GRÁFOK Definíció: Gráfnak nevezzük véges vagy megszámlálhatóan végtelen sok pont és azokat összekötő szintén véges vagy megszámlálhatóan végtelen sok egyszerű ív unióját. A pontok a gráf csúcsai, az ívek a gráf élei. Legalább egy csúcs van; minden él két csúcsot köt össze, vagy egy csúcsot önmagával.

TÖRTÉNETI HÁTTÉR A 18. században a Königsberg városát átszelő Pregel folyón hét híd vezetett át az ábra szerint. Vasárnaponként a város lakói szívesen sétálgattak, és felvetették azt a kérdést, hogy lehetséges-e, hogy valaki a lakásából indulva minden hídon átsétáljon, majd hazaérkezzen úgy, hogy egyik hídon sem ment át egynél többször. A problémával a városukban élő híres matematikushoz, Leonard Eulerhez fordultak, aki akkor a szentpétervári akadémia tanára volt.

A FELVETETT PROBLÉMÁK Van-e olyan városrész, amelyből indulva bejárhatják a hidakat úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer menjenek át, de nem kell feltétlenül visszaérkezni- ük a kiindulási helyre? Legkevesebb hány hidat kell építeni, és hova, hogy legyen olyan városrész, amelyből indulva be tudják járni a hidakat úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer menjenek át, és nem kell feltétlenül vissza- érkezniük a kiindulási helyre? Legkevesebb hány hidat kell építeni, és hova, hogy legyen olyan városrész, amelyből indulva be tudják járni a hidakat úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer menjünk át, és visszaérkezzenek a kiindu- lási helyre?

A PROBLÉMA GRÁFBAN A folyó két partja és a szigetek a gráf egy-egy csúcsát jelentik, az őket összekötő hidak a gráf élei. Így négy pontú, hét élű gráfot kapunk:

GRÁFOK FAJTÁI Egy gráfot végesnek nevezünk, ha véges sok csúcsa és véges sok éle van. Ha két csúcsot több él is összeköt, akkor azokat többszörös élnek nevezzük. Ha egy él két végpontja ugyanaz a csúcs, akkor azt hurokélnek nevezzük.

GRÁFOK FAJTÁI Egy gráfot egyszerűnek nevezünk, ha bármely két csúcsot legfeljebb egy él köt össze, és bármely él végpontjai különböző csúcsok (vagyis, ha nem tartalmaz többszörös- vagy hurokélt).

GRÁFOK FAJTÁI Egy gráfot teljesnek nevezünk, ha véges, egyszerű, és bármely két csúcshoz létezik őket összekötő él. (Tehát bármely két csúcsot pontosan egy él köt össze.) A teljes gráf éleinek száma:

FOKSZÁM Definíció: Egy gráf egyik csúcsából induló élek számát a csúcs fokszámának nevezzük. (Ha egy csúcsnál van hurokél, akkor az az él ebből a szempontból „kettőnek számít”.) Tétel-1: Véges gráfban a csúcsok fokszámának összege egyenlő az élek számának kétszeresével. Tétel-2: Véges gráfban a páratlan fokszámú csúcsok száma páros.

SÉTA, VONAL, ÚT Sétának nevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amelyben ugyanazok az élek és pon- tok többször is előfordulhatnak. Vonalnak nevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amelyben minden él legfeljebb egyszer fordulhat elő , de lehetnek olyan pon- tok, amelyek többször is előfordulnak. Útnak nevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amely egyetlen ponton sem megy át egynél többször.

KÖR Körnek nevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amelyben a kiindulási pont megegyezik a végponttal, egyébként minden él és minden más pont legfeljebb egyszer fordul elő.

EULER VONAL Definíció: Egy vonalat Euler-vonalnak nevezünk, ha az a gráf minden élén áthalad.  Az Euler-vonal lehet nyitott , ha a kezdőpontja nem egyezik meg a végpontjával, vagy lehet zárt , ha a kezdőpontja megegyezik a végpontjával. Tétel:  Egy gráfban zárt Euler-vonal létezésének szükséges feltétele , hogy minden pont fokszáma páros legyen.  Egy gráfban nyitott Euler-vonal létezésének szükséges feltétele , hogy két pont fokszáma páratlan, a többi páros legyen.

ÖSSZEFÜGGŐ Definíció: Egy gráfot összefüggőnek nevezünk, ha bármely két csúcsához létezik olyan útvonal, melynek kezdőpontja az egyik tekintett csúcs, végpontja pedig a másik. Tétel: Ha egy összefüggő gráfban minden pont fokszáma páros, akkor a gráfban van zárt Euler- vonal. Tétel: Ha egy összefüggő gráfban két pont fokszáma páratlan, a többi pont fokszáma páros, akkor a gráfban van nyitott Euler-vonal.

A PROBLÉMA MEGOLDÁSA Mivel a Königsbergi hidak gráfjában mind a négy pont fokszáma páratlan, nincs olyan városrész, amelyből indulva bejárhatják a hidakat úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer menjenek át, akár visszaérkeznek a kiindulási helyre, akár nem. Ahhoz, hogy legyen olyan városrész, amelyből indulva be tudják járni a hidakat úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer menjenek át, és nem kell visszaérni a kiindulási helyre, elég egy hidat építeni két városrész közé. Így a négy csúcsból kettőnek páros, kettőnek páratlan lesz a fokszáma. Például:

A PROBLÉMA MEGOLDÁSA Ahhoz, hogy legyen olyan városrész, amelyből indulva be tudják járni a hidakat úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer menjenek át, és vissza érjenek a kiindulási helyre, két hidat kell építeni úgy, hogy a két híd által összekötött városrészek között ne legyen azonos. Így mind a négy csúcsnak páros, lesz a fokszáma, és így bármelyik városrészből elindulhatunk. Például: