Kockázat és megbízhatóság

Az előadások a következő témára: "Kockázat és megbízhatóság"— Előadás másolata:

1 Kockázat és megbízhatóság
Alapvető megbízhatósági eloszlások Dr. Kövesi János

2 Kockázat és megbízhatóság
Poisson-eloszlás Kockázat és megbízhatóság

3 Kockázat és megbízhatóság
Feladat Egy készülék meghibásodásainak átlagos száma működési óra alatt 10. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a készülék 200 működési óra alatt nem romlik el! M() =  = 200·10/10000 = 0,2 P(=0) = 0,8187 P(>0) = 0,1813 Kockázat és megbízhatóság

4 Kockázat és megbízhatóság
Feladat Egy készülék szavatossági ideje egy év. A készülék 2000 darab azonos, különlegesen megbízható elemet tartalmaz, amelyek a szavatossági idő alatt egymástól függetlenül 0,0005 valószínűséggel romlanak el. A szavatosság alapján a gyártó vállalat az egy éven belül bekövetkezett meghibásodások javítására esetenként a teljes ár 1/4 részét fizeti vissza. Ha a javítások száma az év során eléri az ötöt, akkor a gyártó vállalat a már kifizetett négy javítási költségen felül a teljes árat is visszafizeti. Számítsuk ki, hogy előreláthatólag az eredeti vételár hány százaléka marad a gyártó vállalatnál! Kockázat és megbízhatóság

5 Kockázat és megbízhatóság
Feladat Binomiális  Poisson  = 2000·0,0005 = 1 pk Lehetséges bevétel p0 = 0, M() = 0,746 p1 = 0, /4 p2 = 0, /2 p3 = 0, /4 p4 = 0, p5 = 0, Tehát a szavatosságra 25%-ot fordít! Kockázat és megbízhatóság

6 Exponenciális eloszlás
18 Exponenciális eloszlás ha t<0 ha t0 F(t) 1 f(t)  ha t0 ha t<0 M(τ) = 1/ D(τ) = 1/ Kockázat és megbízhatóság

7 Kockázat és megbízhatóság
Feladat Egy telefonfülke előtt állunk és várjuk, hogy az előttünk beszélő befejezze a beszélgetést. Az illető beszélgetési időtartama véletlen esemény, melyre érvényes a következő: Kockázat és megbízhatóság

8 Kockázat és megbízhatóság
Feladat Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a beszélgetés 3 percnél tovább tart! Mennyi annak a valószínűsége, hogy a beszélgetés további 3 percnél tovább tart, feltéve, hogy eddig 3 percnél tovább tartott? Mennyi annak a valószínűsége, hogy a beszélgetés t+3 percnél tovább tart, feltéve, hogy t percnél tovább tartott? Kockázat és megbízhatóság

9 Kockázat és megbízhatóság
Feladat a.) b.) c.) Kockázat és megbízhatóság

10 Kockázat és megbízhatóság
Feladat Egy automatizált gépsor hibamentes működésének valószínűsége 120 működési órára 0,9. Tegyük fel, hogy a működési idő exponenciális eloszlású. Számítsa ki a  meghibásodási rátát és a működési idő várható értékét, valamint annak a valószínűségét, hogy a gépsor a 150. és a 200. óra között meghibásodik. Kockázat és megbízhatóság

11 Kockázat és megbízhatóság
Feladat F(200)-F(150) = Kockázat és megbízhatóság

12 Kockázat és megbízhatóság
Feladat f(x)  63,21% F(1/) = ? F(1/) = = 1 - 0,3679 = 0,6321 M() = 1/ Kockázat és megbízhatóság

13 Normális (Gauss-) eloszlás
24 Normális (Gauss-) eloszlás f(t)  F(t) 0,5 M(τ) =  D(τ) =   Kockázat és megbízhatóság

14 Kockázat és megbízhatóság
Standardizálás Standardizálás logikai menete M(u) = 0 D(u) = 1 Kockázat és megbízhatóság

15 Kockázat és megbízhatóság
Standardizálás Az eloszlás 0 körül szimmetrikus, ezért: Kockázat és megbízhatóság

16 Kockázat és megbízhatóság
Feladat Egy elektronikai gyárban tesztekkel igazolták, hogy egy TV képcső élettartama N(5,8 év; 2,3 év) eloszlású. A vállalat 2 év cseregaranciát vállal a képcsövekre. A képcsövek hány százalékát kell kicserélni a garancia időtartama alatt? Mekkorára kell növelni a képcsövek élettartamát (a szórás nem változik), ha a cég legfeljebb 2 %-os garanciális cserét szeretne elérni? Legfeljebb mekkora szórása lehet az élettartamnak – ha a várható érték nem változik (5,8 év) – ahhoz, hogy a 2 %-os célt elérjék? Kockázat és megbízhatóság

17 Kockázat és megbízhatóság
Feladat 5,8  = 2,3 P(τ <2) = F(2) = ? 5% 2 Kockázat és megbízhatóság

18 Kockázat és megbízhatóság
Feladat P(τ <2) = F(2) =0,02 5,8  = 2,3 ?? 0,98 2% 2 ?? =6,7 év  =1,60 év Kockázat és megbízhatóság

19 Csonkított normális eloszlás
24 Csonkított normális eloszlás f(t) ? t m Kockázat és megbízhatóság

20 Kockázat és megbízhatóság
Feladat A termék működési ideje az első meghibásodásig t=0-ban csonkított normális eloszlású μ=8000 óra várható értékkel és σ=2000 óra paraméterrel. Határozzuk meg az R(t) hibamentes működés valószínűségét t=4000, 6000 és 8000 órára. Kockázat és megbízhatóság

21 Kockázat és megbízhatóság
21 Weibull-eloszlás R(t) F(t) 1 t Kockázat és megbízhatóság

22 Kockázat és megbízhatóság
22 Weibull-eloszlás f(t) b>1 a b=1 b<1 t Kockázat és megbízhatóság

23 Kockázat és megbízhatóság
23 Weibull-eloszlás l(t) b > 1 b < 1 b = 1 b>1 b=1 b<1 t t Kockázat és megbízhatóság

24 Kockázat és megbízhatóság
Weibull-eloszlás Az eloszlásfüggvény ma is sok helyen (elsősorban az angolszász szakirodalomban) használt eredeti formája az alábbi volt: 𝐹 𝑡 =1− 𝑒 − 𝑡 𝜂 𝑏 ahol 𝑏 továbbra is az alakparaméter vagy Weibull kitevő. A 𝜂 pedig a mértékparaméter vagy karakterisztikus élettartam, ugyanis 𝑡 = 𝜂 esetben az 𝑅(𝑡) megbízhatósági vagy túlélési függvény értéke 37%-ra csökken. Kockázat és megbízhatóság

25 Kockázat és megbízhatóság
25 Lognormális eloszlás f(t) t Kockázat és megbízhatóság

26 Kockázat és megbízhatóság
26 Gamma-eloszlás f(t) t Kockázat és megbízhatóság