OPERÁCIÓKUTATÁSDUALITÁS Dr Bánkuti Gyöngyi Klingné Takács Anna

Feladat: Egy háziállat táplálékának négyféle tápanyagból legalább 0,2 kg, 0,4 kg, 1 kg ill. 4,2 kg mennyiségeket kell tartalmaznia. A kereskedelemben kétféle takarmány kapható: A jelű és B jelű. Ezek rendre 0,1; 0; 0,1; 0,7 kg-ot, illetve 0; 0,2;0,2; 0,6 kg-ot tartalmaznak az egyes tápanyagokból. Az A jelű egységára 80 Ft/kg, a B jelűé 120 Ft/kg. Határozzuk meg, hogy A-ból és B-ből hány kg-ot kell vásárolni, hogy a legolcsóbb keveréket tudjuk előállítani?

Adatok felvétele: Tápanyag A B Előírt mennyiség I. 0,1 kg 0 kg 0,2 kg II. 0,4 kg III 1 kg IV. 0,7 kg 0,6 kg 4,2 kg Költség 80 Ft/kg 120 Ft/kg

Lineáris programozással oldjuk meg: A keverék az A és B jelű takarmányokból fog állni, x1 és x2 kg-ot fog tartalmazni : A későbbi jelölés konzisztencia miatt használjuk az y változókat!

Induló tábla formális felírása: (mert így nem megoldható!) I. y1 y2 b v1 0,1 0 0,2 v2 0 0,2 0,4 v3 0,2 0,1 1 v4 0,6 0,7 4,2 -z 80 120 0 Duál képzés: transzponálás!

A duál feladat megfogalmazása: Az x1, x2, x3, x4 változók a tápanyag mennyiségek egységárai [Ft/g] : Célunk a bevételben maximális tápanyag egységárak realizálása!

A duál normál LP feladat induló táblája : (Szimplex módszerrel megoldható) I. x1 x2 x3 x4 b u1 0,1 0 0,1 0,7 80 u2 0 0,2 0,2 0,6 120 -z 0,2 0,4 1 4,2 0

A duál normál LP feladat optimális táblája : I. x1 x2 x3 x4 b u1 1/4 -1/4 5/4 5/2 50 u2 -3/4 7/4 35/4 -7,5 450 -z -0,1 -0,3 -3,5 -3 660

Általánosan: Tápanyag Élelmiszerek Szükséges mennyiség x1 x2 ... xn I. b1 II. a21 a22 a2n b2 m. am1 am2 amn bm Egységárak c1 c2 cn

Lineáris programozással: Definíció: Az alábbi alakú lineáris programozási feladatot minimum feladatnak nevezzük.

Ugyanaz a termékelőállítási probléma, de... A tápanyagok értékesítésével egy másik cég foglalkozik, amelyik maximális bevételre törekszik. Egységárai: y1,y2,...,ym , célfüggvénye g=y1b1+y2b2+y3b3+...+bmym max A cég versenyképességét csak úgy tudja fenntartani, ha árai nem magasabbak az egyes termékek egységárainál( az előző keverék mellett)

Definíció: A fenti feladatpárt duálpárnak nevezzük. A kiinduló feladat a primál feladat, a másik a duál feladat. A duálváltozók matematikai jelentése (érzékenység vizsgálattal) -közgazdasági elnevezés: árnyékár

Komplementaritási feltétel: Ha a fenti vektorok eleget tesznek az egyenletrendszernek és Komplementaritási feltétel:

Primál-duál feladatpár megoldása grafikusan