KÖZMŰ INFORMATIKA NUMERIKUS MÓDSZEREK I.

Az előadások a következő témára: "KÖZMŰ INFORMATIKA NUMERIKUS MÓDSZEREK I."— Előadás másolata:

1 KÖZMŰ INFORMATIKA NUMERIKUS MÓDSZEREK I.
Hidraulikai feladat megoldása számítógépen

2 A feladatmegoldás lépései
1. A (hidraulikai) feladat megfogalmazása 2. A matematikai modell felállítása 3. Algoritmus készítése (folyamatábra +numerikus módszer kiválasztása) 4. Programírás 5. Adatok beszerzése vagy előállítása

3 A feladatmegoldás lépései
6. A program tesztelése 7. Kalibrálás 8. Igazoló futtatások 9. Végső futtatások 10. Eredmények értékelése 11. Dokumentáció készítése

4 időrendi sorrend (nem merev, felcserélhető)
egyidejűleg több részfeladatot is lehet végezni nem mindig kell minden egyes részfeladatot elvégezni (matematikai modell irodalomból ismert, nincs szükség vagy lehetőség kalibrálást végezni stb.)

5 A feladatmegoldás lépései
1. A (hidraulikai) feladat megfogalmazása 2. A matematikai modell felállítása 3. Algoritmus készítése (folyamatábra +numerikus módszer kiválasztása) 4. Programírás 5. Adatok beszerzése vagy előállítása

6 A feladatmegoldás lépései
6. A program tesztelése 7. Kalibrálás 8. Igazoló futtatások 9. Végső futtatások 10. Eredmények értékelése 11. Dokumentáció készítése

7 Hibaforrások hibák elemzése, becslése lényeges kérdés
minden számítást a négy aritmetikai művelet segítségével végzünk el csak közelítő pontosság érhető el

8 Hibák típusai a) fizikai valóság közelítésének hibája
b) képlethibák, vagy numerikus hibák c) kerekítési hibák d) adathibák (öröklött hibák) e) tévedések

9 TÁROZÓ VÍZSZINTJÉNEK SZÁMÍTÁSA

10 Feltételek a vízszintingadozás tartományában konstans felületűnek tekinthető felülről egy patak táplálja a leeresztés egy fix koronaszintű, állandó szélességű bukón történik, szabad átbukással tározó vízszintje horizontálisnak tekinthető (Qi, és Q0 vízhozamok olyan kicsik)

11 1. A feladat megfogalmazása
Adott, konstans ki- és bevezetések mellett határozzuk meg a tározó vízszintmagasságának alakulását az idő függvényében

12 2. A matematikai modell felállítása
A folytonossági egyenlet a tározóra Térfogatváltozás = Befolyt – Kifolyt vízmennyiség egységnyi idő alatt

13 Az egyenletben szereplő tényezők
A (m2) - a tározó felülete, h (m) - a vízmélység a fix bukó koronaszintjétől mérve, Qi (m3/s) - a befolyó vízmennyiség, Q0 (m3/s) - az elfolyó vízhozam, t (s) - az idő.

14 Poleni féle bukóképlet
b (m) - a bukó koronaszélessége, µ - vízhozam tényező. A képletben szereplő konstansokat vonjuk össze

15 a differenciálegyenlet:
az egyenlet mindkét oldalát A-val osztva

16 2. Numerikus megoldási módszerek
a modell egy elsőrendű differenciálegyenlet az analitikus megoldás megadja az összes megoldási görbét műszaki feladatok megoldásakor csak egy görbe meghatározása a cél kezdeti feltétel, kezdeti érték feladat

17 konkretizáljuk a feladatot:
A = (m2) - a tározó felülete, Qi = 3 (m3/s) - a befolyó vízmennyiség, c = 1,7 (m1/2/s) - az átbukási tényező, b = 10 (m) - a bukó koronaszélessége. az adatokat behelyettesítve a differenciálegyenletbe

18 h (m) 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 dh/dt(10-4 m/s) - 14,00 - 11,51 - 9,16 - 6,96 - 4,90 - 3,01 - 1,30 0,20 1,48 2,46 3,00 ha dh/dt nullával egyenlő, akkor a vízszint, h=0,315 m ez az egyensúlyi vízszint

19 az érintőket a h-t síkban ábrázolva

20 Numerikus integrálás módszere
Keressük azt a h(t) függvényt, amely kielégíti a differenciálegyenletet, és a h (t0) = h0 kezdeti feltételt

21 Lépésköz: t = t1 – t0 Integráljuk mindkét oldalt t0–tól t1–ig bal oldali integrál valójában h (t1) – h (t0)

22 Euler – Cauchy – féle téglalap szabály
a görbe alatti területet a t0–tól t1–ig terjedő időintervallumban egy téglalap területével közelítjük A téglalap-szabály alkalmazásával elkövetett hiba mértékét a besatírozott területrész érzékelteti

23 a numerikus integrálás képlete
újabb t értékekhez tartozó h(t) értékek meghatározására az alábbi általános formula használható

24 A lépésköz (Δt) kiválasztása
ha Δt kicsi, akkor a diszkretizációs hiba is kicsi lesz,  numerikus hibák halmozódnak ha Δt túl nagy, akkor a diszkretizációs hiba lesz túl nagy Δt –t folyamatosan csökkentjüka függvényértékek eltérése a kívánt hibakorlátnál kisebb nem lesz

25

26 A trapézformula pontosabb numerikus integrálás pontosabb eredményt is ad trapéz területével közelítjük a görbe alatti területet A trapéz-szabály alkalmazásakor elkövetett hiba jól látható módon, lényegesen kisebb

27 A trapéz szabály rekurzív formulája
hj +1 implicit formában szerepel  iteráció iteráció gyorsítható  Prediktor – Korrektor módszer egy lépésközre eső megoldást két lépésben végzünk el

28 Prediktor – Korrektor módszer
Prediktor (előre jósóló) lépés az egyszerű Euler-Cauchy-féle közelítés A korrektor lépés előtt még számolunk egy középértéket Ezt helyettesítve a rekurzív formulába egy új, jobb közelítést kapunk

29

30