Dinamikus rendszerek modellezése

Az előadások a következő témára: "Dinamikus rendszerek modellezése"— Előadás másolata:

1 Dinamikus rendszerek modellezése
Energiatervezés Dinamikus rendszerek modellezése

2 Alapfogalmak modell hasonlóság
a modell hasonló a modellezetthez, vagyis az modell, ami a modellezettel hasonlósági relációban van eszmeileg elképzelt vagy anyagilag realizált rendszer, amely visszatükrözve vagy reprodukálva a kutatás objektumát képes helyettesíteni hasonlóság szerkezeti (vagy strukturális) működési (vagy funkcionális) és formai (vagy geometriai, tágabb értelemben: topológiai) hasonlóság

3 Alapfogalmak - Rendszertípusok
Rendszerek felosztása a IIASA szerint Közgazdasági rendszerek: nemzetközi kereskedelem és gazdaság, nemzetközi gazdaságtervezés, fejlesztés és irányítás, ágazati és ipari tervezés. Emberi és társadalmi rendszerek: népesség, városi és regionális tervezés, fejlesztés és vezetés, lakáshelyzet, oktatás, képzés, egészségügyi szolgáltatások (tervezés, szervezés, az ellátás irányítása), társadalmi és jóléti szolgáltatások, munkaerőképzés és -elhelyezés, biztonsági szolgáltatások, igazságszolgáltatás. IIASA: International Institute for Applied Systems Analysis,

4 Alapfogalmak - Rendszertípusok
Erőforrások és környezeti rendszerek: ásványi nyersanyagok, beleértve az energiahordozókat, vízforrások, beleértve az energetikai felhasználásokat, éghajlat, környezet, ökológia, mezőgazdaság, beleértve az erdőgazdaságot és állattenyésztést. Ipari rendszerek: kutatás és fejlesztés (beleértve az új technológiákat), tervezés és irányítás, termelés és elosztás, energiaágazat, petrolkémia, elektronika, szállítóeszközök tervezése (pl. gépkocsi, repülőgép), élelmiszerelosztás, textil - és ruházati ipar, nukleáris energia.

5 Alapfogalmak - Rendszertípusok
Biológiai rendszerek: elemi biológiai rendszerek, humán biológia és pszichológia, bionika: az emberi és más biológiai funkciók modellezése. Információs és számítógép rendszerek: távközlési és számítógépes hálózatok, információtárolás és - visszakeresés, számítógép hardver és szoftver tervezés és kiválasztás, vezetési információs rendszerek. Külön csoport az ún. integrált rendszerek: mezőgazdaság - élelmiszer - népesség, energia - környezet - ipar, ipar - környezet - egészségügy, területi ipari komplexumok, globális és regionális rendszerek.

6 Modellek jellemzői – osztályozás
Hasonlóság szerkezeti működési formai Típus anyagi elektromos mechanikai termikus gondolati szimbolikus verbális ikonikus Rendszer pszichikai társadalmi termelési fizikai ...

7 Modellek csoportosítása
funkció probléma megoldó leíró előíró szemléltető struktúra ikonikus analóg szimbolikus szempont (hasonlóság) formai szerkezeti működési jelleg kvalitatív (minőségi) gondolati verbális kvantitatív (mennyiségi) heurisztikus szimulációs sztochasztikus folyamat statikus dinamikus

8 Feladat- és problémamegoldás
Feladat akkor, ha ismert a meglévő állapot, annak ellentmondásai, az igények és a lehetőségek közötti feszültség, (általában) a célállapot és (algoritmizált) a teljes megoldási út. Probléma akkor, ha nincs (teljes) ismeretünk a meglévő helyzetről és/vagy a megoldás útjáról és/vagy a célállapotról.

9 Kutatás, irányítástechnika
Feladattípusok Feladat Y T X Példa Direkt ? ismert adott Mérés, minősítés Indirekt előírt Tervezés, fejlesztés Induktív Kutatás, irányítástechnika X: a rendszer (modell) bemenete Y: a rendszer (modell) kimenete T: a rendszer viselkedése

10 Feladat- és problémamegoldás
Probléma felismerése kiindulási állapot feltételek megfogal-mazás ismeretlen részek saját tapasztalat ismert részek elemzés szükséges ismeretek biztos! bizonytalan! átvett ismeretek terv és lényegkiemelés kísérlet végrehajtás végállapot

11 Megoldási módszerek Analitikus módszer
a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, a matematikai modell megalkotása, a matematikai modell transzformációja (ill. egyszerűsítése) megoldásra alkalmas formára, a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása, a megoldás ellenőrzése.

12 Megoldási módszerek Numerikus módszer
a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, a matematikai modell megalkotása, a matematikai modell átalakítása numerikus megoldásra alkalmas formára (diszkretizálás), a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, a blokkséma összeállítása, a számítási modell megoldását adó program megírása, és annak futtatása, a megoldás ellenőrzése.

13 Megoldási módszerek Kísérleti módszer
a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, a matematikai modell megalkotása, a matematikai modell hasonlósági transzformációja, a kísérleti objektum megfelelő kiválasz-tása és a kísérleti eredmények (későbbi) általános felhasználhatósága érdekében, a kísérleti program (a kísérletterv) összeállítása, a kísérletek lefolytatása és értékelése alapján a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása, a megoldás ellenőrzése.

