Kvantum kriptográfia.

Az előadások a következő témára: "Kvantum kriptográfia."— Előadás másolata:

1 Kvantum kriptográfia

2 Kvantumelmélet és kriptográfia
Areas of interest include: quantum computation, computer quantum cryptography quantum teleportation and communication

3 Makrovilág adathordozók (kulcs számára):
papíralapú hordozók mágneses hordozók rádiójelek beszéd minden fizikai jellemző mérhető a jellemző torzítása nélkül adott a lehetőség a passzív lehallgatásra

4 Nagyságrendek és fizikai törvények
1027 m 1024 m 1021 m 1018Em /exa/ 1012 Pm /peta/ 109 Tm /tera/ 106 Gm /giga/ 103 Km /kilo/ méter tárgyak 10-3 mm /milli/ 10-6 μm /mikro/ 10-9 nm /nano/ 10-12 pm /pico/ 10-15 fm /femto 10-18 am /atto/ 10-21 10-24 10-27 Nagyságrendek és fizikai törvények nagyságrendek

5 1027 m 1024 m 1021 m 1018Em /exa/ 1012 Pm /peta/ 109 Tm /tera/
106 Gm /giga/ 103 Km /kilo/ méter tárgyak 10-3 mm /milli/ 10-6 μm /mikro/ 10-9 nm /nano/ 10-12 pm /pico/ 10-15 fm /femto 10-18 am /atto/ 10-21 10-24 10-27 nagyságrendek Föld: 108 m hegyek

6 1027 m 1024 m 1021 m 1018Em /exa/ 1012 Pm /peta/ 109 Tm /tera/
106 Gm /giga/ 103 Km /kilo/ méter tárgyak 10-3 mm /milli/ 10-6 μm /mikro/ 10-9 nm /nano/ 10-12 pm /pico/ 10-15 fm /femto 10-18 am /atto/ 10-21 10-24 10-27 nagyságrendek Naprend-szer: 1013 Föld: 108 m hegyek

7 1027 m 1024 m 1021 m 1018Em /exa/ 1012 Pm /peta/ 109 Tm /tera/
106 Gm /giga/ 103 Km /kilo/ méter tárgyak 10-3 mm /milli/ 10-6 μm /mikro/ 10-9 nm /nano/ 10-12 pm /pico/ 10-15 fm /femto 10-18 am /atto/ 10-21 10-24 10-27 nagyságrendek Galaxisok: 1020 fényév: 1016 Naprend-szer: 1013 Föld: 108 m hegyek

8 Nagyságrendek és fizikai törvények
1027 m 1024 m 1021 m 1018Em /exa/ 1012 Pm /peta/ 109 Tm /tera/ 106 Gm /giga/ 103 Km /kilo/ méter tárgyak 10-3 mm /milli/ 10-6 μm /mikro/ 10-9 nm /nano/ 10-12 pm /pico/ 10-15 fm /femto 10-18 am /atto/ 10-21 10-24 10-27 Nagyságrendek Nagyságrendek és fizikai törvények Világegyetem: 1026 m Einsteini fizika Húrelmélet Galaxisok: 1020 fényév: 1016 Naprend-szer: 1013 Föld: 108 m hegyek Klasszikus fizika H atom: 5,3*10-10 Kvantum fizika H atommag: ~ 2*10-15 A kuprit rézatomja körül kialakuló, kovalens kötést létrehozó elektronfelhő Húrok ~

9 Kvantumelmélet A 20. század elejére a klasszikus fizika letisztult; „csak”néhány jelenség - például a fekete test sugárzása vagy a fény terjedése mozgó közegben - nem illeszkedett az elfogadott összefüggésekhez. Max Planck a feketesugárzás formulájának levezetése során feltételezte az energia kvantumos természetét. Albert Einstein a kvantumhipotézist a fényre is kiterjesztette, feltételezése: a fény adott energiakvantumokból, azaz fotonokból áll. (Részecske és hullámtermészetű is) Niels Bohr: az atom kvantumelmélete: az elektronok az atommag körül csak meghatározott pályákon keringhetnek, és az egyik pályáról a másikra való átugráskor a két pálya közötti energiakülönbséget egyetlen foton alakjában sugározzák ki. Werner Heisenberg vitatta, hogy az atomból kilépő foton viselkedése - pályája és sebessége - részleteiben is leírható a klasszikus fizika fogalmaival és összefüggéseivel, felvetette a megfigyelhetőség problematikáját. Ervin Schrödinger: hullámmechanika alapegyenlete a Schrödinger-egyenlet; elmélete szerint a klasszikus mechanika nem más, mint az általános érvényű hullámmechanika határesete.

