PPKE ITK 2009/10 tanév 8. félév (tavaszi) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése Tájékoztatás 5. – 6.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Matematikai háttér 1.Time interval modelling (elhangzott) 2.Arrival Processes Point processes Point processes Little’s Theorem Little’s Theorem The Poisson Process (characteristics, distributions, properties) The Poisson Process (characteristics, distributions, properties) Generalization of the stationary Poisson process Generalization of the stationary Poisson process Az angol megnevezések megismerése is célkitűzés Bevezetés 1.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Bevezetés 2. A beérkezési folyamatokat sztochasztikus pont folyamatokkal lehet leírni. A beérkezési folyamatokat sztochasztikus pont folyamatokkal lehet leírni. A pont folyamat leírása alkalmas beérkezések megkülönböztetésére, de nem foglalkozik a beérkezett „valamik” (pl. foglaltsági igények) jellemzőivel. A pont folyamat leírása alkalmas beérkezések megkülönböztetésére, de nem foglalkozik a beérkezett „valamik” (pl. foglaltsági igények) jellemzőivel. Forgalmi vizsgálatokhoz Forgalmi vizsgálatokhoz az igényeket kiszolgáló erőforrások műszaki jellemzőit,az igényeket kiszolgáló erőforrások műszaki jellemzőit, az igények időtartam eloszlását ésaz igények időtartam eloszlását és az igények beérkezési folyamatát kell elsősorban ismerni.az igények beérkezési folyamatát kell elsősorban ismerni.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Pont folyamatok 1. Time [min] Hívásokbeérkezése(példa)

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Pontfolyamatok 2. Egyszerű pontfolyamatok, egy időpontban csak egyetlen érkezés (telefonhívások: finom időskála). Az i-dik hívás a T i időpontban érkezik. A [0,t[ félig nyitott intervallumban N t hívás érkezik. N t vv. Ha t növekszik, N t nem csökken. Érkezések közötti idő (interarrival time) Érkezések közötti idő eloszlása (interarrival time distribution) ( )

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Intervals of the set of real numbers are of the following.... different types (where a and b are real numbers, with a < b): itself, the set itself, the set of all real numbers Intervallumok International Standard ISO defines the below notation for intervals, which is the one commonly taught in many European and South American countries (e.g., Germany, France, Brazil) in secondary school: ]a,b[ = { x | a < x < b } [a,b] = { x | a ≤ x ≤ b } [a,b[ = { x | a ≤ x < b } ]a,b] = { x | a < x ≤ b } This notation is somewhat easier to remember (inwards pointing bracket for inclusion, outwards-pointing bracket for exclusion).

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Pontfolyamatok 3. Darabszám megjelenítés Number representation: N t t = állandó N t változó darabszám idő

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Pontfolyamatok 4. Időtartam megjelenítés Interval representation: T i T i változó n = állandó darabszám idő

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Pontfolyamatok 5. A két megjelenítés kapcsolata: Vagyis N t akkor és csak akkor kisebb n-nél, ha az igények beérkezése közötti n darab idő-intervallum együttes hosszúsága, T n, hosszabb vagy egyenlő t –vel. (X 1 = T 1 – T 0 ). A megfigyelés kezdeti időpontja: T 0 = 0

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Pontfolyamatok 6. A két megjelenítés kapcsolata ábrában: Vagyis N t akkor és csak akkor kisebb n-nél, ha az igények beérkezése közötti n darab idő-intervallum együttes hosszúsága, T n, hosszabb vagy egyenlő t –vel. (X 1 = T 1 – T 0 ). A megfigyelés kezdeti időpontja: T 0 = 0 T0T0T0T0 TnTnTnTn T1T1T1T1 T n-1 ……. XnXnXnXnt NtNtNtNt X1X1X1X1

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Darabszám megjelenítés 1. Felújításifüggvény Feltételezés: t létezik és véges. Intenzitásnak tekinthető.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Darabszám megjelenítés 2. Egyszerű pontfolyamatokra és Poissonfolyamatra IDC = 1 ! varianceszórásnégyzet expectation várható érték

