FRAKTÁLOK.

Az előadások a következő témára: "FRAKTÁLOK."— Előadás másolata:

1 FRAKTÁLOK

2 Mik is a fraktálok? A fraktálok „önhasonló”, végtelenül komplex matematikai alakzatok, melyek változatos formáiban legalább egy felismerhető (tehát matematikai eszközökkel leírható) ismétlődés tapasztalható. Az elnevezést 1975-ben Benoît Mandelbrot adta, a latin fractus (vagyis törött; törés) szó alapján, ami az ilyen alakzatok tört számú dimenziójára utal, bár nem minden fraktál tört dimenziós. Ilyenek például a síkkitöltő görbék. Az önhasonlóság azt jelenti, hogy egy kisebb rész felnagyítva ugyanolyan struktúrát mutat, mint egy nagyobb rész. Ilyen bizonyos léptékig például a természetben a villám mintázata, a levél erezete, a felhők formája, a hópelyhek alakja, a hegyek csipkézete, a fa ágai, a hullámok fodrozódása és még sok más. – A fraktál szóval rendszerint az önhasonló alakzatok közül azokra utalnak, amelyeket egy matematikai formulával le lehet írni, vagy meg lehet alkotni. Ismertebb fraktálok és fraktálcsaládok: Mandelbrot-halmaz, Julia-halmaz, Koch-görbe, Cantor-szőnyeg.

3 Ennek alapján Mandelbrot a következő definíciót adta a fraktálokra:
Fraktáldimenzió A geometriában hagyományosan egy görbe egy-, egy felület két-, és egy térbeli test háromdimenziós. Az úgynevezett fraktálhalmazok esetén a dimenzió nem adható meg ilyen egyszerűen: ha közelítőleg kiszámítunk egy fraktális vonalat, akkor a kép egyre jobban kitölti a síkot, és az egy dimenziós vonal egyre közelebb kerül ahhoz, hogy kétdimenzióssá váljon. Mandelbrot a Hausdorff-dimenziót használva megállapította, hogy a legtöbb fraktálkép dimenziója nem egész. Az általánosított dimenziónak ezt a változatát fraktáldimenziónak is nevezzük. Ennek alapján Mandelbrot a következő definíciót adta a fraktálokra: „A fraktál olyan halmaz, aminek a Hausdorff-dimenziója nagyobb, mint a Lebesgue-dimenziója.”

4 Példák a fraktálokra A fraktálok a természetben is megjelennek:
(hasonlóságukban) Pl: - Folyórendszerek - Partvonalak

5 Példák a fraktálokra Amikor a fraktál minden részében megegyezik
(kb. 4-5 fraktállépcsős) Pl: - Növények leveleinek erezete- - Borostyán - Brokkoli - Karfiol

6 Ismertebb fraktálok Mandelbrot-halmaz Koch-görbe