Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III Fuzzy következtetési rendszerek Takács Márta
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III Alapfogalmak Predikátumlogikai alapigazságok, helyes következtetési sémák: Modus Ponens ((A B) A) B A B A B Bizonytalan (fuzzy) rendszerparaméterekkel fuzzy következtetést vonhatunk le.
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III 4/15/20153 Általánosított Modus Ponens (GMP) ABAB A’ ______________ B’ ((A B) A’) B’ Ahol A, B, A’ és B’ nem éles halmazok, azaz crisp kijelentések, hanem fuzzy jellegűek, és A’ és B’ csak „hasonlóak” A-hoz és B-hez. Az műveletnek megfeleltethető valamely fuzzy konjunkció. A kérdés: mit jelent az A B implikáció, amely az if…then… típusú kijelentéseket modellezei?
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III 4/15/20154 If… then… Az “if … then …” szabályokat fuzzy állítások esetében fuzzy implikációk modellezik. A fuzzy halmazok esetében az and, or, not kapcsolatokat is fazifikálni kellett. Funkcionális szerepüket a t-norma, t- conorma és a szigorú negáció tölti be. A fuzzy implikációk elmélete matematikailag megalapozott, szigorú – a gyakorlatban a szigorú megkötésekből engedni kell.
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III 4/15/20155 Implikáció tulajdonságai
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III 4/15/20156 R-implikáció Az T normához köthető R implikáció (ha változóink az X univerzumból valók): I T (x,y)=sup z X {z|T(x,z)) y}
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III 4/15/20157 Fuzzy relációk Az R: X Y [0,1] bináris fuzzy relació azt kell hogy megmutassa, hogy milyen szinten vannak X és Y relációban, kapcsolatban. Ha X=Y akkor a R az X univerzumon definiált fuzzy reláció. A X és Y fuzzy halmazok hengeres kiterjesztése (R reláció), majd a művelettel megadott tulajdonságok alapján az Y halmazra vetített (projektált) vetülete modelljét képezheti a következtetési szabálynak, ahol X feltételhalmazból Y következményhalmazra vonatkozik az implikáció, és az X-ből való bemenetre az implikáció alapján levonhatjuk az Y-beli következményt. Mindezt tehát relációval (R), műveletek komponálásával ( jelölje ) projektálással (például egybeesésük legnagyobb lehetséges mértékét, péládul supremum-át tekintve) érhetjük el. C(x) R(X,Y)(y)=sup z X T(C(x), R(X,Y))
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III Reláció, implikáció, kompozíciós következtetési szabály Hogyan jutottunk el az előző definíciók alapján a relációból és implikációból a kompozíciós következtetési szabályig? (compositional rule of inference) C(x) R(X,Y)(y)=sup z X T(C(x), R(X,Y)) I T (x,y)=sup z X {z|T(x,z)) y}
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III Modus ponens és a kompozíciós következtetési szabály Hogyan jutottunk el az előző definíciók alapján a a kompozíciós következtetési szabálytól a modus ponens-ig? C(x) R(X,Y)(y)=sup z X T(C(x), R(X,Y)) Mindez az A(x) és B(y) fuzzy halmazokra és az általánosított Modus Ponensre vonatkoztatva B‘(y)=sup z X T(A ‘(x), Imp(A(x),B(y))) Imp(X,Y) A’ bemenet A kimenet
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III Approximate reasoning - közelítő következtetési rendszer
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III 4/15/ Hogyan modellezzünk? Egy fuzzy következtetési rendszerben (szabályzóban) a bemeneti és kimeneti paraméterek fazifikáltak, adott egy szabályrendszer, megjelennek a fuzzy bemenetek, és közelítő következtetési rendszerrel meg kell adnunk a fuzzy (vagy defazifikált) kimenetet. Mindennek a modellje, amint láttuk, a kompozíciós kövekeztetési szabály Fuzzy rule base A i B i …Input (A’)Output (B i ’)…
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III 4/15/ Általános rendszerséma Fuzzyfied input (A’) FLC System input x in Fuzzyfication and sliding of the sytem input Fuzzy rule base system If A i then B i Other system parameters Fuzzy rule base output B’ out Defuzzyfication method Crisp FLC output y out
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III 4/15/ Szabályrendszer
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III 4/15/ kompozíciós következtetési szabálytól a modus ponens Általánosított Modus Ponens (GMP) ABAB A’ ________________ B’ C(x) R(X,Y)(y)=sup z X T(C(x), R(X,Y)) B‘(y)=sup z X T(A ‘(x), Imp(A(x),B(y)))
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III 4/15/ If...then szabály a Mamdani modellben A Mamdani típusú következtetési rendszerekben az if x is A then y is B szabály matematikai modelljében az implikációt egy egyszerű kapcsolat (például egy t-norma, T(A,B) vagy a min) helyettesíti. helyett az i-dik szabály kimenetét így számítjuk: B i ’(y) = sup x X (T(A’(x),T(A i (x),B i (y))) B’ i (y)=sup x X (T(A’(x),Imp(A i (x),B i (y)))
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III 4/15/ Tovább gondolva B i ’(y) = sup x X (T(A’(x),T(A i (x),B i (y))) B i ’(y) = T (sup x X (T(A’(x),A i (x)),B i (y)) B i ’(y) = min (sup x X (min(A’(x),A i (x)),B i (y)) DOF-degree of firing B i ’(y) = min(DOF,B i (y))
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III A teljes szabályrendszerre nézve x = A’ B1’B1’ B2’B2’ B3’B3’ AND OR B out
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III 4/15/ A teljes szabálykimenet A fuzzy szabályozási rendszerekben a szabálypremissza (A i ) és a szabálybemenet (A’) egybeesésének mértéke határozza meg az adott szabály kimenetének (B i ’) jelentőségét a teljes szabálykimenetben (B out ’). A teljes szabálykimenetet az egyes szabálykimenetek egyesítésével kapjuk meg (most használjunk diszjunktív műveletet)
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III A1A’ B1 B1’ A2A’B2 B’ Yout B2’
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III Defazifikálás A kimeneti fuzzy halmaz ( B out ’ ) alapján ki kell választanunk egy olyan y értéket B univerzumából, ami az összesített B out ’ szabálykimenetet a legjobban reprezentálja. COG (center of gravity) módszer, azaz B out ’ tagsági függvényével határolt alakzat súlypontjának y koordinátája „Az első legnagyobb” érték y koordinátája, Vagy más módszer…
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III A következtetés „axiómái” (out1)Ha a szabálybemenet egybeesik a szabálypremisszával, akkor az adott szabály kimenete is egybeeseik a szabálykövetkezménnyel (köv. oldal, 2.szabály) (out2)Bármely fuzzy szám típusú A’ szabálybemenetre (magja nem üres halmaz) nem tüzelhet az összes szabály. (out3)A teljes szabálykimenet része a szabálykövetkezmények konvex lezártjának. (out4)Legalább egy szabály tüzeljen Moser, B., Navara., M., (2002), Fuzzy Controllers with Conditionally Firing Rules, IEEE Transactions on Fuzzy Systems,
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III A1A’ B1 B1’ A2A’=A2B2=B2’ B1 B’ B2’
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III Gyakorlati feladat Építsünk szabályrendszert MATLAB környezetben, és próbáljuk ki különböző bemenetekre! Illesszük be a fuzzy szabályrendszert (és módosított változatait) különböző szabályzandó rendszerekbe, és vizsgáljuk a hatásfokát a szabályzónak! 4/15/201523
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben III Források Dr Fodor János: Gépi intelligencia I., előadás diák fuzzy