10 Kvantumelmélet A kvantumelméletben vannak olyan jelenségek, amelyeket nem tudunk teljességgel megmagyarázni; tény azonban, hogy a kvantumelmélet összefüggéseire épített gyakorlati alkalmazások működnek : mint például az atomerőműben végbemenő nukleáris folyamatok vagy a CD olvasóban működő lézersugár. A fény hullámként és részecskeként is viselkedik {részecske-hullám dualizmus). Szuperpozícó-elmélet: elképzelhető, hogy a foton mindkét résen egyszerre haladt át, és a válaszfal túlsó oldalán kölcsönhatásba lépett önmagával, így létrehozva a vetítővásznon a csíkokat.

11 „Schrödinger macskája”
Kvantum számítógép „Schrödinger macskája” A macska szuperpozíciós állapotban van: egyszerre élő is, halott is, mindkét lehetőséget –valamilyen valószínűséggel - kielégíti Mikor felnyitjuk a ládát, látjuk, él-e a macska vagy sem. A szemrevételezéssel a macska egyik vagy másik állapotban lesz, a szuperpozíció megszűnik. . A mérés pillanatában „összeomlik” a hullámfüggvény, és az általa felölelt terület egy pontjára kényszerül a vizsgált részecske. Makrovilágban: Több szomszédos részecske is képes ilyen bizonytalan állapotba kerülni, de bizonyos mérethatár felett a gyakori ütközések miatt a rendszer hullámfüggvénye egy szűk tartományra koncentrálódik.

12 Kvantum számítógép Alapgondolat: a szubatomikus részecskék bizonyos körülmények között hullámként viselkednek, pl. az elektronok nem szigorúan egyetlen pontban, hanem a térben „elkenődve” helyezkednek el. Hullámfüggvény: leírja, hogy a részecske milyen valószínűséggel található a tér különböző pontjaiban, a hullámfüggvények szuperpozíciói egyszerre sok állapotot (műveletet) reprezentálhatnak.

13 Kvantum számítógép Az elemi információs egység - a hagyományos bit („binary digit") mintájára - a qbit („quantum bit"). Ezt elemi részecskék testesítik meg, amelyeknek bizonyos állapotát - például a forgásuk irányát - feleltetik meg az „1" illetve a „0" állapotnak. Ezek az elemi részecskék a kvantumelmélet törvényeit kihasználva szuperpozíciós állapotba hozhatók, ilyenkor egyszerre veszik fel az „1" és a „0" értéket. Az ilyen qbiteken végzett műveletek ekkor tulajdonképpen egyszerre minden lehetséges értéken végrehajtódnak. Ez 1 qubit esetében 2 művelet egyidejű elvégzését jelenti, míg n qbit esetén már 2n művelet egy lépésben való elvégzéséről van szó. A kvantumszámítógépekben a qubitek számának lineáris növelése exponenciális mértékben növeli a párhuzamosan elvégezhető műveletek számát.

14 Kvantum számítógép A hagyományos számítógépeknél használt digitális technika a Boole algebrán alapszik. Az egyes bitek „0" illetve „1" értékét a „false" illetve „true" értékeknek feleltjük meg, amelyekre értelmezett a logikai „NOT", „AND", „OR" stb. művelet. Ezeket a digitális technikában áramköri elemekkel meg lehet valósítani, ezeket logikai kapuknak nevezzük. A kvantumszámítógépeknél szintén logikai kapukat használnak építőelemként. Azonban itt figyelembe kell venni, hogy a művelet eredményének kiolvasása megszünteti a qbitek szuperpozíciós állapotát. Ezért ahhoz, hogy tudhassuk, hogy a végeredményt mely bemeneti értékekkel kapuk, az itt alkalmazott kapuknak reverzibilisnek kell lennie, vagyis olyannak, hogy a kimenet alapján meghatározhatóak legyenek a bemeneti értékek is. Ezt általában a bemeneti értékek közvetlen előrecsatolásával oldják meg.

