Dinamikus rendszerek modellezése

Az előadások a következő témára: "Dinamikus rendszerek modellezése"— Előadás másolata:

1 Dinamikus rendszerek modellezése
Energiatervezés Dinamikus rendszerek modellezése

2 Energiatervezés Rendszerelvű/rendszerelméleti megközelítés
Dinamikus rendszerek elmélete - Alapfogalmak

3 Rendszerelmélet RENDSZER = Elemek együttese, melyeket kölcsönös függőség kapcsol össze. Cirkuláris okság: egy elem hat a többire Hierarchikus struktúra: rész/alrendszerek Nonszummativitás: a részek összesége nem az egész (szinergia: 2+2=5; diszfunkció: 2+2=3) Homeosztázis: törekvés az állandóságra Autoregularitás: önszabályozó funkciók Ekvifinalitás: több út, azonos cél Morfogenezis: képesség a változásra, alkalmazkodásra Karl Ludwig von Bertalanffy ( )

4 Rendszerelmélet További rendszer fogalmak
Russel L. Ackoff: kölcsönös kapcsolatban álló elemek halmaza Mihajlo D. Mesarović (Михајло Д. Месаровић): halmazelméleti reláció V. N. Szadovszkij (В. Н. Садовский): elemek meghatározott módon rendezett halmaza

5 Modellezés filozófiája
Ockham (Occam) borotvája lex parsimoniae = takarékosság (tömörség) elve „Pluralitas non est ponenda sine necessitate” A sokaság szükségtelenül nem tételezendő általában az egyszerűbb megoldás a helyes William Ockham (kb. 1285–1348) angol nemzetiségű ferences rendi szerzetes

6 Modellezés filozófiája
Neumann János a modellekről: „… a tudomány nem magyarázni próbál, alig próbál interpretálni – a tudomány főként modelleket állít fel. A modellen olyan matematikai konstrukciót értünk, amely – bizonyos szóbeli értelmezést hozzáadva – leírja a megfigyelt jelenségeket. Az ilyen matematikai konstrukciókat kizárólag és pontosan az igazolja, hogy működnek.” Budapest, december 28. – Washington, február 8., magyar származású matematikus

7 Modellalkotás Valóság (probléma) Köztes (…) modell
Matematikai modell (megoldás) interpretáció egyszerűsödés, elhanyagolások

8 Alapfogalmak modell hasonlóság
a modell hasonló a modellezetthez, vagyis az modell, ami a modellezettel hasonlósági relációban van eszmeileg elképzelt vagy anyagilag realizált rendszer, amely visszatükrözve vagy reprodukálva a kutatás objektumát képes helyettesíteni hasonlóság szerkezeti (vagy strukturális) működési (vagy funkcionális) és formai (vagy geometriai, tágabb értelemben: topológiai) hasonlóság

9 Alapfogalmak - Rendszertípusok
Rendszerek felosztása a IIASA szerint Közgazdasági rendszerek: nemzetközi kereskedelem és gazdaság, nemzetközi gazdaságtervezés, fejlesztés és irányítás, ágazati és ipari tervezés. Emberi és társadalmi rendszerek: népesség, városi és regionális tervezés, fejlesztés és vezetés, lakáshelyzet, oktatás, képzés, egészségügyi szolgáltatások (tervezés, szervezés, az ellátás irányítása), társadalmi és jóléti szolgáltatások, munkaerőképzés és -elhelyezés, biztonsági szolgáltatások, igazságszolgáltatás. IIASA: International Institute for Applied Systems Analysis,

10 Alapfogalmak - Rendszertípusok
Erőforrások és környezeti rendszerek: ásványi nyersanyagok, beleértve az energiahordozókat, vízforrások, beleértve az energetikai felhasználásokat, éghajlat, környezet, ökológia, mezőgazdaság, beleértve az erdőgazdaságot és állattenyésztést. Ipari rendszerek: kutatás és fejlesztés (beleértve az új technológiákat), tervezés és irányítás, termelés és elosztás, energiaágazat, petrolkémia, elektronika, szállítóeszközök tervezése (pl. gépkocsi, repülőgép), élelmiszerelosztás, textil - és ruházati ipar, nukleáris energia.

11 Alapfogalmak - Rendszertípusok
Biológiai rendszerek: elemi biológiai rendszerek, humán biológia és pszichológia, bionika: az emberi és más biológiai funkciók modellezése. Információs és számítógép rendszerek: távközlési és számítógépes hálózatok, információtárolás és - visszakeresés, számítógép hardver és szoftver tervezés és kiválasztás, vezetési információs rendszerek. Külön csoport az ún. integrált rendszerek: mezőgazdaság - élelmiszer - népesség, energia - környezet - ipar, ipar - környezet - egészségügy, területi ipari komplexumok, globális és regionális rendszerek.

12 Modellek jellemzői – osztályozás
Hasonlóság szerkezeti működési formai Típus anyagi elektromos mechanikai termikus gondolati szimbolikus verbális ikonikus Rendszer pszichikai társadalmi termelési fizikai ...

13 Modellek csoportosítása
funkció probléma megoldó leíró előíró szemléltető struktúra ikonikus analóg szimbolikus szempont (hasonlóság) formai szerkezeti működési jelleg kvalitatív (minőségi) gondolati verbális kvantitatív (mennyiségi) heurisztikus szimulációs sztochasztikus folyamat statikus dinamikus

14 Feladat- és problémamegoldás
Feladat akkor, ha ismert a meglévő állapot, annak ellentmondásai, az igények és a lehetőségek közötti feszültség, (általában) a célállapot és (algoritmizált) a teljes megoldási út. Probléma akkor, ha nincs (teljes) ismeretünk a meglévő helyzetről és/vagy a megoldás útjáról és/vagy a célállapotról.

15 Kutatás, irányítástechnika
Feladattípusok Feladat Y T X Példa Direkt ? ismert adott Mérés, minősítés Indirekt előírt Tervezés, fejlesztés Induktív Kutatás, irányítástechnika X: a rendszer (modell) bemenete Y: a rendszer (modell) kimenete T: a rendszer viselkedése

16 Feladat- és problémamegoldás
Probléma felismerése kiindulási állapot feltételek megfogal-mazás ismeretlen részek saját tapasztalat ismert részek elemzés szükséges ismeretek biztos! bizonytalan! átvett ismeretek terv és lényegkiemelés kísérlet végrehajtás végállapot

17 Megoldási módszerek Analitikus módszer
a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, a matematikai modell megalkotása, a matematikai modell transzformációja (ill. egyszerűsítése) megoldásra alkalmas formára, a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása, a megoldás ellenőrzése.

18 Megoldási módszerek Numerikus módszer
a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, a matematikai modell megalkotása, a matematikai modell átalakítása numerikus megoldásra alkalmas formára (diszkretizálás), a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, a blokkséma összeállítása, a számítási modell megoldását adó program megírása, és annak futtatása, a megoldás ellenőrzése.

19 Megoldási módszerek Kísérleti módszer
a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, a matematikai modell megalkotása, a matematikai modell hasonlósági transzformációja, a kísérleti objektum megfelelő kiválasz-tása és a kísérleti eredmények (későbbi) általános felhasználhatósága érdekében, a kísérleti program (a kísérletterv) összeállítása, a kísérletek lefolytatása és értékelése alapján a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása, a megoldás ellenőrzése.

20 Megoldási módszerek - összefoglalás
lépés Analitikus Kísérleti Numerikus 1 A feladat verbális megfogalmazása 2 A matematikai modell megalkotása 3 Transzformáció megoldásra alkalmas formára Hasonlósági transzformáció  Diszkretizálás 4 A megoldás egymás utáni lépéseinek rögzítése A kísérleti terv összeállítása Algoritmus és blokkséma 5 A megoldást jelentő összefüggés meghatározása Kísérletek és azok értékelése Gépi program futtatása, eredménye 6 A megoldás ellenőrzése

21 1. szint 2. szint 3. szint teljes rendszer Összetett rendszerek
Parciális modellezés – integrált rendszerek részrendszerekre és részfolyamatokra bontás modellrendszer alkotás 1. szint 2. szint 3. szint teljes rendszer 1. részfolyamat elem 2. részfolyamat

22 Energiatervezés Társadalmi-gazdasági folyamatok modelljei

23 Társadalmi-gazdasági folyamatok
Csak parciális modellek léteznek részrendszerek: regionális modellek (térbeli szétválasztás) részfolyamatok: jelenségek, folyamatok (funkcionális szétválasztás) Megoldási elvek és módszerek analitikus módszer csak korlátozottan használható dinamikus kapcsolat a részek között jól definiált input/output változók számítógépi (numerikus) módszerek

24 Társadalmi folyamatok modelljei
Matematikai leírás differenciális mérlegegyenlet kapcsolt differenciálegyenlet-rendszer Megoldási módszer egyszerű modellek: analitikus összetett modellek: numerikus (szoftver) Általános mérlegegyenlet: xi: extenzív jellemző Q: forrás erőssége, I: nyelő erőssége, t: idő

25 Társadalmi folyamatok modelljei
Alapvető modellezési eszközök és módszerek Áramfüggvények példák: extenzív áram: termékek és szolgáltatások int. kül.: ár vez. tényező: szállítási költség, adók

26 Társadalmi folyamatok modelljei
Alapvető modellezési eszközök és módszerek Növekedési függvények (korlátlan) példák: extenzív mennyiség: népesség, GDP növekedési ráta: növekedési ütem, szül.-hal. ráta

27 Társadalmi folyamatok modelljei
Egyértelműségi feltételek valós jellemző matematikai leképezés vizsgált terület határai  értelmezési tartomány korlátok  értékkészlet kiinduló adatok  kezdeti feltételek jellemző tulajdonság  együtthatók belső összefüggések  együtthatók közötti fgv-ek

