Zene és matematika – tűz és víz? Szabadka, 2015. augusztus 12. Béres Zoltán beres@tippnet.rs http://members.tippnet.rs/beres

Előzetes megjegyzések az előadáshoz tudományos vagy szórakoztató? lehet-e ezt tanítani? nem lesz szó: a XX. század második felében megjelenő zenei irányzatokról az Európán kívüli zenékről nem lesz zenei hangzó anyag

Tartalom (1/2) I. Püthagorasz és a többiek II. A pszichológiai oldal III. A hang IV. Hangsorok V. Hangközök VI. A hangok hossza

Tartalom (2/2) VII. Formák – transzformáció és aranymetszés VIII. Az ókori görög paradoxonok feloldása IX. Matematikai szöveg és zene X. A kotta mint függvény XI. Az elemző agy XII. Érzelem vagy értelem

I. Püthagorasz és a többiek matematika zene

Püthagorasz (Kr.e. 570 k.–496) arányok:  zene  matematika

Anicius Manlius Severinus Boëthius (480?–524) A tanítványaival (1385) A középkori skolasztika egyik megalapítója Institutio arithmetica (Aritmetikai bevezetés) Institutio musica (Zenei bevezetés)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) „A zene a lélek matematikai gyakorlata.”

Marin Mersenne (1588–1648) „az akusztika atyja” Traité de l'harmonie universelle (1627)

Leonhard Euler (1707–1783) Tentamen novae theoriae musicae (1739) „A zene több, mint pusztán matematikai gyakorlat. Feltárja és felszabadítja agyunk rejtett nemlineáris dinamikáját.”

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) „…[a zene] elszigetel a környezetemtől; az első három ütem meghallgatása után a negyediknél már semmit sem látok, átengedem magam gondolataimnak, s több nehéz problémát ilyen állapotban sikerült megoldanom.”

James Joseph Sylvester (1814–1897) „A zene az érzelem matematikája, a matematika az értelem zenéje.”

Maróthi György (1715–1744) Arithmetica, vagy számvetésnek mestersége (1743)  kb. 200 évig használták Soltároknak a kóták szerént való éneklésének mesterségének rövid summája (1740)  az első magyar nyelvű zeneelméleti munka

A két Bolyai Bolyai Farkas (1775–1856)  zeneelmélet Bolyai János (1802–1860) hegedűjátékos Muzsikatan – dolgozat

Rátz László (1863–1930) matematika-fizika szakos tanár, a KÖMAL szerkesztője  a Dal és Zene Egyesület elnöke

Fejér Lipót (1880–1959) matematikus, az MTA tagja  kiváló zongorista volt

Bonifert Domonkos (1942–2002) matematika-fizika-ének szakon végzett a Szegedi Tanárképző Főiskolán 1964-ben

Darvas Ferenc (1946 –) (színpadi) zeneszerző, zongorakísérő, Erkel-díjas  fejszámolóművész

Freud Róbert (1947–) algebra tanár (ELTE)  kiváló zongorista

Gyüdi Sándor (1959–) matematika–fizika szakos középiskolai tanár Ma (2010): a Szegedi Szimfonikus Zenekar vezető karmestere Ma (2015): a Szegedi Nemzeti Színház főigazgatója

Harcsa Veronika (1982 –) 2001-ben érettségizett a Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium speciális matematika tagozatán  dzsesszénekes

Vajon ez véletlen?

II. A pszichológiai oldal Jobb oldal: -- minták -- formák -- humor -- zene -- tánc -- képzelőerő -- téri képességek Bal oldal: -- nyelv -- logika -- számolás -- fogalom-alkotás

A Mozart-hatás (1993) A kísérleti alanyok intelligencia-tesztet (tér–idő feladatokat) töltöttek ki, miközben: Mozart-szonátát, ismétlődő relaxációs zenét hallgattak, illetve nem hallgattak semmit. Eredmény: A Mozartot hallgatók 8-9 ponttal jobb eredményt értek el.