14 Megoldási módszerek - összefoglalás
lépés Analitikus Kísérleti Numerikus 1 A feladat verbális megfogalmazása 2 A matematikai modell megalkotása 3 Transzformáció megoldásra alkalmas formára Hasonlósági transzformáció  Diszkretizálás 4 A megoldás egymás utáni lépéseinek rögzítése A kísérleti terv összeállítása Algoritmus és blokkséma 5 A megoldást jelentő összefüggés meghatározása Kísérletek és azok értékelése Gépi program futtatása, eredménye 6 A megoldás ellenőrzése

15 1. szint 2. szint 3. szint teljes rendszer Összetett rendszerek
Parciális modellezés – integrált rendszerek részrendszerekre és részfolyamatokra bontás modellrendszer alkotás 1. szint 2. szint 3. szint teljes rendszer 1. részfolyamat elem 2. részfolyamat

16 Társadalmi-gazdasági folyamatok
Csak parciális modellek léteznek részrendszerek: regionális modellek (térbeli szétválasztás) részfolyamatok: jelenségek, folyamatok (funkcionális szétválasztás) Megoldási elvek és módszerek analitikus módszer csak korlátozottan használható dinamikus kapcsolat a részek között jól definiált input/output változók számítógépi (numerikus) módszerek

17 Társadalmi folyamatok modelljei
Matematikai leírás differenciális mérlegegyenlet kapcsolt differenciálegyenlet-rendszer Megoldási módszer egyszerű modellek: analitikus összetett modellek: numerikus (szoftver) Általános mérlegegyenlet: xi: extenzív jellemző Q: forrás erőssége, I: nyelő erőssége, t: idő

18 Társadalmi folyamatok modelljei
Alapvető modellezési eszközök és módszerek Áramfüggvények példák: extenzív áram: termékek és szolgáltatások int. kül.: ár vez. tényező: szállítási költség, adók

19 Társadalmi folyamatok modelljei
Alapvető modellezési eszközök és módszerek Növekedési függvények (korlátlan) példák: extenzív mennyiség: népesség, GDP növekedési ráta: növekedési ütem, szül.-hal. ráta

20 Társadalmi folyamatok modelljei
Egyértelműségi feltételek valós jellemző matematikai leképezés vizsgált terület határai  értelmezési tartomány korlátok  értékkészlet kiinduló adatok  kezdeti feltételek jellemző tulajdonság  együtthatók belső összefüggések  együtthatók közötti fgv-ek

21 Egyszerű modellek Korlátlan növekedés Globális (időbeli) mérlegegyenlet: Q=g∙xi, ahol g a növekedési ráta 1/idő g>0: növekedés g=0: stagnálás g<0: fogyás

22 Egyszerű modellek Korlátlan növekedés (Malthus-féle modell) Megoldás
xi xi(t) t Thomas Robert Malthus ( ), angol demográfus, matematikus, 1798

23 Egyszerű modellek Népesedési (demográfiai) modell Verbális modell Differenciálegyenlettel (matematikai modell):

24 Egyszerű modellek A világ népessége Népesség,milliárd fő 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 10,000 BC 8000 6000 4000 2000 AD 1 1000

25 Egyszerű modellek A növekedési ráta időfüggő Nettónövekedésiráta,%/a
1960 1970 1980 1990 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 Nettónövekedésiráta,%/a 2000 2010 2020 2030 2040 0.2 0.4 0.6 0.8

26 Korlátozott növekedés
Növekedési korlát = eltartóképesség

27 Korlátozott növekedés

28 Korlátozott növekedés

29 Korlátozott növekedés
Pierre François Verhulst ( ) belga matematikus, 1838

30 Korlátozott növekedés
Népesség Évenkénti növekedés

31 Korlátozott növekedés
Általánosított logisztikus függvény (Richard-féle függvény, növekedés modellezés) Pmin: alsó asszimptota C*: eltartóképesség, ha Pmin=0 g: növekedési ráta t: idő M: a max. növ. ideje, ha Q=v v: segédparaméter Q: segédparaméter, P(0) függvénye

32 Kimerülő erőforrások A Hubbert-féle elmélet: olajhozam-csúcs alkalmas a kimerülő erőforrások leírására Marion King Hubbert ( ), közzététel: 1956

33 Kölcsönható rendszerek
Populációdinamika – Lotka-Volterra Alfred J. Lotka (1880–1949), 1910; Vito Volterra (1860–1940); 1926

34 Kölcsönható rendszerek
Populációdinamika – Lotka-Volterra

35 Kölcsönható rendszerek
Populációdinamika – Lotka-Volterra

36 Kölcsönható rendszerek
Populációdinamika – Lotka-Volterra Egyedszám – idő ciklikus folyamatok leírására Egyedszám – egyedszám Fázisgörbe

37 Kölcsönható rendszerek
Lotka-Volterra modell a valóságban Kanadai megfigyelések havasi nyúl -- hiúz

38 Modellező/szimulációs eszköz
Kereskedelmi szoftverek: STELLA: PowerSim Studio: Oktatási célú (ingyenes) szoftverek: Vensim PLE (Personal Learning Edition) Scilab