Levezetési szabályok kvantorokra  -bevezetés (egzisztenciális általánosítás, EG)  -kiküszöbölés (univerzális megjelenítés, UI)  -kiküszöbölés (EI):

Az előadások a következő témára: "Levezetési szabályok kvantorokra  -bevezetés (egzisztenciális általánosítás, EG)  -kiküszöbölés (univerzális megjelenítés, UI)  -kiküszöbölés (EI):"— Előadás másolata:

1 Levezetési szabályok kvantorokra  -bevezetés (egzisztenciális általánosítás, EG)  -kiküszöbölés (univerzális megjelenítés, UI)  -kiküszöbölés (EI): ha tudjuk, hogy vannak A-k, nevezzük el egyiket c-nek.  -bevezetés (UG): ha be akarjuk bizonyítani, hogy minden objektum A, vegyünk egy tetszőleges c objektumot, és bizonyítsuk be róla, hogy A. általában nem jár új névkonstanssal és nem jelent problémát

2 Hogyan verheti át egymást EI és UG? (1) Minden fiú táncolt egy lánnyal. (2) Van olyan lány, akivel minden fiú táncolt. (2)-ből nyilván következik (1), és le is tudjuk vezetni. Legyen c egy olyan lány, akivel minden fiú táncolt. (2) szerint kell, hogy legyen ilyen. (3) Minden fiú táncolt c-vel.EI (2)-ből. Akkor legyen d egy tetszőleges fiú. (4) d táncolt c-vel. UI (3)-ból. (5) Van olyan lány, akivel d táncolt.EG (4)-ből. Mivel d tetszőleges fiú volt, (5)-ből UG-vel következik (1).

3 De ha nem vigyázunk, (1)-ből is le tudjuk vezetni (2)-t, pedig nyilván nem következik. Legyen d egy tetszőleges fiú. (6) Van olyan lány, akivel d táncolt.UI (1)-ből. Nevezzünk el egy ilyen lányt c-nek. (7) d táncolt c-vel.EI (6)-ból. Mivel d tetszőleges fiú volt: (8) Minden fiú táncolt c-vel.UG (7)-ből. (8)-ból EG-val következik (2). Itt a hiba! Ez nem lehet!

4 A hiba nyilván az, hogy c-t d-től függően kellett választanunk. Nem igaz, hogy van d-től függetlenül olyan c, akire (7) igaz. Ezért (7)-ből csak valami ilyesmi következik: Minden d fiúhoz van olyan c(d) lány, akivel táncolt. Ez csak alkalmi jelölés! Amiből nem következik (2). Hogyan formalizáljuk UG-t?  xP(x)-et akarjuk bizonyítani. Legyen c egy tetszőleges objektum, és kezdjünk bele egy részbizonyításba. Ha minden jól megy, a részbizonyításP(c)-vel végződik. Ebből a részbizonyításból következtethetünk  xP(x)-re UG-vel, feltéve, hogy P-ben nem fordul elő olyan konstans, amelyet a részbizonyításon belül EI-vel vezettünk be.

5 Fitch-ben az EI-vel és az UG-vel kapcsolatos konstansokat bedobozoljuk részbizonyításokba. Dobozba zárt konstansok: kb. ennyit jelent: „c egy tetszőleges objektum az univerzumból”. A diákon a következőkben  c  -t írok a doboz helyett.  c  P(c): c egy tetszőleges objektum, amely P (röviden: egy tetszőleges P). Bedobozolt konstansok nem fordulhatnak elő azon a részbizonyításon kívül, amelyben bevezettük őket.  -bevezetés -1. (UG) Kezdjünk el egy részbizonyítást egy  c  bedobozolt konstanssal (új premisszák nélkül). Ha ez P(c)-vel végződik, folytathatjuk a fő bizonyítást “  xP(x)” -szel. c

6  -bevezetés-2. (General conditional proof) Részbizonyítást kezdünk a  c  bedobozolt konstanssal és a P(c) premisszával. Ha ez Q(c)-re végződik, folytathatjuk a fő bizonyítást“  x(P(x)  Q(x))”-szel. A kettőből bármelyik elég önmagában.  -kiküszöbölés (EI) Ha van egy“  xP(x)”premisszánk, kezdjünk egy részbizonyítást a  c  bedobozlt konstanssal és a P(c) premisszával. Ha ez Q-ra végződik, folytathatjuk a fő bizonyítást Q-val EG és UI formalizálása: nyilvánvaló. Gyakorlások: Universal 1, Universal 2, Existential 1. Hf: 13.17 (.prf is!), 13.18 – ezzel nincs mit csinálni!