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Időtartam megjelenítés A két egymást követő igény megjelenése közötti X i időtartamokra: (Az eloszlás önmagával végzett (i-1)-szeri konvolúcója megadja az i-dik igény megjelenéséig eltelő időtartam eloszlását. vv-k összegének eloszlása !) Felújítási folyamat (renewal process) olyan pontfolyamat, amelyben a beérkezések közötti idő intervallumok sztohasztikusan függetlenek és egyforma eloszlásúak. Igy (X 1 kivételével): (IID = Identically and Independently Distributed)

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Időtartam megjelenítés Az egy véletlen kezdeti időponttól az első igény beérkezéséig eltelő idő külön kezelendő. IDI = 1 a Poisson folyamatra. IDC könnyebben meghatározható mérésekből (digitális technológia !), mint IDI. Utóbbi érzékenyebb a mérési pontosság iránt.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Példák Mérések: azonos időközönként (passzív, scanning) azonos darabszámra (aktív) azonos darabszámra (aktív) 2. Forgalom lebonyolító képesség vizsgálata blokkolt vizsgáló hívások (időbeli átlag !) blokkolt vizsgáló hívások (időbeli átlag !) N (pl. N=1000) hívásonként blokkolt hívások N (pl. N=1000) hívásonként blokkolt hívások (darabszám átlag !) (darabszám átlag !) 3. Hívás statisztikák előfizetői mérés: sikertelen hívások száma (darabszám átlag !)előfizetői mérés: sikertelen hívások száma (darabszám átlag !) szolgáltató mérése: minden vonal foglalt (időbeli átlag !) szolgáltató mérése: minden vonal foglalt (időbeli átlag !)

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Példák 2.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Példák 3.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Pontfolyamatok jellemzői 1. (Darabszám szemlélet) 1. Stationarity Gyakorlatban hasznos a fenti meghatározás. Más meghatározások (klf erősség!): Minden X i legyen IID Minden X i legyen IID Várható érték és szórásnégyzet időeltolásra invariáns Várható érték és szórásnégyzet időeltolásra invariáns Statisztikai egyensúly (a folyamat idő szerinti Statisztikai egyensúly (a folyamat idő szerinti deriváltjai 0-val egyenlőek, Erlang vezette be) deriváltjai 0-val egyenlőek, Erlang vezette be)

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Pontfolyamatok jellemzői Independence Ha ez minden t-re érvényes, akkor Markov folyamat. (Emlékezet nélküliség !) Ha ez a tulajdonság csak bizonyos időpontokban érvényes, akkor ezek neve: equilibrium points, vagy regeneration points. A folyamat emlékezete véges, az utolsó ilyen pontig tart.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Pontfolyamatok jellemzői 3. Példák

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Pontfolyamatok jellemzői Simple point proccess Időtartam szemlélet esetében nem lehet szakadás a t=0 pontban Példa. Közlekedési balesetek időpontjai egyszerű pontfolyamatot alkotnak. A sérült kocsik száma, vagy a balesetet szenvedett emberek száma nem-egyszerű folyamat többszörös eseményekkel.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Little tétele 1. Görbék közti távolságok:rendszerben lévők száma Both arrival and departure processes are considered as stochastic processes... == = a k. beérkezés és a k. távozás közti időtartam egy igény bent töltött ideje

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Little tétele 2.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Little tétele 3. Minden várakozási rendszerre érvényes!! Alapvető fontosságú !!

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Little tétele 4. Példák: Várakozási helyekre: Kiszolgáló eszközökre:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – A Poisson folyamat a legfontosabb pont-folyamat. A Poisson folyamat a legfontosabb pont-folyamat. amint vv-k összegezése  központi határeloszlás tétel  normális eloszlásamint vv-k összegezése  központi határeloszlás tétel  normális eloszlás úgy sztochasztikus pontfolyamatok szuperpozíciója  exponenciális eloszlásúgy sztochasztikus pontfolyamatok szuperpozíciója  exponenciális eloszlás A Poisson folyamat a A Poisson folyamat a leginkább véletlenszerű folyamat Fizikai modell  matematikai leírásFizikai modell  matematikai leírás TulajdonságokTulajdonságok Megszakított (interrupted) Poisson folyamatMegszakított (interrupted) Poisson folyamat Poisson folyamat - bevezetés