15 Kvantum számítógép A kvantum-számítástechnikában az egyik alapvető építőelem a „ControlledNOT" kapu. Hasonló a digitális technikából jól ismert „XOR" kapuhoz, attól annyiban különbözik, hogy a bemeneti control bitek változatlan formában megjelennek a kimeneten, és a kapunak így összesen ugyanannyi kimenete van, mint bemenete. A kapu teljesíti a fenti követelményt. A A: qbit „Butterfly" kapu. Ennek kitüntetett szerepe van a kvantumszámítógépek világában, és nincs is megfelelője a klasszikus digitális technikában. A feladata az, hogy a kapott bemenetet szuperpozíciós állapotba hozza, ami szemléletesen azt jelenti, hogy a kimeneten 50-50% valószínűséggel fog „0" illetve „1" állapot keletkezni. Összeadó modul: SUM: szuperpozíció

16 Kvantum számítógép, példa
vegyünk néhány részecskét: qbitek valamely tulajdonságuknak (pl. spin) megfeleltetünk egy bitértéket a qbitek által ábrázolt bitmintát tekintsük bináris számnak a részecskéket külső behatásoktól védett módon elhelyezve elterül hullámfüggvényük, és az összes általuk ábrázolható szám szuperpozíciójába kerül ha valamilyen módon (pl. lézerrel) egy matematikai műveletnek (pl. hatványozás) megfelelően manipuláljuk őket, a qbitek felveszik az összes ábrázolható szám adott hatványának szuperpozícióját összeomláskor véletlenszerű, de érvényes hatványt tudunk kiolvasni tfh.  ellenőrző rendszer, ami 50 és 70 közötti számokra „szeret” összeomlani. Indítás és összeomlasztás után megkapjuk az eredményt, hagyományos módon ez jó néhány művelet lenne

17 Kvantum számítógép A fizika törvényei lehetővé tennék, hogy nagyobb rendszerek is képesek legyenek a kvantummechanika elvei szerint működni, és lehetne olyan készülék, ami az aktuális állapotát össze tudná omlasztani, ezáltal eldöntve, hogy a végtelen sok lehetséges kimenetel közül melyik legyen végleges. Ekkor pl. prímosztó keresése: a készülék a nagy számot egy véletlenszerűen választott prímszámmal elosztja, és jelzi, ha sikerült az osztás. Beindítás és várakozás után eljutnánk az összes lehetséges kvantumállapotba, és jelzéskor elég lenne összeomlasztani a rendszert, így megkaphatjuk azt az eseményt, ami során a megfelelő prímet választotta a készülék.

18 Kvantum számítógép Papíron sikerült már olyan gépet tervezni (1994, Peter W. Shor - AT&T Bell Labs), ami kvantummechanikai segédlettel képes arra, hogy egy szám prímfelbontását a számjegyek számának négyzetével arányos időben elvégezze. Hagyományos módon ez csak exponenciális idejű algoritmussal valósítható meg. Keresés adatbázisban: (Lov Grover 1996-ban publikált algoritmusa) az egyes bejegyzéseket a számítógép részecskéinek egy-egy kvantumállapotában tárolja el, kereséskor pedig a keresett bejegyzéshez tartozó állapot valószínűségét próbálja növelni, a többi bejegyzését pedig csökkenteni az összes bejegyzésen egyszerre elvégzett műveletekkel. A kereséshez így nem kell ellenőrizni az összes bejegyzést, hanem a keresett darab egyszer csak „előugrik” az adatbázisból.

19 Kvantum számítógép Hagyományos számítógépek modellezése: Sikerült már gyakorlatban előállítani logikai kapuknak megfelelő viselkedésű kvantumrendszereket. DE: az eredmény nem volt stabil, és egyszerre maximum műveletig tartott ki a kapu.

20 Kvantum számítógép Gyakorlati megvalósítás akadálya (egyelőre):
Néhány részecskénél nagyobb rendszert szinte képtelenség teljesen elzárni a külvilágtól. A kintről érkező legkisebb hatásra azonban a rendszer azonnal egy jól meghatározott állapotot vesz fel, azaz elvész a működéséhez szükséges bizonytalanság. Közelmúlt: új technika, ami redundanciák árán képes hibakorrigáló qbitek előállítására.

