségek száma kisebb a helykoordináták (a szabadsági fokok) f számánál. Példák: Kepler-probléma: f=2, E, N állandó -> nem kaotikus Anizotróp Kepler: f=2, E állandó -> kaotikus. A bolygómozgás egy szabálytalan alakú égitest körül kaotikus lenne! Korlátozott 3-test probléma: f=2, E állandó -> kaotikus (Poincaré) Szimmetrikus súlyos pörgettyű: f=3, E, N z, N z’ állandó -> nem kaotikus Aszimmetrikus súlyos pörgettyű: f=3, E, N z állandó -> kaotikus (Kovalevszkája)

A káosz rövid története A névadók: A nagy felfedező: Gyökerek: James Yorke (1941-) Chaos:1975 Benoit Mandelbrot ( ) Fractals: 1975 Japan Price, 2003 Edward Lorenz ( ) Lorenz-modell: 1963, kaotikus attraktor, „a légkör kaotikus” Henri Poincaré ( ) Égi mechanika kaotikus:1892 Szonja Kovalevszkája ( ) Az aszimmetrikus pörgettyű kaotikus: 1888

A káosz természetfilozófiai tanulsága A Newton-egyenlet (minden diff-egyenlet) determinisztikus, nincs benne zaj-tag, nem stochasztikus diff-egyenlet. Laplace 1814: „Egy értelmes lény, aki egy adott időpillanatban ismerné a természetet mozgató összes erőket és az azt alkotó minden létező egymáshoz viszonyított helyzetét…, egyetlen formulában foghatná át az Univerzum legnagyobb tömegeinek és legkönnyebb atomjainak mozgását: semmi sem lenne bizonytalan számára: mind a múltat, mind a jövőt egyszerre látnák szemei.” A káosz arra tanít, hogy kétféle determinizmust érdemes megkülönböztetni: Elvi determinizmus: végtelen pontosan megadott kezdőfeltétellel pontos végállapotot lehet meghatározni Gyakorlati determinizmus: kis pontatlansággal megadott kezdőfeltétel mellet a hosszú idő után beálló végállapotot is még kis (de nagyobb) pontatlansággal meg lehet adni.

Mind a szabályos mind a kaotikus mozgás elvi szinten determinisztikus, de gyakorlati szempontból csak a szabályos mozgás determinisztikus. A kaotikus mozgás gyakorlati szempontból nem determinisztikus. Ezért hívják ezt a jelenséget determinisztikus káosznak. A káosz átmenet a szabályos mozgás és a zaj között. Determinisztikus az egyenlete, de valószínűségi viselkedést mutat. A káoszt nem külső hatások, hanem a belső dinamika, az állandósult instablitás okozza. Kaotikus rendszerekben a pálya, trajektória fogalma értelmetlenné válik az előrejelzési idő eltelte után. Hosszabb időkre csak a valószínűségi leírás értelmes. Ennyiben hasonló a helyzet a kvantummechanikáéhoz, de a káosszal nem jár új alapegyenlet (a Newton-egyenlet változatlan), ezért a káosz nem hoz paradigmaváltást. Hoz viszont szemléletváltást.

A káosz alkalmazási több tudományterület jellege teljesen megváltozott a káosz hatására Részletesebben: cikksorozat a Természet Világában , Mérnöki tudományok szabálytalan rezgések (szerszámgépek) kerekek berezgése (bevásárlókocsi első kereke) áramkörök begerjedése a káosz szabályozása, periodikussá tétele Kémia időben oszcilláló reakciók kaotikus időfüggésűekké válhatnak Biológia populációk változása (sáskajárás, molyhos lepke) járványok időfüggése a szívritmus egészséges állapotban kissé kaotikus

A helyes előrejelzés valószínűségi: megadja a várható szórást, es annak többszöröseit is. Ez következik az ensemble előrejelzésből is. Ahol különösen nagy a szórás, oda mérőrepülőgépet célszerű küldeni. Meteorológia A légkör sem jelezhető előre. A káosszal való analógia alapján ma már az ún. ensemble (együttes) előrejelzést használják. Ebben 50 közeli kezdőfeltételből indított szimulációt futtatnak az egész Földre. Azokban a pillanatokban és helyeken, ahol az eredmények nagyon eltérnek (ahol nagy a Ljapunov-exponens) ott nagyobb bizonytalansággal adják ki az előrejelzést, az így megbízhatóbbá vált. 4-5 napnál hosszabb megbízható előrejelzés elvileg sem várható: t e =3-5 nap.

Vajon melyiket tudjuk könnyebben megjósolni? A napot holnap eltakaró felhőt, vagy a Napot száz év múlva eltakaró Holdat? Melyik jelezhető előre?

Vajon ki tudja megmondani, hogy ez a napfogyatkozás a felhőktől látható lesz-e? Akkor tehát a Naprendszerben minden előrejelezhető? A napfogyatkozások időpontja és helye egyszerű programokkal is nagyon pontosan kiszámítható. Teljes napfogyatkozás Magyarországon augusztus 11-én volt utoljára, s szeptember 3-án 7 óra 51 perc 8 másodperckor lesz legközelebb (É.sz. 47,3° K.h 19.05°, 120m magasságon számítva). (Lásd:

Csillagászat A Voyager-I felfedezte (1981), hogy a Hyperion, a Szaturnusz egyik szivar alakú holdja szabálytalan fényvisszaverődést mutat. A Hyperion forgása kaotikus. Utána szimulálással felfedezték: a Plútó is kaotikusan mozog. Kiderült, hogy a belső bolygók is kaotikusak, köztük a Föld. A pálya stabil, de a pálya elfordulása és a forgástengely „billegése” szabálytalan. Az előrejelzési idő 5 millió év. A Föld típusú bolygók ütközése 1% valószínűségű 3.3 milliárd év múlva A Mars forgástengelye nagy kilengéseket végez, akár fokot is változhat néhány évmillió alatt. Ez lehet a magyarázata a sarki jégsapkák időleges elolvadásának (a vízfolyásoknak). A Hold stabilizáló hatása nélkül a Föld forgástengelye is ennyire kilengene. Az exobolygók nagy része kaotikus lehet, s ezeken az élet valószínűsége kicsi.

A kisbolygók mozgása kaotikus. A kisebbek jelennek meg hullócsillagokként. A Földnek a nagyobbakkal való találkozása kis valószínűségű, de nem lehetetlen még év tizedeken belül sem. Az Apóphisz (az ókori Egyiptom káosz istene) egy 300 méter átmérőjű kisbolygó ben 2.7% valószínűséget számoltak egy ben bekövetkező ütközésre. Ma már a számítások csak 1:45000-t mondanak. Ez az „időfüggés” maga káoszra utal. Látjuk, hogy az égitestek mozgása is kaotikus, csak más skálán. Minden rendszernek más az előrejelzési ideje!

Keveredés (szennyezések terjedése) A közegtől anyagától eltérő anyag eloszlása az áramlás hatására Legyen az áramlás v(r,t) sebességtere ismert, s keressük ebben az áramlásban egy megfestett részecske (szennyező szemcse) r(t) pályáját. Feltesszük, hogy a részecske nagyon kicsi, mely általában nagyon jó közelítés. Ekkor azonnal felveszi a folyadék sebességét azon az r(t) helyen, ahol éppen található. Mozgásegyenlete ezért d r (t) / d t = v(r(t),t). Ez egy elsőrendű differenciálegyenlet, a kezdőfeltétel: r(0)=r 0. A kezdősebességet nem kell ismernünk, mert megegyezik a folyadékéval.. Ez az egyenlet nem Newton-egyenlet (mely másodrendű), hanem Arisztotelész-i egyenlet. Ebben az összefüggésben ez a korrekt mozgásegyenlet.

Szálas szerkezet alakul ki. Minden egyes festékcsepp kaotikus pályán mozog. A kezdetben közeli pontok gyorsan eltávolodnak. Szabad szemmel az exponenciális távolodás (a pozitív Ljapunov--exponens). Következmény: 1. a fázistér megegyezik a valódi térrel, a folyadék terével. Minden látható benne, amit egy fázistérben lehet látni. Most le is fényképezhető. 2. a részecskék mozgása általában kaotikus. Kaotikus halmazok és sokaságaik megfigyelhetők a folyadékban.

Fukushimai radioaktív aeroszol sodródás Haszpra Tímea

Bóják sodródása a Dunán a BME Vizgazdálkodási Tanszékkel A vizsgált Duna szakasz, Göd Bizonyos helyeken és időkben a Ljapunov-exponens pozitív -> káosz, ott erős keveredés

Térben kiterjedt rendszerek nemlineáris jelenségei Nemlineáris hullámok A lineáris hullámok mellett léteznek nemlineáris hullámok is. Ilyen például a szoliton, ami a cunamiban is fellép. Ezekre nem érvényes a szuperpozíció elve, és sebességük függ a A amplitudójuktól (A<H):

Instabilitások Egy adott térbeli elrendezés a paraméterek változására egyszercsak Instabillá válik, s új, struktúrált térbeli szerkezet alakul ki. Pl.: az alulról fűtött folyadékban eleinte semmilyen áramlás nem alakul ki, de egy kiritkus ΔT c felett kialakul egy térben szigorúan periodikus áramlás. Ilyenkor a „semmiből lesz valami”, analóg a bifurkációval, csak térbeli szerkezetváltozásra utal.

Magasabb hőmérsékletkülönbség esetén: Szabályos rácsozat folyadékból.

A henger körüli áramlásban közepes sebességek esetén Kármán-féle örvényút. Ez időben periodikus.

A rendszer instabilitások sorozatán egyre bonyolultabbá válik térben is és Időben is. Ezeken keresztül jut el a turbulenciához, mely a térben is és időben is legrendezetlenebb viselkedés. A káosz analogonja, de a káosznak nincs térbeli kiterjedése. Turbulencia

Időbeli jelenségek, kis szabadsági fokú rendszerek Térben kiterjedt rendszerek, nagy szabadsági fokú rendszerek nemlineáris rezgéseknemlineáris hullámok bifurkációinstabilitás bifurkáció-sorozatinstabilitás-sorozat káoszturbulencia A legfontosabb nemlineáris jelenségek és megfeleltetésük kizárólag időtől függő és térbeli kiterjedéssel is rendelkező rendszerekben. A bal oldali jelenségeket és így a káoszt is közönséges diff. egyenletek írják le. A jobb oldali jelenségeket így a turbulenciát is parciális diff. egyenletek írják le. A turbulencia nem káosz, bonyolultabb annál. (A társadalomnak nem ismertek az egyenletei, így nem is lehet se kaotikus, se turbulens.)

Kvantumkáosz Lehet-e kaotikus a kvantummechanika? A Schrödinger-egyenlet parciális egyenlet, de lineáris. Szoliton, instabilitás és turbulencia ezért nem jelenhet meg benne. A hullámfüggvény tehát nem mutathatja a térben is kiterjedt rendszerekre jellemző káosz-szerű jelenségeket. A klasszikusan kaotikus es nem-kaotikus rendszerek kvantált megfelelői között mégis van különbség, méghozzá az energiaspektrum jellegében. A nem-kaotikus esetekben az energiaszintek valamilyen szabály szerint követik egymást (a H - atomban pl. E n ~ 1/n 2 ), a kaotikus esetekben viszont (pl. anizotróp H-atom) az egymás utáni energiaszintek különbségéből semmilyen szabály sem olvasható le, az energiaszintek eloszlása véletlenszerű. Balázs N: Káosz és kvantummechanika, Természet Világa 128, (1995)

Mi nem káosz/kaotikus ? Az egyszeri vagy néhányszori instabilitás (a feldőlő ceruza) film: A külső hatásból eredő zaj, pl. a Brown-mozgásban (a zajt, a molekulák mozgását szokás – Boltzmann óta – molekuláris káosznak is nevezni) A sok összetevőből álló, vagy egyenletekkel le sem írható rendszerek mozgása (így a történelem vagy a társadalom sem). A turbulencia és a légkör (ezek bonyolultabbak, mint a káosz; előrejelezhetetlenek, de az elörejelezhetetlenség a káosznak csak egyetlen vonása, egy másik: a fraktálság - alacsony dimenzióval - nem teljesül). A hétköznapi szóhasználatban a káosz: térbeli összevisszaság. A tudományban: időbeli szabálytalan mozgás. Ezek mind keverhetők: hívjuk fel a lehetséges félreértésekre a figyelmet! Káosz és társadalom

Kulturális vonatkozások Pillangó effektus Edward Lorenz 1972-ben előadást tartott a következő címmel: „Előrejelezhetőség: Okozhat-e tornádót Texasban egy brazíliai pillangó szárnycsapása?”. A Lorenz-attraktor alakja: A pillangóeffektus elnevezés Gleick könyvének szóhasználata alapján terjedt el, ráadásul abban a téves értelemben, hogy a kérdésre pozitív a válasz. Az előrejelezhetetlenség azonban korlátozott, csakis a kaotikus attraktoron áll fenn. A Lorenz-előadásban feltett kérdésre tehát csak akkor adható meg a válasz, ha el tudjuk dönteni, hogy a Brazíliából induló eredeti és a szárnycsapással odébbpöckölt mozgáspálya rajta van-e azon az attraktoron, amelyhez a texasi tornádó tartozik..

Erre már csak azért is kevés az esély, mert a déli és az északi félteke légtömegei között gyakorlatilag nincs kölcsönhatás. Ráadásul, ha egy pillangószárnycsapás kiválthat tornádót, akkor meg is akadályozhatja azt. A szélsőséges események statisztikai gyakorisága tehát nem nő a pillangó miatt; a hasonlat csupán a jelenség véletlenszerű viselkedését illusztrálja. A pillangó hatást a hétköznapi használatban úgy értelmezik, hogy a modern természettudomány szerint semmiben sem lehetünk biztosak, s minden mindennel összefügg. Ez nem igaz! Ráadásul mint láttuk, a káosz valószínűségi leírása tetszőlegesen pontossá tehető. Szaknyelven: a pillangóhatás a pozitív Ljapunov-exponens létezésének szimbolikus kifejezése. Semmivel sem több.

Film: S. Spielberg: Jurassic Park, 1993 A káoszkutató (Dr Ian Malcolm/ Jeff Goldblum): hibás értelmezés

Szindarab: Tom Stoppard: Árkádia Septimus, ha az ember megkavarja a tejberizst, a kanál dzsem körkörös piros csíkokban szétterjed; olyan, mint egy meteor képe a csillagászati atlaszomban. De ha visszafelé kavarja, a dzsem nem áll össze ismét. Sőt, a tejberizs rá se hederít, és ugyanúgy színeződik tovább rózsaszínűre, mint addig. Nem gondolja, hogy ez különös? Idézetek (a szerző helyesen adja vissza a káosz lényegét): - Elhisszük, hogy a természetet számokban írták? - El. - Akkor a maga egyenletei miért csak az ipari formákat írják le? - Nem tudom. - Ilyen eszközökkel Isten csak egy szekrényt tudott volna teremteni. Azok a dolgok, amikről az emberek verseket írnak - a felhők - a tűzliliom – a vízesés - meg ami egy csésze kávéban történik, amikor belemegy a tejszín – mindez csupa rejtély, éppolyan rejtélyes nekünk, mint amilyen az ég volt a görögöknek. Jobban meg tudjuk jósolni, hogy milyen események várhatók a galaxis peremén vagy az atommag belsejében, mint azt, hogy fog-e esni mához három hétre a nénikénk kerti ünnepélyén. Minden pillanat megteremti a következőnek a feltételeit, ezért megjósolhatatlan például az időjárás, mindig is megjósolhatatlan lesz.

Láthatjuk-e ha jön? Determinizmus, káosz, előrejelzés-egy új természettudományos paradigma társadalomtudományi vonatkozásairól, Replika, szám Társadalomtudomány Sajátos: A szociológusok reakciója arra, hogy lehetett volna-e tudni a változások közeledtét:: Konklúziójuk: nem lehetett volna tudni, hiszen a társadalom –szerintük – kaotikus, azaz előrejelezhetetlen. Ez önámítás: azért egy valószínűségi kijelentést beleférhetett volna!

Más területeken is megrázó : A.Sokal, J. Bricmont: Intellektuális imposztorok, Posztmodern értelmiségiek visszaélése a tudománnyal Typotex, Bp „Jean Baudrillard szociológus és filozófus a valóság- látszat-illúzó problematikájának tárgyalása alapján vált ismertté. … „ Idézet Baudrillard, 1994,-ből: „A kezdeti feltételek, az eredet szingularitások nem számítanak: minden a Zéró pont felé halad – amely önmaga is egy különös attraktor. … Komplex, metastatikus, virális rendszerek, bezárva az exponenciális dimenzióba (akár az instabilitás, akár a stabilitás dimenziójába), az excentricitásba és a fraktálok ollós paritásába, többé nem érhetnek véget.” Sokal és Bricmont (fizikusok) kommentárja: „Nem lehet nem felfigyelni a tudományos és áltudományos terminusok hemzsegésére – olyan mondatokban, melyek legjobb tudásunk szerint nélkülöznek minden értelmet.”

A káosz szó etimológiája "Kezdetben teremté Isten az eget és a földet. A föld pedig kietlen és puszta vala” Mózes „ … v’Ha-aretz hayta tohu va’vohu Genesis, 1.2 tohu ~ üresség, bohu ~ pusztaság? Karasszon István (Károli G. R. E): a tohuvabohu-ban benne rejlik a sumér istennő Tiamat (Tehom) neve, aki az ősóceán, az őskáosz istene. A görög fordításba (Septuaginta, i.e.300) nem tudták átültetni a kulturális különbségek miatt, üresség lett helyette, s ez került a latin Vulgata-ba (400) is. A lényeg megmaradt: a strukturált világ megjelenése a rendezetlenből (de a káosz vagy szinonímája csak a héberben szerepel). A héberben tohu va’vohu=összevisszaság (ma is)

Kaotikus inga a Bristoli székesegyházban St. Mary Redcliffe Részletek:

Összefoglalásként, útravalóul „A tanult embert az jellemzi ugyanis, hogy minden kérdésben csak olyan fokú szabatosságot kíván, amekkorát az illető tárgy természete megenged.” Arisztotelész, Nikomakhoszi etika ~ i.e. 340