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Alapvető tulajdonságok Már láttuk: a)Stacionárius (k esemény bekövetkezésének valószínűsége csak az időtartam hosszúságától függ.) b)Független (Minden időpontra  emlékezet nélküliség) c)Egyszerű (Egy időpontban egyetlen esemény.) Nem okvetlenül szükséges. Lehet időtől függő intenzitás. b) és c) alapján levezethetők további tulajdonságok: Darabszám szemlélet  Események száma rögzített hosszúságú idő intervallumban Poisson eloszlású. Időtartam szemlélet  Két egymást követő esemény közötti időtartam eloszlása exponenciális eloszlású.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Levezetés fizikai modell alapján: t 0 Az igények véletlenül, a többi igénytől függetlenül érkeznek. Igények gyakorisága, azaz igény érkezik időegységenként. Egy adott igény-elrendezés (pattern) megjelenése valamely idő intervallumban független az intervallum helyétől a t tengelyen. Kapcsolódó eloszlások 1. Jelölés: p ( υ, t) annak valószínűsége, hogy υ esemény következik be a t hosszúságú idő intervallumban.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Kapcsolódó eloszlások 2. A t 1 és t 2 intervallumok értelmezése Definíciók (nem levezetés !): p(0,t) annak valószínűsége, hogy a (0,t) intervallumban nem érkezik igény, azaz az első igény érkezéséig eltelő idő hosszabb mint t. Függetlenség miatt   Két egymást követő igény közötti távolság várható hosszúsága Ezért:és

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Kapcsolódó eloszlások 3. Az tulajdonságok alapján p(0,t) meghatározható. Kimutatható, hogy [1 - (p(0,t)] exponenciális eloszlású. Lépések:1.-ből 2.-ből

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Kapcsolódó eloszlások 4. p(0,t) annak valószínűsége, hogy a következő igény több mint t idő múlva érkezik. Ebből: Továbbá: Annak valószínűsége, hogy a (t, t+dt) intervallumban igény érkezzék = dt, nem függ t-től. Nincs emlékezet. Első következmény  Exponenciális eloszlás (és kapcsolódó Poisson folyamat) az eredmény.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Kapcsolódó eloszlások 5. Az az időtartam, amíg pontosan k igény érkezik k darab IID exponenciális eloszlású vv. összege. Ez az Erlang-k eloszlás. <- Második következmény Ha k=1, akkor az exponenciális eloszlást kapjuk. Statisztikai szempontból az Erlang-k eloszlás speciális gamma eloszlás Az összefüggés érvényessége teljes indukcióval bizonyítható.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Kapcsolódó eloszlások 6. Példa: Számítás. Részletek a jegyzetben.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Kapcsolódó eloszlások 7. Az előzőekből már következik, hogy a rögzített t idő-intervallumban beérkező igények száma Poisson eloszlású. Feltételezés: 0 t1t1t1t1 t 1 + dt 1 t Az idő-intervallumokban bekövetkező események függetlenségének feltételezése alapján  (a) (b)(c)

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Kapcsolódó eloszlások 8. Továbbá:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Kapcsolódó eloszlások 9. Ez az előző háromvalószínűségszorzatánakintegrálja A Poisson eloszlás jó modell a távközlésben megjelenő hívásokhoz vagy számítógépes rendszerekben jelentkező „job”-okhoz.  Harmadik következmény

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Kapcsolódó eloszlások 10. Számítás. Részletek a jegyzet ben. Number of Internet dial-up calls per second.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – A vázolt fizikai modell alapján: A beérkező igények közötti időszakasz eloszlása exponenciálisA beérkező igények közötti időszakasz eloszlása exponenciális A pontosan k igény beérkezéséhez szükséges időszakasz Erlang-k eloszlásúA pontosan k igény beérkezéséhez szükséges időszakasz Erlang-k eloszlású A rögzített hosszúságú t idő alatt beérkező igények száma Poisson eloszlású és várható értékükt.A rögzített hosszúságú t idő alatt beérkező igények száma Poisson eloszlású és várható értékükt. Eredmények

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Slotted ALOHA Satellite System Felajánlottésátvittforgalomviszonya. (Számítási példa részletei a tankönyvben.)