28 Egyszerű modellek Korlátlan növekedés Globális (időbeli) mérlegegyenlet: Q=g∙xi, ahol g a növekedési ráta 1/idő g>0: növekedés g=0: stagnálás g<0: fogyás

29 Egyszerű modellek Korlátlan növekedés (Malthus-féle modell) Megoldás
xi xi(t) t Thomas Robert Malthus ( ), angol demográfus, matematikus, 1798

30 Egyszerű modellek Népesedési (demográfiai) modell Verbális modell Differenciálegyenlettel (matematikai modell):

31 Egyszerű modellek A világ népessége Népesség,milliárd fő 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 10,000 BC 8000 6000 4000 2000 AD 1 1000

32 Egyszerű modellek A növekedési ráta időfüggő Nettónövekedésiráta,%/a
1960 1970 1980 1990 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 Nettónövekedésiráta,%/a 2000 2010 2020 2030 2040 0.2 0.4 0.6 0.8

33 Egyszerű demográfiai modellek
Lineárisan extrapolált nettó növekedési ráta Nettó növekedési ráta Népesség

34 Egyszerű demográfiai modellek
Exponenciálisan csökkenő nettó növ. ráta Nettó növekedési ráta Népesség

35 Korlátozott növekedés
Növekedési korlát = eltartóképesség

36 Korlátozott növekedés

37 Korlátozott növekedés

38 Korlátozott növekedés
Pierre François Verhulst ( ) belga matematikus, 1838

39 Korlátozott növekedés
Népesség Évenkénti növekedés

40 Korlátozott növekedés
Általánosított logisztikus függvény (Richard-féle függvény, növekedés modellezés) Pmin: alsó asszimptota C*: eltartóképesség, ha Pmin=0 g: növekedési ráta t: idő M: a max. növ. ideje, ha Q=v v: segédparaméter Q: segédparaméter, P(0) függvénye

41 Kimerülő erőforrások A Hubbert-féle elmélet: olajhozam-csúcs alkalmas a kimerülő erőforrások leírására Marion King Hubbert ( ), közzététel: 1956

42 Kimerülő erőforrások Hubbert eredeti diagramja 1956-ból
M. King Hubbert (1903–89)

43 Kimerülő erőforrások Norvégia olajkitermelése Világtrendek
Forrás: World Energy Outlook 2013

44 Kimerülő erőforrások Többciklusú Hubbert-model
STB=Standard Stock Barrels Venezuela olajkitermelése Forrás: Ibrahim Sami Nashawi, Adel Malallah, and Mohammed Al-Bisharah, Forecasting World Crude Oil Production Using Multicyclic Hubbert Model Energy Fuels 2010, 24, 1788–1800

45 Általános trend- és életgörbe függvények
Inflexió nélküli trendfüggvények

46 Általános trend- és életgörbe függvények
Inflexióval rendelkező életgörbe függvények Általánosított Verhulst-féle függvény: Pearl-Reed-féle függvény: Késleltetett logisztikus függvény: Gompertz-féle függvény: Életkorfüggő halálozási ráta Tumorsejtek burjánzása

47 Általános trend- és életgörbe függvények
Inflexióval rendelkező trendfüggvények

48 Általános trend- és életgörbe függvények
Két inflexióval rendelkező életgörbe függvények τ

49 Gazdasági folyamatok Nagy időközű ciklikusság – Kondratyev-ciklus
Technológiai változások  gazdasági változások Vasút, acélgyártás Elektromosság, nehézipar mobilizáció (olajipar) infokomm gőzgép Vitatott elmélet éves ciklusidő Никола́й Дми́триевич Кондра́тьев,

50 Kondratyev-hullám (USA)
Forrás:

51 Kondratyev-évszakok Forrás:

52 Kölcsönható rendszerek
Populációdinamika – Lotka-Volterra Alfred J. Lotka (1880–1949), 1910; Vito Volterra (1860–1940); 1926

53 Kölcsönható rendszerek
Populációdinamika – Lotka-Volterra Alfred James Lotka Vito Volterra

54 Kölcsönható rendszerek
Populációdinamika – Lotka-Volterra

55 Kölcsönható rendszerek
Populációdinamika – Lotka-Volterra Egyedszám – idő ciklikus folyamatok leírására Egyedszám – egyedszám Fázisgörbe

56 Kölcsönható rendszerek
Lotka-Volterra modell a valóságban Kanadai megfigyelések havasi nyúl -- hiúz

57 Kölcsönható rendszerek
Lotka-Volterra modell a valóságban Forrás:

58 Modellező/szimulációs eszköz
Kereskedelmi szoftverek: STELLA: PowerSim Studio: Oktatási célú (ingyenes) szoftverek: Vensim PLE (Personal Learning Edition) Scilab