Előadást letölteni
Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon
1
Dr Jedlovszky Pál ELTE TTK
Rendezetlen rendszerek számítógépes szimulációja a Monte Carlo módszerrel Dr Jedlovszky Pál ELTE TTK
2
molekuláris dinamika (MD) Monte Carlo (MC)
RENDEZETLEN RENDSZEREK SZÁMÍTÓGÉPES SZIMULÁCIÓJA molekuláris dinamika (MD) Monte Carlo (MC) Uij(r) ismert (feltételezett) párpotenciál alapján
3
eljárás: - az egyes részecskékre ható erők számítása - az összes részecske mozgás- egyenletének megoldása Dt időlépésre
4
- egyetlen rendszeren időátlagot számít
molekuláris dinamika (MD) Monte Carlo (MC) tulajdonságok: - determinisztikus - sztochasztikus - egyetlen rendszeren időátlagot számít - rendsszerek sokaságán sokaság- átlagot számít - egyensúlyi és nem egyensúlyi rendszerek is vizsgálhatók - csak egyensúlyi rendszerek vizsgálhatók - hely- és impulzuskoordinátákat is nyilvántart - csak helykoordinátákat tart nyilván - időfüggések is számíthatók - időfüggések nem számíthatók - térbeli korlát: nm - időbeli korlát: ns
5
STATISZTIKUS MECHANIKAI ALAPJAI
A MONTE CARLO MÓDSZER STATISZTIKUS MECHANIKAI ALAPJAI Egy adott mikroállapot megvalósulásának valószínűsége kanonikus (N,V,T) sokaságon: ahol QNVT a kanonikus állapotösszeg: A rendszer szabadenergiája:
6
A mikroállapot teljes energiája E(qN,pN)felbontható:
A kinetikus tag felírható K(pN) = Spi2/2m alakban, így az állapotösszegből leválasztható Csak a qN helykoordinátáktól illetve az U(qN) potenciális energiajáruléktól függő tagokkal kell számolnunk.
7
Monte Carlo szimuláció:
N részecskéből álló rendszer jellemzése 3N helykoordinátával - minden mikroállapot megfelel a 3N dimenziós konfigurációs tér 1-1 pontjának - egy adott mikroállapot megvalósulásának valószínűsége: - valamely M mennyiség makroszkopikusan mérhető értéke:
8
Monte Carlo szimuláció: statisztikus mintavétel
A mikroállapotok sokaságát a mintába kerülő néhány mikroállapottal közelítjük, ezen mikroállapotokon (mintakonfiguráción) számítjuk <M>-et Minta reprezentativitásának problémája Megoldás: súlyozott mintavétel Egy-egy mikroállapotot vegyünk w(qN) valószínűséggel (súllyal) a mintába:
9
Legyen Ekkor ahol k a mintakonfigurációk száma. Az egyenletes mintavételezést és Boltzmann faktorral súlyozott átlagolást Boltzmann faktorral súlyozott mintavételezéssel és súlyozatlan átlagolással helyettesítettük. Más w(qN) súlyozás szerinti mintavétel: irányított (biased) mintavételezés
10
A MONTE CARLO SZIMULÁCIÓS TECHNIKA
N részecske V térfogatú (kocka, tégla, prizma ... alakú) dobozba periodikus határfeltételek biztosítása véletlenszerűen kiválasztott részecske véletlenszerű elmozdítása (transzláció és rotáció, esetleg torziós forgatás) konfigurációs energia U(qN) számítása
11
Miután beállt az egyensúly: mintavétel
Új konfiguráció elfogadásáról döntés: - ha DU = Uúj-Urégi elfogadjuk ha DU = Uúj-Urégi > exp(-DU/kBT) valószínűséggel elfogadjuk 1-exp(-DU/kBT) valószínűséggel elvetjük Miután beállt az egyensúly: mintavétel
12
A konfigurációs energia számítása:
- modellrendszer: feltételezett potenciálok használata - a használt potenciálmodelleket a modell számított tulajdonságainak a kísérleti adatokkal való egyezése validálja - közelítő feltevések: ● klasszikus fizika érvényessége ● potenciális energia páronként additív: U = S uij ● potenciálfüggvény alakja (általában Lennard-Jones + Coulomb):
13
Rendszer korlátozott méretéből fakadó problémák: periodikus határfeltételek:
14
Korlát: távolságfüggvények csak R/2-ig értelmezhetők
15
Elektrosztatikus kölcsönhatás hosszútávú járulékának számítása:
- Periodikus határfeltételek miatt a szimulációs dobozba beírható gömb R sugarán túl távolságfüggvények nem számolhatók - Probléma: a Coulomb energia gömbön túli járulékának figyelembe vétele ● egyszerű levágás ● Ewald-összegzés ● reakciótér-korrekció
16
SZIMULÁCIÓ ÁLLANDÓ NYOMÁSON
Izoterm-izobár (N,P,T) sokaságnál a konfigurációs teret a qN helykoordináták és a rendszer V térfogata feszíti ki. Egy adott mikroállapot megvalósulásának valószínűsége: ahol az sN skálázott (dimenziómentes) koordináták:
17
Valamely M mennyiség makroszkopikusan mérhető értéke
vagyis
18
súlyozott mintavételezés:
egyes konfigurációk (mikroállapotok) mintába kerülésének valószínűsége a "pszeudo" Boltzmann-faktorral arányos
19
● hagyományos részecskemozgatás ● térfogatváltoztatási lépések
Eljárás: véletlen mozgatások: ● hagyományos részecskemozgatás ● térfogatváltoztatási lépések a mozdítások elfogadásának valószínűsége:
20
SZIMULÁCIÓ ÁLLANDÓ KÉMIAI POTENCIÁL MELLETT
Nagykanonikus (m,V,T) sokaságon a vizsgált rendszer az N részecskeszám változásával a különböző dimenziójú qN konfigurációs terek között is mozoghat. Ekkor az egyes mikroállapotok megvalósulásának valószínűsége (a pszeudo Boltzmann-faktor): ahol
21
● hagyományos részecskemozgatás ● részecskehozzáadási lépések
Eljárás: véletlen mozgatások: ● hagyományos részecskemozgatás ● részecskehozzáadási lépések ● részecskeelvételi lépések a mozdítások elfogadásának valószínűsége:
22
FÁZISEGYENSÚLYOK SZIMULÁCIÓJA
A GIBBS MONTE CARLO MÓDSZER
23
- két független rendszer egyidejű szimulációja
- háromféle mozdítástípus: ● részecskemozgatás rendszeren belül TI = TII ● térfogatcsere a rendszerek között PI = PII ● részecskecsere a rendszerek között μI = μII Elfogadási kritérium: a rendszerek közötti részecske- illetve térfogatcsere elfogadásáról a két rendszer változásához tartozó pszeudo Boltzmann-faktorok szorzata alapján döntünk, figyelembe véve a fázisegyensúly termodinamikai feltételeit
Hasonló előadás
© 2024 SlidePlayer.hu Inc.
All rights reserved.