21 Kvantum számítógép 1978 - David Deutsch, Oxford
számítógépmodell felvázolása, kvantumalapú mesterséges intelligencia Kvantumpárhuzamosság elmélete Bennett(IBM) - Ekert(Oxford): kvantumszámítógép és információelmélet szintézisén munkálkodnak Sohr(AT&T New Jersey Bell) megoldja az extrahosszú számok csak kvantumszámítógéppel lehetséges gyors oszthatóságának problémáját IBM, MIT, Berkeley, Oxford kvantummechanika törvényei szerint működő számítógép építése processzor: H és Cl atomokból áll

22 Kvantum számítógép A Bell-kristályban interferáló fotonpár négy lehetséges végállapot 15 prímtényezőkre bontásához egy legalább hét kvantumbites kvantumszámítógép szükséges Az IBM kémikusai ezért olyan molekulát hoztak létre, amelyben hét kvantumbitet hét magspin - öt fluor- és két szénatommag mágneses momentuma - alkotja. A kvantumszámítógép működése során az információ beírása (a spinek beállítása) rádiófrekvenciás impulzusok-kal, az eredmény kiolvasása pedig magmágneses rezonancia módszerrel (NMR) történhet. Az IBM 7 kvantumbites molekulája (penta-fluor-butadienil ciklopenta-dienil-dikarbonil-vas komplex: C11H5F5O2Fe)

23 Kvantum számítógép Isaac Chuang, kezében a kvantum-számítógépet magába záró üvegfiolával Az IBM kutatói kis üvegfiolában milliárdszor milliárd (1018) ilyen molekulát tartalmazó oldatban futtatták le a Shor-féle algoritmust, és meg is kapták a helyes eredményt, miszerint 15 prímtényezői: 3 és 5.

24 Kvantum számítógép Lehetséges-e olyan méretű kvantumszámítógépet előállítani, amit már használni is lehet valamire? Ha igen, annak komoly kihatása lesz a titkosítás világára (pl. prímfelbontás vagy vele analóg problémák megoldása). DE: kvantumkriptográfia

25 Kvantumelmélet és kriptográfia
Areas of interest include: quantum computation, computer quantum cryptography quantum teleportation and communication

26 Atomic/photon up and down spin.
A foton a fény legkisebb egysége parányi, rezgő elektromos mező a foton polarizációja: a rezgés iránya polárszűrő: a szűrő iránya szerint szűr Atomic/photon up and down spin.

27 A kalcitkristály Nem nyel el fotont! A belépő fotonok sorsa:
a merőlegeseket egyenesen átengedi a párhuzamosakat eltéríti az átlósakat P()-val eltéríti és 1-P()-val egyenesen átengedi (  = 45° és  = 135° esetén véletlen)

28 BB84 (Bennett-Brassard, 1984)
cél: kulcscsere (titkosan, későbbi használatra) eszközök: (lehallgatható) kvantumcsatorna polarizált fotonok hagyományos nyilvános csatorna

29 A BB84 algoritmus Alice -általa ismert- polarizációjú fotonokat generál és küld Bobnak; Bob előre meghatározott méréssorozatot végez a kapott fotonokon; A sikeres mérések típusát nyilvános csatornán elküldi Alice-nak; Alice elküldi, melyik mérés típusa volt megfelelő; Ezek alapján a megfelelő típusú mérések eredményéből a kulcsbitsorozat előállítható.

30 Példa - jelölések Fotonmérés-típusok: + rectilinear - „egyenes” O diagonal - „átlós” Lehetséges fotonpolarizációk: - horizontal - 0° | vertical - 90° < left-circular - 45° > right-circular - 135° Mérés sikerének valószínűsége: minél nagyobb legyen, lehetőleg 1 (ekkor nem lesz probléma az üres helyekkel)

31 Ezek alapján a megfelelő típusú mérések eredményéből a kulcsbitsorozat előállítható.
Példa – kulcscsere Alice: |>|>><<|<>||<-->-><<>><>|<|-|>-<|>>||-<||<<<<|<><||<><<--|<><--< Bob: +O+++O++++O+O+O+OO++O++++OO+++O++OOO++O+O++OO+O+OO+O+++OO+OOOO+O Bob: |>| -< ||| |<-<-<>-- - -|<> || ||>>> -<|>-|<<| < |<|-|> |<><<-< Bob: +O+ +O +++ +O+O+OO OO ++ ++OOO +O+O++OO+ O +O+++O +OOOO+O Alice: ••• • • ••• • •• • ••• ••• ••• • •• •••• •• Key: Alice -általa ismert- polarizációjú fotonokat generál és küld Bobnak; Bob előre meghatározott méréssorozatot végez a kapott fotonokon; A sikeres mérések típusát nyilvános csatornán elküldi Alice-nak; Alice elküldi, melyik mérés típusa volt megfelelő;

32 The BB key-distribution protocol in action
Kvantum kriptográfia The BB key-distribution protocol in action

33 Működő kvantumrendszer, IBM-1989
30 cm-es távolság, 10bit/sec „sebesség”

34 A Genfi Egyetemen 1995-ben a foton-párok technikájára alapozva olyan rendszert sikerült létrehozni, ami száloptikát alkalmazva a Genf és Nyon között 23 km-es távolságon is működött xxx

35 A Northwestern Egyetemen Horace Yuen és Prem Kumar fejlesztettek ki egy olyan rendszert, amiben száloptikát használva nem egyedülálló fotonokat, hanem nagyobb fénynyalábok továbbítanak. Véleményük szerint így sokkal nagyobb sávszélesség érhető el: rendszerük 250 Mbps-mal tud működni az egyedülálló fotonok esetében elérhető 1 Kbps-os nagyságrend helyett.

36 Eve leleplezése Lehallgatási alapprobléma: Módszer a leleplezésre:
Eve nem tudja egyszerre mérni a kétféle polarizációtípust, így nem minden esetben küld „ugyanolyan” fotont tovább, mint amit kapott. Módszer a leleplezésre: Alice és Bob az egyező mérésekből nyilvánosságra hoz néhányat; ha eltérés mutatkozik, akkor valószínű a lehallgatás; ellenőrző részsorozatok paritásaival lehet kizárni a tévesztést; a megmaradt bitek használhatók kulcsként.

37 Példa - leleplezés Alice: |>. < . |.. > > <| . |< |<>< .< Bob: |>. > . |.. > > <| . |> |<>< .<

38 Probléma  Eve féligáteresztő tükröt használva kisebb intenzitású részekre tudja osztani a beérkező fényt, ezáltal lehallgatás mellett zavartalanul képes továbbengedni azt Bobnak; ha csak csekély részt terel el, Bob nem veszi észre a gyengülést, így Eve akár mindkét mérést elvégezheti...

39 Megoldás  Alice-nak szűrőkkel le kell csökkenteni a fény intenzitását villanásonként átlagosan kevesebb mint egy fotonra. Az intenzitás-csökkentéssel négyzetesen csökken a lehallgatás lehetősége.

40 Probléma  A jelenleg használatos detektorok néha jeleznek akkor is, amikor valójában nem is érkezett be foton  „sötét számolás”. Az ehhez hasonló hibák „lehallgatást” jeleznek  HIBA!

41 Megoldás  Nem ajánlott mindig teljesen eldobni ilyenkor az adatokat (bár ez lenne a biztos BB84 eljárás) Kisszámú hibát meg lehet próbálni kijavítani Nyilvános párbeszédben Hibajavító kódokkal FIGYELEM: Ezek Eve-nek is lehetnek infók, esetenként kikényszeríthet nyilvános kommunikációt! Nagyszámú hibánál (pl. >¼) el kell dobni mindet!

42 EPR-hatás (Einstein-Podolsky-Rosen) quantum teleportation and communication
Biztonságos makroszéf nincs a biztonság az idővel arányosan csökken EPR-hatás: tfh. egy középpontosan szimmetrikus atom két fotont bocsát ki ellenkező irányba a két megfigyelő felé ismeretlen polarizációval; ha Alice és Bob ugyanolyan típusú mérést (+) hajt végre rajtuk, akkor egyforma valószínűséggel kapják az egyik eredményt (-), azonban ekkor a másik pont az ellenkezőjét (|) kapja és viszont; mindkét foton polarizációja csak akkor határozódik meg, amikor valamelyikét megmérjük, a távolságtól függetlenül.

43 Hátrány Jelenleg technikailag megvalósíthatatlan a fotonok tárolása a másodperc töredékénél hosszabb ideig.

44 Megvalósítás Első próbálkozások: 1982-84 Működő prototípus: 1989. IBM
Charles Bennett 1989-ben Montreálban, az IBM laboratóriumában négy kollégájával együtt a gyakorlatban is megvalósította. Az első prototípusban zöld lézert használtak, és a fotonokat kb. 30 cm távolságra tudták továbbítani.

45 További eredmények, ~1990 quantum teleportation and communication
Polarizáción alapuló tesztek - 1km Kvantumrendezetlenség-vizsgálat - 4km Fotoninterferencia - 10km optikai szálon 1991-ben az Oxfordi Egyetemen Arthur Ekert az „összetartozó" kvantum rendszerek - mint például az egyszerre létrehozott foton-párok - azon speciális tulajdonságát használta ki, hogy az egyes kvantumok megőrzik bizonyos közös tulajdonságaikat a szétválásuk után is ben sikerült egy ezen az elven működő rendszert a gyakorlatban is megvalósítani.

46 Kvantum  VÉGE