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Poisson folyamat kockadobásból 1. Poisson folyamat levezethető a binomiális folyamatból, ha kísérletszám n  ∞ kísérletszám n  ∞ sikervalószínűség p  0 sikervalószínűség p  0 n.p állandó n.p állandó Összehasonlítások:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Poisson folyamat kockadobásból 2. Emlékezete egyik eloszlásnak sincs !!

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Poisson folyamat kockadobásból 2a. A geometriai eloszlás várható értékének számítása:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Poisson folyamat kockadobásból 3.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Poisson folyamat kockadobásból 4.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Poisson folyamat tulajdonságai 1. Palm tétel – Superposition theorem (Analóg a központi határeloszlás tétellel.) Palm’s theorem: by superposition of many independent point processes the resulting total process will locally be a Poisson process. locally – a vizsgált idő-intervallumok olyan rövidek, hogy minden folyamat legfeljebb egyetlen eseménnyel járul hozzá az összetett folyamathoz. – Csak egyszerű pont folyamatokra érvényes

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Poisson folyamat tulajdonságai 2. Palm tétel szemléltetése

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Poisson folyamat tulajdonságai 3. Bizonyítás menete: n folyamat összesítése a teljes folyamatba, n folyamat összesítése a teljes folyamatba, az időegység alkalmas megválasztásával a beérkezések közötti átlagos időtartam a teljes folyamatban n-től függetlenül állandó, az időegység alkalmas megválasztásával a beérkezések közötti átlagos időtartam a teljes folyamatban n-től függetlenül állandó, valamely véletlen időponttól a következő beérkezés a teljes folyamatra: valamely véletlen időponttól a következő beérkezés a teljes folyamatra: ….. Részletek a tankönyvben.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Poisson folyamat tulajdonságai 4. Raikov tétel – Decomposition theorem Raikov’s theorem: by a random decomposition of a point process into sub-processes, the individual sub-process converges to a Poisson process, when the probability that an event belongs to the sub-process tends to zero. Felbontás véletlenszerűen. Ha az alfolyamatban n-szer kevesebb esemény van, akkor n-szeresen lehet összenyomni az időtengelyeket. Véletlen áthelyezés – translation. Ha az áthelyezés minden eseményre véletlenszerű, akkor  Poisson folyamathoz.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Poisson folyamat tulajdonságai 5. We have seen that a uniform distribution in a very large interval corresponds to a Poisson process. The inverse property is also valid. If for a Poisson process we have n arrivals within an interval of duration t, then these arrivals are uniformly distributed within this interval. The length of this interval can itself be a random variable if it is independent of the Poisson process.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – IPP – Interrupted Poisson process IPP – Interrupted Poisson process MMPP – Markov Modulated Poisson Process MMPP – Markov Modulated Poisson Process MAP – Markov Arrival Process MAP – Markov Arrival Process Batched Poisson Process Batched Poisson Process Poisson folyamat általánosítása A Poisson folyamat nagyon könnyen alkalmazható. Egyes esetekben azonban nem elegendő a tényleges folyamatok leírására, mert csak egyetlen paramétere van. A IPP-t elterjedten alkalmazzák. A csoportos beérkezés a gyakorlatban ismert.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – IPP – 1.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – IPP – 2. A kapcsolót két állapotú Markov folyamat vezérli. A beérkezés a túlcsordulási nya- lábhoz On vagy Off állapotban lévő Poisson folyamat. Olyan mint egy hiper-exponenciálisbeérkezésifolyamat. Paraméterek

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – IPP – 3. Paraméterek viszonya: A kétfázisú hiper-exponenciális eloszlás Cox-2 eloszlássá alakítható át. Feltételezés: az On és Off idő-intervallumok közelítésként exponenciális eloszlásúak γ és ω intenzitással

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Batched Poisson process – 1. Az igény csoportok beérkezése Poisson folyamatot alkot. Egy csoport igényeinek darabszáma ≥ 1. Az igények darabszámának eloszlása geometriai eloszlású. A t idő alatt beérkező igények darabszáma sztochasztikus összeget alkot.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Batched Poisson process – 2. Jellemző értékek: