3.2. Axonometria – Műszaki rajzok párhuzamos vetítéssel

Párhuzamos vetítések, axonometriák Kevésbé valószerű – de közeli, kis tárgyaknál . . . Affin transzformáció A képsíkra merőlegesen, vagy ferde szög alatt 4 „független” pont és képe meghatározza

Emlékeztető Műszaki rajzoknál - egyezményes ábrázolási módok: - könnyen szerkeszthető - a szakemberek által megszokott, - könnyen értelmezik - méretek és arányok jól „leolvashatók” A műszaki rajzolónak szerkesztési eljárások - a számítógéphez számítási eljárások

Merőleges vetítés koordináta-síkokra F H E J B „Számítások”: a harmadik koordináta elhagyása

Kiegészítő nézet ferde síkra A test jellemző síkjával párhuzamos síkra Forgatással és nyírással visszavezethető a merőleges vetítésre A nézetek szabványos egyesítése

Axonometriák Frontális axonometria Izometria Dimetria Trimetria (olv) Affin mátrix, 4-4 független ponttal

Affin transzformációk mátrixának előállítása A tér egy affin transzformációját 4 „független” pont és képe A „határozatlan együtthatók” módszere Pl. (gyakran): a TKR „ölében ülő” téglatest O = (0,0,0) A = (a,0,0), B = (0,b,0), C = (0,0,c)

Kavalier perspektíva, frontális axonometria Előírások: - vetítés: párhuzamos, ferde szögben - az UV képsík | | a TKR XY „homloksíkjával” - X’ = U, Z’ = V; 1 : 1 - Y’: 45 fokban hátrafelé; 1 : 2 P’ = M · P; M = ( 1 t 0 0); |0 t 1 0| |0 -1 0 0| (0 0 0 1) t = 2/4

A határozatlan együtthatók módszerével: O = [0, 0, 0, 1]; O’ = [0, 0, 0, 1]; a képsíkban X tengely (TKR) képe || U tengely (KKR): A = [1, 0, 0, 1]; A’ = [1, 0, 0, 1] Z tengely (TKR) képe || V tengely (KKR) C = [0, 0, 1, 1], C’ = [0, 1, 0, 1] Y tengely képe 450 -ban hátrafelé: B = [0, 1, 0, 1]; B’ = [bu, bv, bw, 1]; bu = cos(f) / 2, bv = sin(f) / 2, bw = +1 (vagy más !!!)

mik kiszámítása: mik = ? : M  (A B C O ) := (A’ B’ C’ O’) = (m11 m12 m13 m14)  ( 1 0 0 0 ) := ( 1 bu 0 0 ), (m21 m22 m23 m24) | 0 1 0 0 | | 0 bv 1 0 | (m31 m32 m33 m34) | 0 0 1 0 | | 0 1 0 0 | ( 0 0 0 1 ) ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 )

mik kiszámítása: mik = ? : M  (A B C O ) := (A’ B’ C’ O’) ( m11+m14 m12+m14 m13+m14 m14 ) := ( 1 bu 0 0 ), | m21+m24 m22+m24 m23+m24 m24 | | 0 bv 1 0 | ( m31+m34 m32+m34 m33+m34 m34 ) | 0 1 0 0 | ( 0 0 0 1 ) ( 1 1 1 1 ) M = ( 1 bu 0 0 ), bu = cos (f) / 2, | 0 bv 1 0 | bv = sin (f) / 2, | 0 1 0 0 | ( 0 0 0 1 ) f = 450, esetleg 300.

Axonometria – tengelyméretes ábrázolás Párhuzamos, merőleges vetítés egy ferde állású képsíkra „tengelyméretes ábrázolás”: előírás a tengelyirányú rövidülésekre (Egy d szakasz rövidülése: k = d’ / d = cos a ) A három tengelyirányú rövidülésre: k2 + l2 + m2 = 2 Megőrzi a párhuzamosságot és egy-egy irányban a szakaszok arányát Affin transzformációval számolható

Axonometria - a rajz szokásos elrendezése: Y’ X’ Z’ U V

Izometria, egyméretű axonometria k = l = m = 2/3 = 0.82…; ( ~1 !) A tengelyirányú távolságok jól érzékelhetőek A TKR egységkockáját a csúcsára állítva a képsíkra merőlegesen A tengelyek vetülete egymástól 1200-ra

Izometria, egyméretű axonometria M = ( m11 m12 m13 m14 )= | m21 m22 m23 m24 | | m31 m32 m33 m34 ) ( 0 0 0 1 ) =( -t t 0 0 ) | -f/2 -f/2 f 0 | ( -h –h -h h ) ( 0 0 0 1 ) h = 3/3, f = 2/3, és t = 1/2

Levezetés: 4 független pont és képe: {O A B C}  {O’ A’ B’ C’} 0 1 0 0 0 –f f 0 0 0 1 0 0 –g –g h 0 0 0 1 m 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 a = OA = 1, AB = 2 f = AB/2 = 2/2, g = AB (3/2)/3, h = 2g; m = akármi, de  0

Dimetria k = l/2 = 0.47…, l = m = 0.94..; Rajzolási szabály (jó közelítés): X” balra lefelé 7/8 irányban Y” jobbra lefelé 1/8 irányban Z” fölfelé az X méretek: 1:2 az Y és Z méretek: 1:1 P’ = M · P; M = ( -2/4 21/8 0 0 ) |-14/12 –2/12 8/3 0 | ( -7/3 –1/3 –1/3 1/3) ( 0 0 0 1 )

Trimetria (olv.) k, l, m: három különböző, rögzíthető érték P’ = M · P ; 3D  3D mozgás: - O’ a T (a KKR origója) fölött, - Z” = V tengely - X’, Y’, Z’ a képsíkot P, Q, R-ben döfi cos a = k, cos b = l, cos g = m szög alatt. M a határozatlan együtthatók módszerével