Nem létezik a „Mozart-hatás” A Bécsi Egyetem Pszichológiai Alapkutatások Intézetének szakértő csoportját Jakob Pietschnig vezette. A kutatás során nem tudták bizonyítani a zene hatását a térbeli képzelőerőre. Pietschnig: „Mindenkinek ajánlom Mozart zenéjét, de a kognitív teljesítőképesség javulásához fűzött elvárások nem teljesülnek a komponista művei által” – fogalmazott Pietschnig. (HVG, 2010. május 5.)

A zenehallgatás hatása Azok a diákok, akik 60-70 ütem per perc sebességű klasszikus zenét hallgattak tanulás közben, például Beethoven Für Elise-ét, 12 százalékkal jobban teljesítettek matematikadolgozatnál, tehát egy egész jeggyel jobbat kaptak – állítja Emma Gray klinikai szakpszichológus. (www.life.hu, 2013.9.17.)

A Kodály-módszer Kodály-módszeren alapuló Látható hangok elnevezésű, gyermekek számára kifejlesztett zeneoktatás -> „A zenei képzés hosszú távú hatásai között a kutatók a matematikai készségek és a kreativitás fejlődését is megfigyelték.” (mta.hu, 2010.11.10.) Honbolygó Ferenc

Gombás Judit és Stachó László: Matematikai és zenei képességek vizsgálata 10-14 éves gyerekeknél (2006) A matematikai képességek korrelálnak a zenei képességekkel. Különösen a problémamegoldó képesség van szoros kapcsolatban a ritmusérzékkel. Az előzetes zenetanulás évei korrelációban van a matematikai megértéssel kapcsolatos teszt eredményeivel. (http://elib.kkf.hu/okt_publ/tek_2006_35.pdf)

III. A hang

A zenei hang a hangerő a hangszín a hangmagasság

A hangszín trombita fagott hangvilla A fülünk érzékeli a hanghullám mintáját. Vajon mitől vannak ezek a minták?

Felhangok – A húr rezgése 1. felhang (alaphang) 2. felhang (sin 2x+cos 2x) 3. felhang (sin 3x+cos 3x) 4. felhang (sin 4x+cos 4x) 5. felhang (sin 5x+cos 5x) 6. felhang (sin 6x+cos 6x) 7. felhang (sin 7x+cos 7x)

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) A rezgő húr és a hővezetés problémája Fourier-tétel: Minden rezgőmozgás felbontható harmonikus rezgőmozgá-sok összegére. Következmény: Minden hangszín végtelen sok felhangra bontható. A tétel zenei hangokra vonatkozó következménye előbb volt ismert, mint maga a tétel.

Mit is jelent ez az előállítás? p(t) = a0 + a1 cos(wt) + b1 sin(wt) + a2cos(2wt) + b2 sin(2wt) + a3 cos(3wt) + b3 sin(3wt) + ... http://phet.colorado.edu/hu/simulation/fourier Rajzoltassuk meg egy rajzolóprogrammal a következő függvényeket: y1=1-0,3*cos(x)-0,2*sin(x) y2=1-0,3*cos(x)-0,2*sin(x)+0,7*cos(2x)-0,2*sin(2x) y3=1-0,3*cos(x)-0,2*sin(x)+0,7*cos(2x)-0,1*sin(2x) -0,6*cos(3x)-0,2*sin(3x)

Felhangok – egy kis akusztika

IV. Hangsorok

A szorzási szabály t 5 + t 4 = t 8 pl. c–g és g–c’ = c–c’ t 8 = [2/1] dó : szó = 2 : 3 => szó = dó · (3/2) szó : dó’ = 3 : 4 => dó’ = szó · (4/3) dó’ = (dó · (3/2)) · (4/3) = dó · ((3/2) · (4/3)) Mit jelentene az arányok osztása?

Egy versenyfeladat Matematika Határok Nélkül, 2000/2001, próbaforduló 2. feladat: Aurélie pánsípot szeretne készíteni tíz sípból, melyek a dó-ré-mi-fá-szó-lá-ti-dó’-ré’-mi’ megszólaltatására alkalmasak. A legmélyebb hang megszólaltatására szolgáló síp 16 cm hosszú. Ha egy tetszőleges hosszúságú sípot megfelezünk, egy oktávval magasabban szóló hangot kapunk (pl. dó-dó’). Ha egy tetszőleges hosszúságú síp 2/3-át vesszük, így egy kvinttel magasabban hangzó síphoz jutunk (pl. dó-szó vagy ré-lá). Számítsátok ki a 10 síp hosszát, állítsátok nagyság szerinti sorrendbe, és rajzoljátok le eredeti nagyságban Aurélie pánsípját! Az egyes sípok átmérője 1 cm.

A feladat megoldása: d – r – m – f – s – l – t – d’ – r’ – m’ 16 s = 16 · 2/3 = 32/3 r = (32/3) : (3/4) = 32 ·4 : (3 · 3) = 128/9 l = 128/9 · 2/3 = 256/27 m = (256/27) : (3/4) = 256 ·4 : (27 · 3) = 1024/81 t = 1024/81 · 2/3 = 2048/243 De mi lett a szomszédos hangok aránya? f = 16 · 3/4 = 48/4 = 12

Püthagoraszi hangsor d – r – m – f – s – l – t – d’ Püthagoraszi limma: m–f, t–d A zenetörténetben megjelentek a funkciók (I,IV,V) és ettől a püthagoraszi hangsor a háttérbe szorult.

„Tisztítsuk ki” a fő funkciókat! d – r – m – f – s – l – t – d’ T: d – m – s Ok S: f – l – d’ Ok D: s – t – r’ Ok Hurrrrrrá! Most már minden rendben van?

Énekeljünk nagy szekundot! (dó – ré) Mekkorát lépjünk? 1. eset szó : dó = 4 : 3 szó : ré = 3 : 2 2. eset lá : dó = 6 : 5 lá : ré = 4 : 3 Más baj is van… Mi a megoldás?

A 12-fokú temperált hangsor dó = C 2C = C · q12 Cisz = C · q 2 = q12 D = Cisz · q = (C · q) · q = C · q2 Disz = ... = C · q3 ... C’ = C · q12

Mi változott? 9/8 = 1,125 -- nagy szekund 10/9 = 1,111… -- nagy szekund 16/15 = 1,0666… -- kis szekund helyett: kis szekund: nagy szekund:

A háromféle nagy szekund arány az arány tizedes törtben kifejezve 1,111 1,1225 1,125 elnevezés (magyar) kis egész hang temperált egész hang nagy egész hang (latin) tonus minor tonus maior

A temperált hangsor – pro és kontra veszteség lista: az oktávon kívül nincs akusztikailag tiszta hangköz. pl. a kvint 3/2 aránya a temperálással: lesz az 1,5 helyett. nyereség lista: az összes hangnem egyformán alig-hamis, vagyis egyformán elfogadható.

Miért éppen 12 fok? ha több lenne: nehezen tudnánk megjegyezni a dallamokat (lásd: indiai zene – 24-fokú) ha kevesebb lenne: nem lenne elég kombinációs lehetőség a dallamok szerzésére (lásd: egészfokú skála) „Az európai kultúra azért tudott közel 2600 év alatt ilyen magaslatokra jutni a zenében, mert Püthagorasz felfedezését, hogy összefüggés van a geometriai méretek és arányok, valamint a hangmagasság között, rendszerré tudta szervezni.” (Pap János)

És mi a helyzet az ötfokú hangsorral? d – r – m – f – s – l – t – d’ d – r – m s – l d’ d – r f – s – l d’ r – m s – l – t r f – s – l – t

V. Hangközök

Konszonancia és disszonancia Minél több felhang esik egybe, annál kellemesebb érzetet kelt. c és g c és e c és d

Konszonancia Már a püthagóreusok is megfogalmazták azt, hogy a kis (természetes) számokkal leírható hangközök szólnak jól. A t8, t5, t4, n3, k3, n6, k6 (t1) hangközök számítanak konszonánsnak a klasszikus zeneelméletben.

Különbségi hangok 1.  orgonaépítés Az énekkar tiszta intonációjának hatására „olyan hangok szólalnak meg, amelyeket a kórus nem is énekel”. (Kodály)  orgonaépítés

Különbségi hangok 2.

VI. A hangok hossza

Milyen értékű hang hiányzik az ütemből? A törtek tanítása Ritmus-egyenletek Milyen értékű hang hiányzik az ütemből?

Pontozott hangok Egy elméleti kérdés: Hány pontot kell tennem a félhang után, hogy az értéke legalább egész legyen?

Nem csak felezni lehet!

VII. A zenei formák

Geometriai transzformációk a zenében 1. Eltolás a zenében: kánon, imitáció, szekvencia Tengelyes tükrözés: tükörkánon, inverzió Középpontos tükrözés: rákkánon Hasonlóság – nyújtás: augmentáció Hasonlóság – zsugorítás: diminúció Transzformációk kompozíciója

Kottapéldák jegyzéke 1A. Praetorius 1B. J.S. Bach: A fúga művészete 2. J.S. Bach: Kétszólamú invenció 3. ??? (Darvas Gábor) 4. W.A. Mozart 5. ??? (Darvas Gábor) 6. ??? (Darvas Gábor) 7A. J.S. Bach: A fúga művészete 7B. J.S. Bach: A fúga művészete 7C. J.S.Bach: Zenei áldozat

1A. Eltolás a zenében: kánon

1B. Eltolás a zenében: imitáció

2. Eltolás a zenében: szekvencia

3. Tengelyes tükrözés: tükörkánon

4. Középpontos tükrözés: rákkánon

5. Hasonlóság – nyújtás: augmentáció

6. Hasonlóság – zsugorítás: diminúció

7A. Transzformációk kompozíciója

7B. Transzformációk kompozíciója

7C. Transzformá-ciók kompozíciója

Tillai Aurél: Kvint-kánon (2008)

Melyik téglalap a „legszebb”? 1 2 3 4 5 a:b=1:1 sectio aurea a:b=1:2 a:b=1:3 a:b=1:4

Az a és b mennyiség arányát aranymetszésnek nevezzük, ha Az aranymetszés Az a és b mennyiség arányát aranymetszésnek nevezzük, ha a : b = (a + b) : a a b Ha a + b = 1, akkor a piros gombóc pontosan a pontban van.

A Fibonacci-sorozat Első két tagja 1. A többi tag az előző kettő összege. 1. tag: 1 8. tag: 8 + 13 = 21 2. tag: 1 9. tag: 13 + 21 = 34 3. tag: 1 + 1 = 2 10. tag: 21 + 34 = 55 4. tag: 1 + 2 = 3 11. tag: 34 + 55 = 89 5. tag: 2 + 3 = 5 .... 6. tag: 3 + 5 = 8 7. tag: 5 + 8 = 13

Keressük az aranymetszetet! OOO 0/2=0; 1/2=0,5; 2/2=1. OOOOO 0/4=0; 1/4=0,25; 2/4=0,5; 3/4=0,75; 4/4=1. OOOOOOOO 0/7=0; 1/7=0,14; 2/7=0,29; 3/7=0,34; 4/7=0,57; 5/7=0,71; 6/7=0,86; 7/7=1. OOOOOOOOOOOOO 7/12=0,58 Fibonacci-számok: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 Aranymetszés: kb. 0,618

Számoljuk meg a taktusokat! Jadasson szerint: a 8 ütemes Beethoven dallamok csúcsa rendszerint a 6. ütemre esik, vagyis a dallam szerkezete: 5 + 3 = 8. Vajon tudatosan számolt-e Beethoven? (Nem csak Beethovennél figyelhető meg ilyen véletlen(?)!)

A Himnusz 2:18 hosszú, 1:31-nél van a csúcspontja: 91/138 = 0,659 (Φ=0,618) (Iharos Csabáné, Szénási Eszter)

Az aranymetszés Bartóknál pozitív aranymetszés 0,618 : 0,382 (a hosszabb rész van elől) negatív aranymetszés 0,382 : 0,618 (a rövidebb rész van elől) A következő példa Bartók 2 zongorás ütős szonátájából való, annak is a kidolgozási részét láthatjuk (134–247. taktus)

0,382 0,618 A 177. taktus: (177–133)/(248–133) = 44/115 = 0,383 A 166. taktus: (160–133)/(177–133) = 27/44 = 0,614 A 205. taktus: (205–176)/(248–176) = 29/72 = 0,402 (28/72 = 0,389; 27/72 = 0,375)

Véletlen? Bartók: 2 zongorás ütőhangszeres szonáta I. tétele

Bartók dallamai Bartók: 2 zongorás ütőhangszeres szonáta I. tétele

VIII. Az ókori görög paradoxonok feloldása? Zénón paradoxonja: Akhilleusz és a teknős Szamosi Géza: A polifon zene és a klasszikus fizika (1990)  „...az idő csak másodlagos, származtatott dimenzió, amelynek a léte a testek mozgásához...van kötve” – gondolták a görögök  Galilei „az időt életünk üteméből dimenzióvá változtatta, vagyis egy absztrakt paraméterré” (Gillespie, 1960)

Az idő egészen új szemlélete a fizikában úgy jelent meg, mintha egyszerűen csak egy okos matematikai újítás lenne Rendkívül meglepő, hogy míg Galilei más eszméi szenvedélyes ellenzőkre és támogatókra találtak, addig az idő szerepére vonatkozó forradalmi felismerése egyáltalán semmiféle izgalmat nem váltott ki az idő folyása: a polifon zene – az időütem tartását felváltotta az idő mérése

IX. Matematikai szöveg és zene Egykori matektanárom pl. maga megzenésítette a másodfokú egyenlet megoldóképletét. Zseniális volt, de így sem bírtam megjegyezni. (Bejegyzés egy internetes fórumon)

Angol nyelvű példák Hotel Infinity (Hotel Califonia, Eagles) A végtelen szálló problémájáról Stairway to Seven (Stairway to Heaven, Led Zepelin) A 7-es számról Imaginary (Imagine, John Lennon) A képzetes számokról

Magyar nyelvű példák „Az n faktoriális. Mindig aktuális. Az n faktoriális. Sorrendekből a maximális. Álmodban is kombináljad, hogy n darab különböző tárgyat n faktoriális féleképpen rendezhetünk sorba szépen. Elmondom, hogy 6 lánnyal hányféleképpen randevúzz: 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720.” (Bëlg a) a-szor a az a négyzet, kis angyalom, b-szer b az b négyzet, kis angyalom, a kettőnek összege, Pitagorasz tétele, kis angyalom. (ismeretlen szerző)

Erősebb idegzetűeknek:. http://www. kockaeder Erősebb idegzetűeknek: http://www.kockaeder.hu/ Ha én gyökjel volnék, négyzetgyököt vonnék, Sok-sok valós számhoz másikat rendelnék, Ki nem használ engem, az tovább nem léphet, Hisz gyökvonás nélkül nincs megoldóképlet. Ha én egész volnék, természetes volnék, 3-mal osztható Catalan-szám volnék, Két szomszédom közül prím lenne mindkettő, Például lehetnék én a 42.

X. A kotta mint függvény Mit jelenít meg valójában a kotta? g : h = c : e log (g/h) = log (c/e) log g – log h = log c – log e Tehát azonos rezgésarányú hangok azonos távolságra vannak egymástól. x tengely: idő, y tengely: a hangok frekvenciáinak a logaritmusa

XI. Az elemző agy – minták

XII. Értelem vagy érzelem? matematika  értelem zene  érzelem „Az ember csak azt hallja meg, amit megért.” Pap János

Ajánlott olvasmányok Darvas Gábor: A zene anatómiája Zeneműkiadó, Budapest, 1975 Szabó Árpád: A görög matematika kibontakozása Magvető Kiadó, Budapest, 1978 Benkő András: A Bolyaiak zeneelmélete Kriterion Könyvkiadó, Bukarest, 1975 Kardos Pál: Kórusnevelés – kórushangzás Zeneműkiadó, Budapest, 1969 Pap János: Hang – ember – hang Vince Kiadó, Budapest, 2002 Lendvai Ernő: Bartók dramaturgiája Zeneműkiadó, Budapest, 1964

https://www.youtube.com/watch?v=ou_Dl0_Bll0 2:38 -- 4:43